专项04 圆的切线的证明

专项04圆的切线的证明类型一见半径,证垂直1，如图,在☉O中,半径OC垂直于弦AB,垂足为点E.(1)若OC=5,AB=8,求tan∠BAO;(2)若∠DAC=∠BAC,且点D在☉O的外部,判断直线AD与☉O的位置关系,并加以证明.2，如图,∠BAC=90°,点A在☉O上,过点O作BA的平行线交AC于点E,交过点C的直线于点D,且∠D=∠BCA.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)若AB=2,BC=23,求CD的长.3，如图,在☉O中,AB为☉O的直径,点E在☉O上,D为BE的中点,连接AE,BD并延长,交于点C.连接OD,在OD的延长线上取一点F,连接BF,使∠CBF=12∠BAC(1)求证:BF为☉O的切线;(2)若AE=4,OF=92,求☉O的半径类型二连半径,证垂直4，如图,已知A是☉O上一点,半径OC的延长线与过点A的直线交于B点,OC=BC,2AC=OB.(1)求证:AB是☉O的切线;(2)若∠ACD=45°,OC=2,求∠ADC的度数及弦CD的长.5，如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作☉O交BC于点D,过点D作DE⊥AC于点E.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)若AB=AC=6,tan∠BAC=34,求DE的长6，如图,点A,B,C是☉O上的三点,且点A是弦BC所对优弧的中点,过点A作EF∥BC.(1)如图1,求证:EF是☉O的切线;(2)如图2,作射线BO交AC于点G,交☉O于点I,交直线EF于点H,当AG=3,CG=5时,求sin∠AHB的值. 图1 图2类型三作垂直,证半径7，如图,点O为正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OA的长为半径的☉O与CD相切于点M(1)求证:BC与☉O相切;(2)若☉O的半径为2,求正方形的边长.8，如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AO平分∠CAB交BC于点O,以OC为半径作☉O,直线AO交☉O于点E,D,连接CD(1)求证:AB是☉O的切线;(2)若2AC=3AE,☉O的直径为5,求CD的长.

专项04圆的切线的证明答案全解全析1.解析(1)∵半径OC垂直于弦AB,∴AE=BE=12AB=4,在Rt△OAE中,OA=5,AE=4,∴OE=OA2-AE2∴tan∠BAO=OEAE=3(2)AD与☉O相切.证明:∵半径OC垂直于弦AB,∴AC=BC,∴∠AOC=2∠BAC,∵∠DAC=∠BAC,∴∠AOC=∠BAD,∵∠AOC+∠OAE=90°,∴∠BAD+∠OAE=90°,∴∠OAD=90°,∴OA⊥AD,∵OA是☉O的半径,∴AD与☉O相切.2.解析(1)证明:∵∠BAC=90°,∴BC为☉O的直径,∵BA∥OD,∴∠OEC=∠BAC=90°,∴OE⊥CA,∴∠D+∠DCE=90°,∵∠D=∠BCA,∴∠BCA+∠DCE=∠BCD=90°,∴BC⊥CD,∵BC为☉O的直径,∴CD是☉O的切线.(2)∵AB=2,BC=23,∠BAC=90°,∴AC=BC2-AB2=(23)2-22又∠D=∠BCA,∴△DOC∽△CBA,∴DCAC=OCAB,即DC22=3.解析(1)证明:如图,连接AD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵D为BE的中点,∴BD=DE,∴∠BAD=∠CAD=12∠∵∠CBF=12∠BAC,∴∠CBF=∠∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠ABF=∠ABD+∠CBF=90°,∴AB⊥BF,∵OB是☉O的半径,∴BF是☉O的切线.(2)如图,连接BE,∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°.∵∠BOD=2∠BAD,∠BAC=2∠BAD,∴∠BOD=∠BAC,∵∠OBF=∠AEB=90°,∴△OBF∽△AEB,∴OB∶AE=OF∶AB,∴OB∶4=92∶2OB,∴OB2=9.∵OB>0,∴OB=3,∴☉O的半径为4.解析(1)证明:如图,连接OA,∵OC=BC,2AC=OB,OA=OC,∴OC=BC=AC=OA,∴△ACO是等边三角形,∴∠O=∠OCA=∠OAC=60°.∵AC=CB,∴∠CAB=∠B.∵∠OCA是△ACB的外角,∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B,∴∠B=∠CAB=30°.∴∠OAB=∠CAB+∠OAC=30°+60°=90°,∴OA⊥AB,∵OA是☉O的半径,∴AB是☉O的切线.(2)如图,作AE⊥CD于点E,∵∠O=60°,∴∠ADC=12∠O=12×60°=30∵∠ACD=45°,AC=OC=2,∴AE=CE=2.∵∠ADC=30°,∴AD=2AE=22,∴DE=AD2-AE2=(25.解析(1)证明:如图,连接OD,AD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,点O是AB的中点,∵AC=AB,∴点D是BC的中点,∴OD∥AC,∵DE⊥AC,∴OD⊥DE,∵OD是☉O的半径,∴DE是☉O的切线.(2)设AC与☉O交于点F,连接BF,∵AB是☉O的直径,∴∠BFA=90°,∵tan∠BAC=BFAF=34,∴不妨设BF=3k,AF=4k,则AB=5k,∵AB=6,∴5k=6,解得k=65,∴BF=185.∵DE⊥AC,BF∵点D是BC的中点,∴E为CF的中点,∴DE是△CFB的中位线,∴DE=12BF=96.解析(1)证明:如图①,连接AO,BO,CO,∵点A是弦BC所对优弧的中点,∴AB=AC,∴AB=AC,∵BO=CO,AO=AO,∴△ABO≌△ACO(SSS),∴∠BAO=∠CAO,∴AO⊥BC,∵EF∥BC,∴AO⊥EF,∵AO是☉O的半径,∴EF是☉O的切线.(2)如图②,连接AO并延长,交BC于M,易知AM⊥BC,AB=AC,∴BM=MC,∵EF∥BC,∴∠MBO=∠AHB,△AGH∽△CGB,∴AHBC=AGCG=35,∴AH2MB=35∵△AOH∽△MOB,∴MOOA=BMAH=56,∴MOOB=56,∴sin∠MBO=MOOB=56图①图②7.解析(1)证明:如图,过O作OH⊥BC于H,∵四边形ABCD是正方形,∴∠ACB=∠ACD=45°,∵CD是☉O的切线,∴OM⊥CD,∴△OHC≌△OMC,∴OM=OH,∵OM为☉O的半径,∴OH为☉O的半径,∴BC与☉O相切.(2)∵☉O的半径为2,∴OA=OM=2,易知四边形OHCM是正方形,∴CM=OM=2,∴OC=CM2+OM2=(2)2+(2)2=2,∴AC=OA+OC=2+2,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠B=90°,在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=2AB2,即AC=2AB,∴28.解析(1)证明:如图,过点O作OF⊥AB于点F,∵∠ACB=90°,∴OC⊥AC,∵AO平分∠CAB,OF⊥AB,OC⊥AC,∴OF=OC,∵OC为☉O的半径,∴OF为☉O的半径,∴AB是☉O的切线.(2)如图,连接CE,∵DE为☉O的直径,∴∠DCE=90°.∵∠ACB=90°,∴∠ACE+∠ECB=∠ECB+∠BCD=90°,∴∠ACE=∠BCD.∵OC=OD,∴∠BCD=∠D,∴∠ACE=∠D.∵∠EAC=∠CAD,∴△AEC∽△ACD,∴CE