数学学案：预习导航二维形式的柯西不等式_第1页
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文档简介

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精预习导航1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．1．二维形式的柯西不等式(1）若a,b，c,d都是实数,则(a2＋b2)（c2＋d2）≥（ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2）二维形式的柯西不等式的推论：（a＋b)（c＋d)≥（eq\r(ac)＋eq\r(bd）)2（a,b，c，d为非负实数);eq\r（a2＋b2)·eq\r(c2＋d2）≥｜ac＋bd|（a，b，c，d∈R）；eq\r(a2＋b2)·eq\r（c2＋d2)≥｜ac｜＋｜bd｜（a,b，c,d∈R）．【做一做1】已知a，b＞0,且a＋b＝1，则(eq\r(4a＋1)＋eq\r（4b＋1))2的最大值是(）A．2eq\r(6)B．eq\r（6)C．6D．12解析：（eq\r（4a＋1)＋eq\r（4b＋1）)2＝（1×eq\r(4a＋1）＋1×eq\r（4b＋1)）2≤（12＋12）(4a＋1＋4b＝2[4（a＋b）＋2]＝2×（4×1＋2）＝12，当且仅当eq\r（4b＋1）＝eq\r(4a＋1），即a＝b＝eq\f（1,2）时等号成立．答案:D2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤｜α|｜β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．【做一做2】设a＝(－2，1，2），｜b|＝6，则a·b的最小值为__________,此时b＝__________。解析:根据柯西不等式的向量形式，有｜a·b|≤|a|·｜b|，∴|a·b|≤eq\r（(－2)2＋12＋22）×6＝18，当且仅当存在实数k,使a＝kb时，等号成立．∴－18≤a·b≤18。∴a·b的最小值为－18，此时b＝－2a答案：－18(4，－2，－4)3．二维形式的三角不等式（1)设x1，y1,x2，y2∈R，那么eq\r(x\o\al(2，1)＋y\o\al（2，1))＋eq\r（x\o\al(2，2)＋y\o\al(2，2)）≥eq\r（（x1－x2)2＋(y1－y2)2）.（2)推论：eq\r（(x1－x3）2＋（y1－y3）2)＋eq\r(（x2－x3)2＋（y2－y3)2）≥eq\r（（x1－x2)2＋（y1－y2)2）(x1，x2，x3

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