专项02 圆与相似的综合

专项02圆与相似的综合类型一相似与切线的综合1.(2022山东枣庄中考)如图,在半径为10cm的☉O中,AB是☉O的直径,CD是过☉O上点C的直线,且AD⊥DC于点D,AC平分∠BAD,点E是BC的中点,OE=6cm.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)求AD的长.类型二K型相似与圆的综合2.(2020湖南怀化中考)如图,在☉O中,AB为直径,点C为圆上一点,延长AB到点D,使CD=CA,且∠D=30°.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)分别过A、B两点作直线CD的垂线,垂足分别为E、F,过C点作AB的垂线,垂足为G.求证:CG2=AE·BF.类型三相交型相似与圆的综合3.(2022山东聊城中考)如图,点O是△ABC的边AC上一点,以点O为圆心,OA为半径作☉O,与BC相切于点E,交AB于点D,连接OE,连接OD并延长交CB的延长线于点F,连接AF,∠AOD=∠EOD.(1)求证:AF是☉O的切线;(2)若FC=10,AC=6,求FD的长.类型四黄金分割与圆的综合4.如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠ACF=∠B,CF交BA的延长线于点F.(1)求证:CF为☉O的切线;(2)若FC=AB,求证:点A是BF的黄金分割点;(3)若AF=1,CF=22,AC=5,求☉O的直径.

专项02圆与相似的综合答案全解全析1.解析(1)证明:连接OC,如图,∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠CAO,∵OA=OC,∴∠CAO=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC,∵AD⊥DC,∴CO⊥DC,∵OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.(2)∵E是BC的中点,且OA=OB,∴OE是△ABC的中位线,∴AC=2OE,∵OE=6cm,∴AC=12cm,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°=∠ADC,又∠DAC=∠CAB,∴△DAC∽△CAB,∴ADAC=ACAB,即AD12=122.证明(1)连接OC,如图所示,∵CA=CD,且∠D=30°,∴∠CAD=∠D=30°,∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAD=30°,∴∠COD=∠CAD+∠ACO=30°+30°=60°,∴∠OCD=180°-∠D-∠COD=180°-30°-60°=90°,∴OC⊥CD,又∵OC为☉O的半径,∴CD是☉O的切线.(2)∵∠COB=60°,且OC=OB,∴△OCB为等边三角形,∴∠CBG=60°,又∵CG⊥AD,∴∠CGB=90°,∴∠GCB=90°-∠CBG=30°,在Rt△CDG中,∠D=30°,∴∠GCD=60°,∴∠BCD=30°=∠GCB,∴CB平分∠GCD,∵BF⊥CD,BG⊥CG,∴BF=BG,又∵BC=BC,∴Rt△BCG≌Rt△BCF(HL),∴CF=CG.∵∠D=30°,AE⊥ED,∴∠EAD=60°,又∵∠CAD=30°,∴AC平分∠EAG,∵CE⊥AE,CG⊥AB,∴CE=CG,∵∠AEC=∠BFC=90°,∠EAC=30°=∠BCF,∴△AEC∽△CFB,∴AECF=CEBF,即CF·CE=AE·BF,又CE=CG,CF=CG,∴CG23.解析(1)证明:在△AOF和△EOF中,OA=OE,∠AOF=∠EOF,OF=OF,∴△AOF≌△EOF(SAS),∴∠OAF=∠OEF,∵BC与☉O相切,∴OE⊥FC,∴∠OAF=∠OEF=90°,即OA⊥AF,∵(2)在Rt△CAF中,∠CAF=90°,FC=10,AC=6,∴AF=FC2−AC2=8,∵∠OCE=∠FCA,∠OEC=90°=∠FAC,∴△OEC∽△FAC,∴EOAF=COCF,设☉O的半径为r,则r8=6−r10,解得r=83,在Rt△FAO中,∠FAO=90°,AF=8,AO=4.解析(1)证明:如图①,连接CO并延长,与☉O交于点D,连接AD,∵AC=AC,∴∠D=∠B,∵DC是☉O的直径,∴∠DAC=90°,∴∠D+∠ACD=90°,∵∠ACF=∠B,∴∠ACF+∠ACD=90°,即CD⊥CF,∴CF为☉O(2)证明:∵∠ACF=∠B,∠F=∠F,∴△ACF∽△CBF,∴AFCF=CFBF,∵FC=AB,∴AFAB=ABBF,∴AB2=AF·BF(3)如图②,连接CO并延长,与☉O交于点D,连接BD,由(2)可知△ACF∽△CBF,∴AFCF=CFBF=ACBC,∵AF=1,CF=22,AC=5,∴122=22BF=5BC,∴BF=8,BC=210,∴AB=8-1=7,过点C作CE⊥AB于E,设AE=x,则EB=7-x,在Rt△AEC和Rt△BEC中,CE2=AC2-AE2,CE2=BC2-BE2,∴AC2-AE2=BC2-BE2,