高中数学 第二讲 参数方程 四 渐开线与摆线课件 新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学课件

四渐开线与摆线第二讲参数方程学习目标1.了解圆的渐开线的参数方程.2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一渐开线答案根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.思考把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状.若要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数.设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x，y).显然，点M由角φ惟一确定.梳理圆的渐开线及其参数方程(1)定义把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的叫做渐开线的基圆.(2)参数方程设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是_______________________________.定圆知识点二摆线答案摆线.思考当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？梳理摆线及其参数方程(1)定义当一个圆沿着一条定直线滚动时，圆周上的的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做.(2)参数方程设圆的半径为r，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是__________________________无滑动地一个定点旋轮线题型探究例1求半径为4的圆的渐开线的参数方程.类型一圆的渐开线解答设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，则|AM|＝＝4θ.作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，＝(4(cosθ＋θsinθ)，4(sinθ－θcosθ)).反思与感悟圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.跟踪训练1已知圆的渐开线方程为(φ为参数)，则该基圆半径为___，当圆心角φ＝π时，曲线上点A的直角坐标为________.答案解析类型二平摆线答案解析圆的方程为x2＋y2＝9，∴圆的圆心为(0,0)，半径r＝3，反思与感悟(1)摆线的参数方程摆线的参数方程为(φ为参数)，其中r：生成圆的半径，φ：圆在直线上滚动时，点M绕圆心作圆周运动转过的角度∠ABM.(2)将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离.跟踪训练2已知一个圆的摆线的参数方程是(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是___；一个拱的跨度为____.66π解析当φ＝π时，y＝3－3cosπ＝6为拱高；当φ＝2π时，x＝3×2π－3sin2π＝6π为跨度.答案解析达标检测答案1.圆(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是A.π B.3πC.6π D.10π1234√2.当φ＝2π时，圆的渐开线(φ为参数)上的点是A.(6,0) B.(6,6π)C.(6，－12π) D.(－π，12π)答案1234√答案解析3.如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是A.3π B.4πC.5π D.6π1234√所以曲线AEFGH的长是5π.12344.已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.1234解答解首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为4，所以面积为16π，1.圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳