数学学案：预习导航第二讲一曲线的参数方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精预习导航课程目标学习脉络1．知道参数方程、普通方程的概念，通过参数方程和普通方程的比较，体会两者的区别与联系．2．会写圆的参数方程并了解其参数的意义．3．能用圆的参数方程解决一些简单问题．4．能进行普通方程和参数方程的互化.1．参数方程的概念（1）在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝f(t),,y＝g(t)）)(＊),并且对于t的每一个允许值，由方程组（＊）所确定的点M（x，y)都在这条曲线上,那么方程(＊）就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．（2）参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有几何意义或物理意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．思考1曲线的参数方程有什么特点？提示：曲线的普通方程直接反映了一条曲线上的点的横坐标、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x,y间的间接联系．曲线的参数方程常常是方程组的形式,任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值．在具体问题中，如果要求相应曲线的参数方程,首先就要注意参数的选取．一般来说，选取参数时应注意考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐标（x,y）都能由参数取某一值唯一地确定出来;二是参数与x，y的相互关系比较明显，容易列出方程．思考2求曲线参数方程的步骤是什么？提示：第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步,选择适当的参数．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离"、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．2．圆的参数方程（1）如果在时刻t，圆周上某点M转过的角度是θ,点M的坐标是（x,y），那么θ＝ωt（ω为角速度）．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有cosωt＝eq\f（x,r）,sinωt＝eq\f（y，r)，即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝rcosωt，，y＝rsinωt））(t为参数）．其中参数t的物理意义是质点做匀速圆周运动的时刻．(2）若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝rcosθ，，y＝rsinθ）)(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM0（M0为t＝0时点M的位置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．3．参数方程与普通方程的转化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．（2）在参数方程与普通方程的互化中,必须使x，y的取值范围保持一致．温馨提示给定参数方程eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosα，,y＝b＋rsinα，))其中a，b是常数．(1）如果r是常数,α是参数,那么参数方程表示的曲线是圆心为(a，b），半径为r的圆；(2)如果α是常数,r是参数，那么参数