2.2 切线长定理 同步练习

2.2切线长定理基础过关全练知识点切线长定理1.(2019浙江杭州中考)如图,P为圆O外一点,PA,PB分别切圆O于点A,B,若PA=3,则PB=()A.2 B.3 C.4 D.52.如图,PA、PB为☉O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交☉O于点D,下列结论不一定成立的是()A.PA=PB B.∠BPD=∠APD C.AB⊥PD D.AB平分PD3.如图,☉O与四边形ABCD的各边均相切,AB=10,BC=7,CD=8,则AD的长度为()A.8 B.9 C.10 D.114.如图,分别过☉O上A、B、C三点作☉O的切线,切线两两相交于P、M、N,PA=9,则△PMN的周长为.

5.如图,直线PA,PB是☉O的两条切线,A,B分别为切点,∠APB=120°,OP=10,则弦AB的长为.

6.如图,☉O与△ABC的边AB、AC的延长线及BC边相切,且∠ACB=90°,∠A,∠ABC,∠ACB所对的边长依次为35,则☉O的半径为.

7.如图,EA、EB切☉O于点A、B,BC为☉O的直径,延长BE、CA交于点D,延长CB、AE交于点F,若DE=2.5,BF=6,求☉O的半径.能力提升全练8.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,过点A作半圆的切线AE,切点为E,则sin∠CBE=()A.63 B.23 9.如图,正方形ABCD的边长为2,DE与以AB为直径的半圆相切并交BC于点E,则三角形DEC的面积为.

10.(2022浙江温州平阳期中)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,以顶点C为圆心,BC的长为半径画弧BH,交CD于H,过AB的中点P作弧BH的切线PE,E为切点,连结AE并延长交CD于点F,则tan∠DAF的值为.

11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O的圆心O在BC上,☉O分别与AC、AB切于C、D两点,与BC交于另一点E,连结AO交☉O于点M,连结DE.(1)求证:DE∥AO.(2)若AC=6,BC=8,①求ACCE②求DE的长.12.如图①,已知AB为☉O的直径,∠A=∠B=90°,DE与☉O相切于E,☉O的半径为5,AD=2.(1)求BC的长;(2)如图②,连结AE并延长,交BC的延长线于G,求EG的长.素养探究全练13.如图,已知AB为☉O的直径,BC,CD是☉O的切线,切点分别为点B,D,点E为AB上的一个动点,连结CE,DE.若AB=25,BC=2,则CE+DE的最小值是.

2.2切线长定理答案全解全析基础过关全练1.B由切线长定理得PB=PA=3,故选B.2.D∵PA,PB是☉O的切线,∴PA=PB,连结OA、OB,易证△AOP≌△BOP,∴∠BPD=∠APD,∴AB⊥PD,∴选项A、B、C中的结论成立;不能证明AB平分PD,∴选项D中的结论不一定成立.故选D.3.D∵☉O与四边形ABCD的各边均相切,∴AD+BC=AB+CD,∵AB=10,BC=7,CD=8,∴AD+7=10+8,解得AD=11.故选D.4.答案18解析∵PA、PB、MN分别与☉O切于A、B、C,∴PA=PB,MA=MC,NB=NC,∴△PMN的周长=PM+MN+PN=PM+MC+CN+PN=PM+MA+NB+PN=PA+PB=9+9=18.5.答案53解析连结OA、OB,如图所示,∵直线PA,PB是☉O的两条切线,∴OA⊥AP,OB⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°.∵OA=OB,∴PO平分∠APB,∴∠APO=12∠APB∵∠APB=120°,∴∠AOB=60°,∠APO=12∠APB=60°∵OA=OB,∴△AOB是等边三角形.∴AB=OA.在Rt△AOP中,sin∠APO=OAOP∴OA=OP·sin∠APO.∵OP=10,∠APO=60°,∴OA=10×3∴AB6.答案2解析如图,设☉O与AB、AC的延长线相切于F、D,与BC相切于E,连结OD,OE,∵☉O与△ABC的边AB、AC的延长线及BC边相切,∴AF=AD,BE=BF,CE=CD,OD⊥AD,OE⊥BC,∴∠ODC=∠OEC=90°,∵∠ECD=180°-∠ACB=90°,OE=OD,∴四边形ODCE是正方形,∴OD=OE=CE=CD,设OD=CD=CE=r,∵BC=3,∴BE=BF=3-r,∵AB=5,AC=4,∴AF=AB+BF=5+3-r,AD=AC+CD=4+r,∴5+3-r=4+r,∴r=2,则☉O的半径是2.7.解析连结AB,OA,如图,∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=90°,∴∠BAD=90°,∴∠BAE+∠DAE=90°,∠ABE+∠D=90°,∵EA、EB切☉O于点A、B,∴AE=BE,∴∠ABE=∠BAE,∴∠D=∠DAE,∴AE=DE,∴DE=AE=BE=2.5,在Rt△BEF中,BE=2.5,BF=6,∴EF=BE2+B∴AF=EF+EA=9,∵EA切☉O于点A,∴∠OAF=90°,在Rt△OAF中,OA2+AF2=OF2,设☉O的半径为r,∴r2+92=(6+r)2,解得r=154∴☉O的半径为154能力提升全练8.D如图,设BC的中点为O,则O为半圆的圆心,连结OE,AO,AO与BE交于点F,由题易知AB为半圆的切线,∵AE为半圆的切线,∴AE=AB,易证△AOB≌△AOE,∴∠OAB=∠OAE,∴AO⊥BE,在直角三角形AOB中,AO2=OB2+AB2,∵OB=12BC=1,AB=3,∴AO=10易证△BOF∽△AOB,∴BO∶AO=OF∶OB,∴1∶10=OF∶1,∴OF=1010∴sin∠CBE=OFOB=9.答案1.5解析如图,设DE与半圆相切于点F,∵四边形ABCD是正方形,∴∠OAD=∠OBC=∠C=90°,AB=BC=AD=CD=2,∵OA、OB是半圆的半径,∴DA与半圆相切于点A,EB与半圆相切于点B,又∵DE与半圆相切于点F,∴DA=DF=2,EB=EF,设EB=EF=x,则EC=BC-EB=2-x,DE=DF+EF=2+x,在Rt△DEC中,DC2+CE2=DE2,∴22+(2-x)2=(2+x)2,解得x=12,∴EC=BC-EB=3∴三角形DEC的面积=12EC·DC=10.答案2解析如图,连结PC,BE交于G,连结CE,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∵BC是弧BH的半径,∴PB弧BH的切线,∵PE是弧BH的切线,∴PB=PE,∵BC=CE,∴PC垂直平分BE,∴∠BGC=90°,∴∠BCG+∠CBG=90°,∵∠ABC=90°,∴∠PBG+∠CBG=90°,∴∠ABE=∠BCP,∵点P是AB的中点,∴AP=PB=4,∴AP=BP=PE,∴∠PAE=∠AEP,∠PBE=∠PEB,∴∠BAE+∠ABE=90°,∵∠BAE+∠DAF=90°,∴∠DAF=∠ABE=∠BCP,∴tan∠DAF=tan∠BCP=PBBC11.解析(1)证明:连结OD,如图所示,∵☉O分别与AC、AB切于C、D两点,∴AC=AD.在△AOC与△AOD中,AC=∴△AOC≌△AOD(SSS).∴∠AOC=∠AOD.∴∠AOC=12∠∵∠DEO=12∠COD,∴∠AOC=∠DEO.∴DE∥(2)①设☉O的半径为x,则OD=x,OB=8-x,CE=2x.在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,∴AB=AC2∵AB切☉O于点D,∴OD⊥AB.∴∠ODB=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠ODB.又∵∠B=∠B,∴△BOD∽△BAC.∴BOBA=OD解得x=3.∴CE的长为6.∴ACCE=1②易得OC=3,BE=BC-CE=8-6=2,BO=5.在Rt△AOC中,AO=AC∵DE∥AO,∴BEBO=DE解得DE=65∴DE的长为6512.解析(1)如图,过点D作DF⊥BC于点F,∵AB为☉O的直径,∠A=∠B=90°,∴四边形ABFD是矩形,AD、BC是☉O的切线,∴DF=AB=25,BF=AD=2,∵DE与☉O相切于E,DA与☉O相切于A,∴DE=AD=2,同理可得CE=BC,设BC=CE=x,则CF=BC-BF=x-2,DC=DE+CE=2+x,在Rt△DCF中,DC2=CF2+DF2,即(2+x)2=(x-2)2+(25)2,解得x=52,即BC=5(2)∵∠BAD=∠B=90°,∴∠B+∠BAD=180°,∴AD∥BC,∴△ADE∽△GCE,∴AD∶CG=DE∶CE=AE∶EG,∵AD=DE=2,∴CG=CE=BC=52∴BG=BC+CG=5,AE∶EG=AD∶CG=2∶52=4∶5在Rt△ABG中,AG=AB∴EG=59素养探究全练13.答案14解析过点D作DF⊥AB于点F,延长DF交☉O于点G,连结CG交AB于点E,如图,∵AB为☉O的直径,AB⊥DG,∴DF=FG.∴点D与点G关于AB对称.∴DE=EG,∴当ED+EC=EG+EC=GC时,ED+EC的值最小.连结OD,AD,DB,∵AB为☉O的直径,AB=25,∴OA=DO=OB=12∵BC,CD是☉O的切线,∴BC=CD=2,OD⊥CD,OB⊥BC,∵∠ADB=90°,∠CDO=90°,OB=OD,∴∠A+∠ABD=90°,∠ODB+∠CDB=90°,∠ABD=∠ODB,∴∠CDB=∠A.∵OA=OD,∴∠A=∠ADO.∵DC=CB,∴∠CDB=∠CBD.∴∠CDB=∠A=∠ADO=∠CBD.∴△OAD∽△CDB.∴ADBD设AD=5k(k>0),则BD=2k,∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.∴AD2+BD2=AB2