2024年新高考地区数学地市选填压轴题好题汇编（二十九）（解析版）

2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（二十九）

单选题

1.（2024•广东梅州•二模）已知点尸为双曲线C工-丁=［的右焦点，点N在％轴上（丰双曲线顶

3

点），若对于在双曲线。上（除顶点外）任一点P,NHW恒是锐角，则点N的横坐标的取值范围为

（）

【答案】C

【解析】由题意可得c=行方=2,所以/(2,0),

设0),P(xfy),

则P/=(2-x,-y),PN=(x「x,-y),

Ki/FPN恒是锐角，得PFPN=(2-x)(x0-x)+)3>o,

又三■一y2=],.y2=+一],

JJ

二•不等式可化为：(2-x)(x0+g-1>。，

4

整理得：——(x0+2)x+(2.x;,—1)>0,

只需A=(毛+2/一号(2/-1)<0,

解得2<..

故选：C.

2.（2024•广东•二模）已知球0与圆台的上、下底面和侧面均相切，且球0与圆台的体积之

比为则球。与圆台。O?的表面积之比为（）

设圆台的上、下底面半径分别为，i"，球的半径。a=「，

则==过人作40工8C于点H，

AH2+I3H2=AI32^得（24+（五一4）2=（4+弓）2,化简得尸=4弓，

4

由球的体积公式限=]“3，

圆台的体积公式/台=1（2r）（7t/;2+%2+4*.屁）=1仃（Y+片+口），

已知球。与圆台0。2的体积之比为:，则—二：，

2不+¥+口2

化简得4〉=（2+4+化,

则4怔=Y+U+代，得3代=刀+1，

又球的表面积S球=4元/，圆台的表面枳Sbg=7t[&+弓丫+1+片，

..S球_4._犷,\_=1_

所以氧台2（/+弓2+皿）力＞化x72f

故选：D.

3.（2024•广东•二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:/+丁=1,若等腰直角乂8c的直角边

AC为圆。的一条弦，且圆心。在A8C外，点8在圆。外，则四边形。48C的面枳的最大值为（）

A.岑+1B.V2+1C.当+1D.6+1

【答案】A

【解析】如图所示，设NOAC=NOC4=a,则乙40c=兀一2a,

故--OA-OCsinZ.AOC=—sin(n-2cr)=—sin2a,

222

由余弦定理得AC2=GA?+oc2-204•OCcosZAOC=1+1-2COS(TU-2a)

=2+2cos2a,

■弗三角形会的面积为:AC•友4AC-+8S2/

故四边形O46C的面积为gsin2a+cos2a+1--^^sin(2a+^?)+l,

其中tan夕=2,()<*<§,

7T

其中故2a+e£(Q,7i+e)N5"

则当2a+e=]时，tsin(2a+0)+l取得最大值，最大值为等+

故选:A

4.(2024•湖南益阳•模拟预测)已知/(X)的定义域为(0,+"),/'(%)是/(x)的导函数，且

丁广(耳+2^(力二欣，2ef(e)=l,贝的大小关系是()

A./(扑心仆小母B.小吟卜小卜/(叫)

C.小引</(小《叫》小尚<仙扑佃

【答案】C

【解析】因为x"'(x)+24(x)=lnx,即，/(幻丫=Inx,

构造函数g(x)=f/a),则g(x)=]nx,f(x)二驾.

x

将f*)=%代入/八幻+2?。)=lnx,得f\x)=:x-2g(x)

X.V

再构造函数力(x)=xlnX-2g(x)，则“(x)=[nx+l-2^z(x)=l-lnx,

易知，当xw(0,e)时,h\x)>0,函数为(x)单调递增:当xw(e,+oo)时,h\x)<(),函数力(x)单调递减,所

解得h和

4=2。

，所以中工2。=。+7,

由题意得指

丁=%+加

所以"=（而-2,.

6.（2024•湖北武汉•模拟预测）若函数/（力=女。531+。）［。＜0,—］＜夕＜：）的最小正周期为兀，在

区间上单调递减,且在区间（0，［］上存在零点,则。的我值范围是（）

\O67\Oy

A，［，6兀'兀2）、氏，北Tt］仁「k兀J兀、江，阳八/

【答案】B

【解析】由函数/（*）的最小正周期为兀，得£27t=兀，而。＜0,解得出=-2,

⑷

则f。）=3cos（-2x+⑶=3cos（2x-（p）,由2E＜2x-（p＜2E+兀,keZ,

得2E+o<2xW2E+7c+0«eZ,又/(x)在(-g^)上单调递减,

66

因此2E+eW-],且342E+兀+p,keZ,K-^-^-2kn<(p<-^-2kTi,keZ®,

由余弦函数的零点，得2x-e=n7t+],〃wZ,即2x=/m+]+o，〃cZ,

而/(A)在(0,£)上存在零点，则。〈〃冗+?+Q<?,〃eZ,

623

于是一〃兀一£<°VTUT-2,〃cZ②，又一色<夕〈巴，联立①②解得-£

262223

所以8的取值范围是

23

故选:B

7.（2024•湖北武汉•模拟预测）如果avxv〃，记国为区间（。,方）内的所有整数.例如，如果

2Vx<3.5,则[同=3；如果1.2<工<3.5,则区=2或3；如果2,3<x<2.7,则因不存在.已知

,=|+表+上+…+加则团=()

A.36B.35C.34D.33

【答案】B

43-11

【解析】令函数/(幻=三炉。>0),求导得:(幻=工4=五，

1«3

则诟5cN.)可视为函数/*)=；/*>0)在J=n处的切线斜率，

设A(〃"(〃)),85+1J(〃+1)),则直线AB的斜率&8J。'+?_"〃)=/(〃+1)二八〃)，

n+\-n

I4--I

由导数的几何意义有/'(〃+1)<*<f(n),因此7=<彳[5+1尸,

\Jn+\3小1

43工3工23111111

而补2-1，)+⑶-2$)+(44-3，)++(82.81)]<斫+荻+㊄+...+漏=几

4-4-42

即有了>§(82&-1)>§(8N-1)=3x26=34+5,

1114-222

又T=l+7+亍+…+『<1+-(8N-1)=35+-,因此34+±</<35+±,

y/2。3§813333

所以⑺=35.

故选：B

8.(2024•山东•二模)已知函数/(x)=sin(s+2)(s>0),若将/*)的图象向左平移;个单位后所得的

63

函数图象与曲线丁=/(幻关于*=?对称，则3的最小值为()

211

A.-B.-C.1D.—

33~

【答案】A

【解析】函数/(x)=sin(5+m)，/(X)的图象向左平移J个单位后所得函数

63

/\,r✓兀、尤】・ZIt、

g(x)=sin(69(x+—)+—]=sin(cox+——+—),

3636

函数y=g(x)的图象与y=/(x)的图象关于直线x=1对称，则/。)=葭4-工)，

于是sin(s+J)=sin[©泮-%)+?+3对任意实数x恒成立，

6336

即sin(<yx+—)=sin(-(ox+7c<y+-)=sin(7t-((DX-TI(O+—)]=sin(cox-na)+-)对任意实数x恒成立，

6666

因此一7C&H=—h2E,&eZ,解得6y=-2&H—,kwZ,而<y>0,则

663

所以当左=0时，0取得最小值|.

故选：A

9.(2024•山东•二模)已知力了)为定义在R上的奇函数，设/'(力为””的导函数，若

/(x)=/(2-x)+4x-4,则r(2023)=()

A.1B.-2023C.2D.2023

【答案】C

【解析】因为/(X)=/(2-X)+4K-4,所以两边求导,得八为=一八27)+4,

BPf(x)+.f(2-x)=40

因为/(力为定义在R上的奇函数，则/(-幻=-7(x),

所以两边求导，得/'(x)=/'(-x),所以/(幻是定义在R上的偶函数，

所以/'(2-x)=r(x-2),结合①式可得，尸(%)+尸&-2)=4,

所以ra-2)+/a-4)=4,两式相减得,r(x)=ra-4),

所以/a)是周期为4的偶函数，

所以八2023)=/'(-1)=八1).

由①式，令x=l,得/⑴=2,所以八2023)=/'⑴=2.

故选：C.

10.(2024•河南信阳-模拟预测)棱长为1的正方体ABC。-中，点〃为6。上的动点，0为底

面ABC。的中心，则OP的最小值为()

A.BB.返~C.—D.B

3362

【答案】C

【解析】由题意可得OP的最小值为点。到线段3。的距离，

在平面DQB内过点。作于点P,

由题意可得。A=1，DB=6.，BD\=K，平面A8CO,

因为/Mu平面ABC。，则。，_LD8,因为OPBsDQB,

也1

OPOB

以为丽，即丝1"

BD1756

故选：C.

11.(2024•河南信阳•模拟预测)若直线y=ai+8与曲线)，=e"相切，则a+b的取值范围为()

A.（-8,e]B.[2,e]c.e*o）D.[2,+00）

【答案】A

【解析】对于.v=e;有y=e;令切点为则切线方程为y=e"x-〃z)+e<

即y=e"'x+（l_,7）e'"，即有a+b=e'"+（l_，〃）e"'二（2_，〃）e'"，

令“力=(2-力炉，则r(x)=(lT)e\

当时，/'(工)>0,当x>l时，/'(x)<0，

故f(x)在(-叫1)上单调递增，在(L+8)上单调递减，

故"k"⑴=(2-l)8=e,

又当x趋向于正无穷大时，/(“趋向于负无穷，

故f(x)£(y,e],即a+Z?e(-8,e].

故选：A.

12.(2024•福建福州•模拟预测)函数/(x)=2sin3(6sin0x+cos3x)3>O)在(0吟)上单周递增，且

对任意的实数“，/(%)在3,。+冗)上不单调，则”的取值范围为()

(.51-J5]「(15]八C5一

1,—1,—

A.【2」B.I4」C.(22JD.1—24j

【答案】D

[解析】因为/（工）=2sin但（Gsin（t）x+cos<yx）

=2\/5sin'cox■¥2sinwxcoscox

=sin2cox->J3cos2cox+J3

=2sin（2ft?x--）+x/3,

3

又因为且口>（）,贝lJ2rwx_ge_n2^7r_^A

若加）在（0中上单调递增，

所以等,所以OV00

因为对任意的实数。，/*）在（a,a+2上不单调，

所以/*）的周期丁=翌<2n，所以“〉二

1M2

所以:<04。.

24

故选:D.

13.（2024•浙江嘉兴•二模）6位学生在游乐场游玩48.C三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个

项目都有人游玩，若A项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（）

A.180种B.210种C.24（）种D.360种

【答案】C

则有C：*：C：A；+簧A；

【解析】若4有2人游玩,=15?(86)=210ft；

若A有4人游玩，则有C：A；15?230种;

所以共有240种,

故选：C.

14.（2024•浙江嘉兴•二模）已知定义在（0,~）上的函数/卜）满足矿（6=（1-大）/（6,且/⑴>0,

贝I」()

A.4扑/⑴</(2)B.〃2)<〃1)</出

C.也卜D.42)〈吗卜”1)

【答案】D

一矿3

【解析】由才a）=（ir）〃x）变形得二x,

人力

从而有小鬲®:市，[而卜危，

所以7罚…[

因为/⑴>。，所以左=7?三>°'则〃")=占

则，，3=姐二"©=£1二1

-I)k2exk2ex

故当Ovxvl时，/^x)>0,当Q1时，r(x)<0,

所以/(X)在(0,1)上单调递增，在(l,y)单调递减，

所以吗卜/⑴，/(2)</(1),

3

又〃2)=—!_____L=而e3>2.73°19.7>16,所以1>4，

■⑴八六〃右雇一266>4

所以

故选:D.

15.(2024•浙江宁波•二模)在正四棱台ABC。-ASGA中，A8=4,44=2,想=G,若球0与上底

面A4G。以及棱AR8CCDD4均相切，则球。的表面积为()

A.9兀8.16兀C.25兀D.36冗

【答案】C

【解析】设棱台上卜底面的中心为N,M,连接24，。3,

则A4=2£。8=4万

所以棱台的高MN=J“2_(M8_N4)2=,(6)2-(2及一也)2=1，

设球半径为R,根据正四棱台的结构特征可知：球。与上底面A4GQ相切「N,与棱ABWC.CD.QA均相

切于各边中点处，

设8C中点为E，连接OE,OM,ME,

所以。炉=OM2+ME2=R1=(/?-1)2+22,解得R=1,

所以球。的表面积为4兀序=25兀,

故选：C

16.（2024•浙江宁波•二模）已知集合2={（*,），）*+如—2024=（）且刁，=2024},若P中的点均在直线

），=2024x的同一侧，则实数。的取值范围为（）

A.（-co,-2023）U（2023,”）B.（2023,+x）

C.（-oo,-2024）U（2024,+OO）D.（2024*）

【答案】A

【解析】依题意集合尸即为关于x、y的方程组F+£二:024=。的解集，显然工工0,

不，=2024

*2024

y=—*+------

,2024x

a=-x~+------

x2024/\।2024

所以,即)'=------，令/(x)=r+——

2024X

)'=------

xy=a

y=2024x

x=1x=-\

2024，解得＜

)'=------y=T

x

即函数y=2024x与尸幽的交点坐标为（1,1）和（T,T）,

.X

0\、2024a2024

又f(r)=r+^—-x+---=----/（力,所以/"）为奇函数,

XX

因为）,=—/与）,，=W在（0,+8）上单调递减，

所以〃工）=一工3+迎1在（0.-KO）上单调递减,则f（x）=-X3+—在（-00.0）上单调递减.

X

依题意y=。与）,=-x3+型竺、丁=些的交点在直线y=2024K的同侧,

只需或。＜/（一1）,即々＞2023或a＜—2023,

所以实数〃的取值范围为（-00-2023）1（2023,”）.

故选：A

17.(2024•浙江杭州•二模)在.A8C中，已知李工=〃sinC,""'=〃cosC.若tan(A+.=-3,则

sinBcos4V4J

〃=()

A.无解B.2C.3D.4

【答案】人

Ji)1+tanA.

A+蓼=-------=-3,即tanA=2,则cosAw0,

(4)1-tanA

,sinA.八cosA_.厂「

由----=nsinC,-------=ncosC,知cosCH0,

sinBcosB

tanA

则tanC,则tanA=t<inB■tanC=2♦

lanB

tanB+tanC

XtanA=tan(7U--C)=-tan(B+C)=-=tanB+tanC,

1-tanBtanC

故lan4+tanC=2,设tan3=1,则tanC=2-1,

有«2-1)=2,BPr-2t+2=0,A=4-8=-4<0,

即该方程无解，故不存在这样三角形，即〃无解.

故选：A.

18.(2024•浙江杭州•二模)设集合M={-11},N={x|x>0且xwl},函数/("="+九1(〃〉()且

"1)，则()

A.V/lwMJawNJ("为增函数B.%wwNJ(x)为减函数

C.V/leMJaeNJG)为奇函数D.9wN,/(x)为偶函数

【答案】D

【解析】当％=1时，f(x)=ax+ax,a>l时，/(外在(-8,0)上不是增函数，故A不正确：

当2=-1时，f(x)=aT-a-x,时，/(©在(0,+8)上为增函数，8不正确；

当2=1时，f(x)=ax+a-x,〃­)=优+「=〃X)./*)为偶函数.故C不正确:

当4=1时，f(x)=ax+ax,/(-.0=优+「=/(©,/⑶为偶函数，故。正确；

故选：D.

22

19.(2024•浙江台州•二模)设匕，K是双曲线C：工工=1(4>0力>0)的左、右焦点，点M,N分

7Ty----------

别在双曲线C的左、右两支上，且满足NM5N=Q,Ng=2MF；,则双曲线。的离心率为()

75

A.2B.-C.5/3D.一

32

【答案】B

【解析】如图，设N/,；与M鸟的交点为p,|M£|=工，

因为”=2M耳，所以“q=2环卜2工，

所以，由双曲线的定义可知：|M照=|M£|+2〃=2〃+x,防卜2〃+“胃=2r+2〃.

因为嵋=2峙，所以NF//MR,

TT

所以-N^Ps0片NF]MF2=/MF2N=%,

3

27?

所以|P周=Q|M用=Q（2〃+X）,|PN|=Q|N制=Q（2"2X）,

JJJJ

所以，在中，/尸鸟N=NMEN=?,

所以‘由余弦定理有：COSN吟」空"部JP'OS冷

代入闸|=；（2。+力，|PN|=：（2a+2x）,阿=2处整理得3/一1（）心=0,

JJ

解得x=ga,x=0（舍），

所以，|叫二工=争，|M周=2a+x若a,忻用=2c,

所以，在人中，由余弦定理有:

2出闸.怩根2

代人数据整理得：7a=3c,

所以，双曲线的离心率为：e=-c=47.

a3

故选：B

20.（2024•江苏扬州•模拟预测）已知菱形48CO的边长为2,/A8C=60,动点尸在8c边上（包括端

）则A/ZAP的取值范围是（）

/I.[0,1]B.[-1,2]C.[-2,2]D.卜"]

【答案】C

【解析】

如图，作Cy_LC8,以C为原点，建立平面直角坐标系,

易知C(0,0),A(l,退)，。(一1,G),

设P(x,0),且工40,2],故AO=f—2,0),AP=(x-l,-V3),

AD-AP=-2(1-X)=2-2,v»而—2xe[—4,0],2—2XE[—2,2].

故选:C

21.（2024•江苏扬州•模拟预测）设方程2、x+3=0和方程1叫工+工+3=0的根分别为设函数

/(x)=(x+〃)(x+4),则()

A.〃2)=〃0)v〃3)B./(0)=/(3)>/(2)

C./(3)</(2)=/(0)D./(0)</(3)</(2)

【答案】B

【解析】由2'+x+3=0得2,=T-3，ti：|log2x+A-+3=0t#]og2x=-x-3,

所以令y=2',y=log2X,y=-x-3,这3个函数图象情况如下图所示：

设y=2\y=-x-3交于点B,y=log,x,y=一彳一3交于点C,

山于3，=2*,y=k>g2”的图象关于宜线>'=x对称，

而y=-x-3,y=x的交点为A所以“了=一彳，

注意到函数/(x)=(x+〃)(x+g)=x2+(p+g)x+pg的对称轴为直线工=一"等，BPx=1,

且二次函数“X)的图象是开口向上的抛物线方程，

从而〃0)=〃3)＞八2).

故选:B.

22.(2024•河北邢台・一模)妇图，正四棱台容器ABCO-ABCa的高为12cMA3=10cm,

A£=2cm,容器中水的高度为65?.现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中(57个小铁球

均被淹没)，水位上升了3c〃?，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为()

【答案】A

【解析】正四棱台容器"C。-A/GA的高为12"?,A8=10cm,4与=2cm,

止四棱台容器内水的高度为6”〃，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为g(2+10)=6,

其体积为乂=；,+10:+x/62xl0:)x6=392cm'；

放入铁球后，水位高为九〃?，沿4片作个纵截面，从小与分别向底面引垂线，如图，

其中Eb是底面边长10。〃，4”是容器的高为12a〃，G”是水的高为9。〃，

GNB.G\

由截面图中比例线段的性质标二黄7=彳，可得GN=1,此时水面边长为4(7〃，

nrOj/74

此时水的体积为匕=#2+10?+V42xl02)x9=468end,

放入的57个球的体积为468-392=76cn?,

设小铁球的半径为，则57xg/=76,解得r=JLm.

3Vit

故选：A

23.(2024•河北邢台•一•模)倾斜角为。的直线/经过抛物线C＞，2=]6X的焦点F,且与C相交于A8

两点.若ow,则|A川网的取值范围为()

A.[128,256]B.[64,256]

。196D.争28

C.64-

首先，我们来证明抛物线中的焦半径公式,

如图，对于一个抛物线V=2px,倾斜角为夕的直线/经过抛物线C：V=2p.r的焦点凡且与C相交于

AB两点.作准线的垂线A4’,88',过户作

则|AF|=|A4[=|MA[+|AM|=〃+MF|cose,

解得1叫二』‘同理可得忸日=向

QQ

如图，不妨设A在第一象限，由焦半径公式得|AF|=]_co、e，|AF|=[+coS，

则|A/118F|=--—x―--=,

1-cos01+cos0sin~0

而，，‘可得sirr。*—,—,故尸w[128,256],故A正确’

.64J[42Jsin~0LJ

故迄A

二、多选题

24.（2024•广东梅州•二模）己知数列｛为｝的通项公式为。”=3〃，〃wN，在｛《,｝中依次选取若干项

（至少3项）艰，%，％,…，叫，…，使｛%,｝成为一个等比数列，则下列说法正确的是（）

A.若取勺=1,的=3,则%=9

从满足题意的｛尤｝也必是一个等比数列

C.在｛&｝的前100项中，｛4｝的可能项数最多是6

D.如果把｛&｝中满足等比的项一宜取下去，总是无穷数列

【答案】AB

【解析】因为数列｛可｝的通项公式为4=3〃，

对于A,取用=1,&=3,则％=4=3,«*,=«,=9,

由于｛%,｝为等比数列，则%=27,则有3&=27,即&=9,故A正确；

对于B,数列｛4｝的通项公式为4=3%则4=3%,

若｛《“｝为等比数列，即效，3的，3k3,…，3儿，…是等比数列，

则勺，k2,…,J…,是等比数列，

故满足题意的伙」也必是一个等比数列，故B正确；

对于C,在｛勺｝的前100项中，可以取人-1,k2-2,%-4,%=8,%=16,4=32,—

可以使同｝成为•个等比数列，此时｛&J为7项，故C错误；

QI

对于。，取4=4,42=6,则旬=18,则%=27,%=另，

Q1

%=£不是数列｛q｝的项，

所以把｛q｝中满足等比的项一直取下去，｛4,｝不总是无穷数列，故。错误.

故选:AB.

25.（2024•广东梅州•二模）如图，平面人加八。，|4B|=|MN|=2,M为线段AB的中点，直线MN

与平面a的所成角大小为30。，点。为平面a内的动点，则（）

A.以N为球心，半径为2的球面在平面a上的截痕长为2i

B.若。到点M和点N的距离相等，则点户的轨迹是一条直线

C.若P到直线MN的距离为1,则NAP8的最大值为£

D.满足NMNP=45。的点P的轨迹是椭圆

【答案】BC

【解析】对于A,由于MN与平面a的所成角大小为30。，所以点N到平面。的距离”=|必7卜泣30=1,

故半径为R=2的球面在平面。上截面圆的半径为/・=庐不=6,故截痕长为2"=26兀，4错误，

对于从由于平面所以以A3为丁，在平面。内过M作xlAZT平面ABN内作z_LA8,建立

如图所示的空间直角坐标系，

则M（0,0,0）,8（0J0）,从（0T0）,N（0,61）,

设P（x,y0）,则=|PN|zz>x2+y2=x2+（y->/3）2+1,

2

化简得丁=有，故。到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线，B正确，

化简可得f+£=l,

4

所以点P的轨迹是平面。内的椭圆f+X=i卜..点，如图，

4

当P在短轴的端点时，此时NAPB最大，由于忸M|=|M4=1,故N8PM=2,因此

ZAPB=2ZBPM=-,C正确，

2

对于D,W=（0,->/3,-l）,/VP=（x^->/3-1）,MP=（x,y,O）,

...49。billcos/MNP=cosNM,NP==/-岛+4=显

若功所-45。，则HH^I2.+…）M2，

化简得卜一2&）V故满足NMN尸=45。的点尸的轨迹是双曲线的一部分，D错误，

423

故选：BC

26.（2024•广东•二模）设。为坐标原点，抛物线C：V=4x的焦点为“，准线/与工轴的交点为匕，过

点尸的直线与抛物线C交于46两点，过点A,6分别作/的垂线，垂足分别为4,国，则下列说法正确的

有（）

A.|A凡•懈耳|=|五周2

B.|44归2同

c.\OA\-\OB\=\O^\OB.\

D.|OA|+|OB|>|O4|+|OB,|

【答案】ACD

【解析】由已知尸（1，（））,4-1，（））,设过点尸的直线方程为：1=〃少+1,

设点4（%,凹）,3（再,丫2），则A（Tx），*—1,%）,

）广=4.v_

由<,得）1_4"少一4=0,

x=my+1

所以）1+>2=4m,yy=-4,内+%?=〃?（y+y）+2=4〃，+2,\x==1»

x222"j?

lA用•忸闽=—»，跖=4，|/记『=22=4,所以其周・|4凰=|咐「，故A正确，

|A4|二加一%|二J（X+乃）-），戊=出6m2+16>4=2|F^|,故B错误，

|。力『［。叶=储+川（石+¥）=,*+工汶+*犬+）汶=17+专）『+工祝=17+4*+4小2

=17+为/（3+X?）=25+16"，，

2

四A『.四3『=（1+）『）（1+£）=1+£+弁+弁£=17+），：+货=17+（y+y2）-2y,y2=25+16〃/,故

|3卜|。臼=|04卜|0胤，C正确，

（|04|+|0却）2-（04|+|0闻）2=|04|2+|08「_|0闻2一|04|2+2|0小|0却一210AH。周，

由选项C可知|。4|-|0回二|0"|0用，所以

（侬+|0硝2_（|°7+|0叫）2=侬2+如2_|网2-|同2=5+对+（考+团-（1+犬）-（1+阳

=（再2+*）-2=（玉+42）2-2“2-2=（4>+2）2-420.故|3|十依同耳。A|十|OBj,D正确；

27.(2024•湖南益阳•模拟预测)如图1所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻

拦”管制的工具.它由转动杆OP与横杆PQ组成，尸,。为横杆的两个端点.在道闸抬起的过程中，横杆

。。始终保持水平.如图2所示，以点。为原点，水平方向为工轴正方向建立平面直角坐标系.若点。距水

平地面的高度为1米，转动杆。尸的长度为I.6米，横杆的长度为2米，OP绕点。在与水平面垂直的

平面内转动，与水平方向所成的角。«30。,90。］()

A.则点P运动的轨迹方程为/+（），+1）2=W（其中文€

B.则点。运动的轨迹方程为"-2）2+），2=装（其中xe2,+；.”?|）

C.若。夕绕点。从与水平方向成30。角匀速转动到与水平方向成90。角，则横杆PQ距水平地面的高度

为葭米

D.若"绕点。从与水平方向成30。角匀速转动到与水平方向成90。角，则点Q运动轨迹的长度为］）3

米

【答案】BC

【解析】对于4：点P的轨迹显然是以。为原点，OP为半径的圆，

故点。运动轨迹方程为丁+步啜（其中go,竽］,）0袋］）,故人错误;

对于6：设Q（x,y）,P（如为），因为。Q平行于x轴，

x=x+2X.=x-2c、64

所以《飞n，所以勺，又因为「在加圆f+），2="上

尸治［%=）'25

所以点。的运动轨迹是以（2,0）为圆心，1.6为半径的圆，

所以点。的轨迹方程为（x-2『+y2=^（其中⑵也比巨］,ye氏之）,故B正确;

23555

对于C：若OP绕点。从与水平方向成30。角匀速转动到与水平方向成90。角，

13

横杆『。达到最高点•此时横杆PQ距水平地面的高度为1+1.6=4.故C正确：

对于Q：因为O尸绕点。从与水平方向成30。角匀速转动到与水平方向成90。角，

故。绕点（2,0）转动的角度与点尸绕点（0,0）转动的角度一样为90。-30。=,

所以点。运动轨迹的长度即为圆（其中）的弧长，等于L6xg=^,故/）错误.

故选：BC.

28.（2024•湖南益阳•模拟预测）在中，角A,B,C所对的边依次为。，b,。，已知

sinA:sinB:sinC=2:3:4,则F列结论中正确的是()

A.(a+b):(b+c):(c+ci)=5：6：7

B.A4C为钝角三角形

C.若a+〃+c=18.则A8C的面积是6A

D.若二ABC的外接圆半径是R,内切圆半径为，贝ij5R=16r

【答案】BD

［解析】因为sinA:sin8:sinC=2:3:4,

由正弦定理三=-A=-£7；=2R,可得q：〃:c=2:3:4,

sinAsinBsinC

设〃=2x(x>0),b=3x,<?=4x,

则(a+〃)：S+c):(c+〃)=5x:7x:6x=5:7:6,故A错误;

由题意可知，C'为最大角，

因为cosC=《4C=&HS=—；<o,故C为钝角，故8正确；

2ab12x’4

若a+b+c=18,则a=4,b=6,c=8,

又cosC=-,所以sinC="-cos?C=,

44

所以一ABC的面积SAnc=-absinC=L4x6x巫=3后，故c错误；

改224

c_4x_16x

由正弦定理得，=沅=7底=而，即R=喂，

yjlj

4

由面积公式可得—(〃+b+c)r=—HsinC,

22

即-x9.r-r=—x2.rx3AX,

224

所以「=坐以

6

所以内弋，故5R=16r,故以正确.

r5

故选：BD.

29.(2024•湖北武汉•模拟预测)已知各项都是正数的数列怆｝的前〃项和为S.,且5,二今+小，则

n

下列结论正确的是()

A.当〃?>〃(加，时,

加B.S”+S..2<2SM

C.数列｛s；｝是等差数列D.Stl--2\nn

【答案】BCD

【解析】对A,由题意可知q=3+白=片=1,所以4=1,

22q

则％+。2=]+2=5+2%-1=°,所以％=血一1<4，故4错误；

对C,由S.=*+；nS”=^^+1尸5：-5，=1(〃22),故。正确；

2242

对C,所以S：=1+(〃-1)=〃=>5"=册.

则S”+S“+2=«+V^+2<2/+广2=2s川，故8正确；

对D,易知--U,令/(x)=x-'-21nx(xNl),

5”Wx

则r(x)=l+e—2=，_—i[N0,则〃x)单调递增，

所以'⑴=0=6一；2M〃，即S“—421n〃，故。正确.

故选：BCD

30.(2024•湖北武汉•模拟预测)如图，已知椭圆£+)，2=1的左、右顶点分别是A，4,上顶点为用，

4

点C是椭圆上任意一异于顶点的点，连接AQ交直线工=2于点尸，连接4c交OP于点M(。是坐标原

点)，则下列结论正确的