《线性回归直线方程》名师课件

变量的相关性相关关系散点图线性相关关系正相关负相关

复习引入苏教版同步教材名师课件线性回归直线方程学习目标学习目标核心素养了解一元线性回归模型的含义数据分析了解最小二乘原理数学运算掌握相关系数的含义数学建模学习目标学习目标:1.了解最小二乘法的思想,会求回归直线方程,掌握回归方程的性质

学科核心素养:1.通过回归直线方程及相关关系的学习,体会数学建模与直观想象的素养

2.借助回归直线方程的求法,培养数学运算的素养

散点图在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据:其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数.年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6探究新知探究新知借助坐标系,作出这些数据的散点图：年龄脂肪020253035404550556065510152025303540●怎样选择恰当的直线反映两个变量之间的线性相关关系？从图可以看出,这些点在一条直线附近,但并不都在这条直线上,也就是说,上述直线并不能精确地反映x与y之间的关系,y的值不能由x确定,在此,我们将两者之间的关系表示为y=a+bx+ε,其中a+bx是确定性函数,ε称为随机误差.问题1：随机误差产生的主要原因有哪些？(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差;(2)忽略了某些因素的影响;(3)存在观测误差等.探究新知1.回归直线的定义如果散点图中的样本点从整体上看,大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.2.线性回归模型的定义我们将y=a+bx+ε称为线性回归模型,其中其中a+bx是确定性函数,ε称为随机误差.探究新知问题2:对于y=a+bx+ε这样的线性回归模型,我们需要考虑哪些方面的问题？(1)模型是否合理？可用线性相关性检验的方法处理,本书对相关性检验的方法不作要求,只要根据相关系数作出判断.探究新知(2)在模型合理的条件下,如何估计a,b？由于|ε1|+|ε2|+···+|εn|是绝对值之和的形式,这对于进一步的运算与推导带来很多不便,而ε1+ε2+···+εn很小并不表示|ε1|+|ε2|+···+|εn|很小,因此通常用“ε12+ε22+···+εn2越小越好”来代替“|ε1|+|ε2|+···+|εn|越小越好”.

探究新知问题2:对于y=a+bx+ε这样的线性回归模型,我们需要考虑哪些方面的问题？

探究新知(2)在模型合理的条件下,如何估计a,b？问题2:对于y=a+bx+ε这样的线性回归模型,我们需要考虑哪些方面的问题？3.线性回归方程的定义

探究新知4.最小二乘法的定义使样本数据各点到回归直线的距离的平方和最小来得到回归直线的方法叫做最小二乘法.探究新知问题3：怎样求解回归直线的方程即线性回归方程？有哪些方法？方案1：在散点图中选两点作直线,使直线两侧的点的个数基本相同;

方案2：如果多取几对点,确定多条直线,再求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距,从而得到回归方程;

方案3：先画出一条直线,测量出各点与它的距离,再移动直线,到达一个使距离的和最小时,测出它的斜率和截距,从而得到回归方程.方案4：(最小二乘法)回归直线的方程是一次函数,即设为y=bx+a的形式,关键是求出斜率b和截距a.

探究新知探究新知

例1.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.x3456y2.5344.5

典例讲解(1)散点图如图所示:典例讲解

解析

典例讲解

解析例2.有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表:1.画出散点图?2.从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律?3.求回归方程?4.如果某天的气温是2摄氏度,预测这天卖出的热饮杯数.典例讲解1.散点图2.从图3−1看到,各点散布在从左上角到由下角的区域里,因此,气温与热饮销售杯数之间成负相关,即气温越高,卖出去的热饮杯数越少.

典例讲解

求线性回归方程的步骤方法归纳244666778100.91.41.62.02.11.91.82.12.22.31.提倡节约,反对浪费.某年元旦前夕,某市统计局统计了该市10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表:

变式训练(1)散点图如图:由散点图可知,年收入越高,年饮食支出越高,图中点的趋势表明两个变量间确实存在着线性相关关系.

变式训练解析

变式训练解析典例讲解

解析AA方法归纳1.散点图(越接近直线,相关性越强);2.相关系数(绝对值越大,相关性越强).线性相关强弱的判断方法:2.如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线,若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大,则应当去掉的点是(

)A.DB.EC.F

D.A变式训练因为相关系数的绝对值越大,越接近1,则说明两个变量的相关性越强.因为点E到直线的距离最远,所以去掉点E,余下的5个点所对应的数据的相关系数最大.解析B典例讲解234562.23.85.56.57.0

典例讲解

解析

246830405070

变式训练变式训练

解析

变式训练

解析典例讲解123456781126144.53530.5282524例5.某企业新研发了一种产品,产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关,经统计得到如下数据:根据以上数据,绘制了散点图.典例讲解

183.40.340.1151.5336022385.561.40.135

典例讲解(3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产,即产品全部售出).根据市场调研数据,若该产品单价定为100元,则签订9千件订单的概率为0.8,签订10千件订单的概率为0.2;若单价定为90元,则签订10千件订单的概率为0.3,签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元,根据(2)的结果,企业要想获得更高利润,产品单价应选择100元还是90元,请说明理由.

典例讲解

解析典例讲解

解析非线性回归问题有时并不给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图像作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量变换,把问题化为线性回归分析问题,使之得到解决.其一般步骤为:方法归纳变式训练

234567201286.44.433.002.482.081.861.481.10

变式训练(3)基于成本的考虑,该型号二手车的售价不得低于7118元,请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考数据:

变式训练

解析变式训练

解析1.判断变量的相关性通常有两种方式:一是散点图,二是相关系数r,前者只能粗略的说明变量间具有相关性,而后者从定量的角度分析变量相关性的强弱.素养提炼

对回归直线与回归方程的理解(1)回归方程被样本数据唯一确定,各样本点大致分布在回归直线附近,既有可能存在某些样本点在回归直线上,也有可能所有样本点都不在回归直线上.对同一个总体,不同的样本数据对应不同的回归直线,所以回归直线也具有随机性,千万不要误解为回归直线一定是唯一的?但若只要样本数据确定了,回归直线方程也就唯一确定了.