初中数学必会模型精讲精练之数与式的规律问题

初中数学必会几何模型精讲精练数与式的规律问题【方法总结】解答数与式规律问题的关键是仔细分析数（式）表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴涵的规律，利用规律解题．类型1数（式）列中的规律【解题关键】找出前面几个数与自身序号数的关系，从而找出一般规律解题．一、递推型例题11.观察下面一列数，探求其规律：，，，，，，…（1）请问第7个，第8个，第9个数分别是什么数？（2）第2015个数是什么？如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？【答案】（1），，；（2），与0越来越接近【解析】【分析】（1）分子是1，分母是从1开始连续的自然数，奇数位置为负，偶数位置为正，第个数是；（2）根据（1）中发现的规律即可求解，因为它们的分子不变是1，分母越来越大，所以越来越接近0．【详解】解：（1）第个数是，第7个，第8个，第9个数分别是，，．（2）第2015个数是，如果这列数无限排列下去，与0越来越接近．【点睛】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现符号、分子、分母的规律，并应用发现的规律解决问题．例题22.观察式子：13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，根据你发现的规律，计算53+63+73+83+93+103的结果是()A.2925 B.2025 C.3225 D.2625【答案】A【解析】【分析】根据题意找到规律：即可求解．【详解】解：∵13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，∴，53+63+73+83+93+103()-()．故选：A．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．变式13.已知又一个有序数组，按下列方式重新写成数组，使得，，，，接着按同样的方式重新写成数组，使得，，，，按照这个规律继续写下去，若有一个数组满足，则n的值为（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】【分析】根据题意可得=2，=22，=23，从而可得=2n，代入不等式并化简可得，即可求出n的值．【详解】解：∵，，，，∴=＋＋＋=2∵，，，∴=＋＋＋=2=22同理可得：=23∴=2n∵∴∴∵29=512，210=1024，211=2048∴∴n=10故选B．【点睛】此题考查的是探索规律题，找出规律并归纳公式是解题关键．变式24.观察下面三行有规律的数：-2，4，-8，16，-32，64，……①-4，2，-10，14，-34，62，……②4，-8，16，-32，64，-128，……③（1）第一行数的第10个数是__________；（2）请联系第一行数的规律，直接写出第二行数的第10个数是____________；直接写出第三行数的第n个数是_____________；（3）取每行的第100个数，计算这三个数和．【答案】（1）1024；（2）1022，；（3）－2．【解析】【分析】（1）通过观察可知第一行数据的规律是，进而可以得出答案；（2）通过观察可知第二行的数字的规律是：第一行的数字减去2，第三行的数字的规律是：第一行的数字乘以－2，便可得出答案；（3）根据得出的规律将每一行第100个数字相加即可．【详解】解：（1）∵-2，4，-8，16，-32，64，……，∴该组数据的规律是：，，，，，，……，∴第一行数的第10个数是；（2）通过观察可知第二行的数字的规律是：第一行的数字减去2，第三行的数字的规律是：第一行的数字乘以－2，则第二行的第10个数是，第三行的第n个数是，（3）∵第一行数的第100个数是，第二行的第100个数是，第三行的第100个数是∴，即这三个数的和为－2．【点睛】本题考查了数字的规律探究，找出数字的规律是解题的关键．变式35.观察给定的分式，探索规律：（1），，，，…其中第6个分式是__________；（2），，，，…其中第6个分式是__________；（3），，，，…其中第n个分式是__________（n为正整数）．【答案】①.②.③.【解析】【分析】（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是x6（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x12，分母是y11,（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个分式的符号是（-1）n,分子是b3n-1，分母是an,【详解】解：（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是，（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是，（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个符号为（-1）n，所以，第六个分式是【点睛】本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键变式46.观察下列等式：，，．将以上三个等式的两边分别相加，得：．（1）直接写出计算结果：＝________．（2）计算：．（3）猜想并直接写出：＝________．（n为正整数）【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根据所给等式对进行拆分，然后计算即可；（2）按照（1）的思路对拆分计算即可；（3）由（2）的结论，可以推出，然后运用该规律解答即可．【详解】解：（1）==1-=；故答案为；（2）==；（3）====．【点睛】本题主要考查了探究数字规律和有理数的混合运算，分析已知等式、找出规律是解答本题的关键．二、周期型例题37.观察下列算式：，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是（）A.2 B.4 C.8 D.6【答案】D【解析】【分析】因为，，，，，，，，观察发现：的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据，，得出的个位数字与的个位数字相同是2，的个位数字与的个位数字相同是4，进一步求解即可．【详解】解：，，，，，，，，．，，∴的个位数字与的个位数字相同是2，的个位数字与的个位数字相同是4，．故的末位数字是6．故选：D．【点睛】本题考查了尾数特征的应用，关键是能根据题意得出规律，利用规律解决问题．例题48.一列数，其中，，，……，；求：（1）的值；（2）的值．【答案】（1）-1；（2）1009【解析】【分析】（1）先依次计算出的值，从中发现循环规律，然后对应解答问题．（2）根据第（1）题的数字循环规律，即可求解．【详解】解：（1）∵，，，，……．从上面的解答可以看出的值依次按-1，，2为一个循环节循环的．∵，∴的值对应的是“-1，，2”循环节的第一个数，故；（2）∵，一个循环节的和为-1++2=，∴余数为2对应的-1，两个数．∴=．【点睛】本题可以看作“数式循环规律”的题型，这类题关键经过计算得出循环的规律，得出循环节的组成，在根据问题与循环节的对应关系解答问题．变式19.观察下列等式：．解答下列问题：的末尾数字是（）A.0 B.2 C.3 D.9【答案】A【解析】【分析】通过观察31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，对前面几个数相加，可以发现末位数字分别是3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四个为一个循环，从而可以求得3+32+33+34+…+32020的末位数字是多少．【详解】解：∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，∴3=3，3+9=12，12+27=39，39+81=120，120+243=363，363+729=1092，1092+2187=3279，...通过上面式子可以发现这些数加起来的和的末位数字分别是3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四个为一个循环∵2020÷4=505∴3+32+33+34+…+32020的末位数字是0故选A．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类以及尾数特征，根据各数个位数字的变化，找出变化规律是解题的关键．变式210.若是不等于的实数，我们把称为的差倒数，如的差倒数是的差倒数为，现已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，···，依此类推，则________．【答案】【解析】【分析】根据差倒数的概念逐一计算，然后找到规律，利用规律即可解答．【详解】，，同理，，∴是这三个数的循环．∵，．故答案为：．【点睛】本题主要考查差倒数，理解差倒数的求法并找到规律是解题的关键．变式311.已知：，，，……，；则＝_______．（用含的代数式表示）【答案】【解析】【分析】观察数据可知，，=1-t，=，，…，从第一项开始3个一循环，再用2020除以3得出余数即可求解．【详解】解：观察数据可知：，=1-t，=，，…，从第一项开始3个一循环，∵2020÷3＝673…1，∴＝．故答案为：．【点睛】考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．类型2数（式）阵和数（式）表中的规律【解题关键】一般都是先找一个具有代表性数（设为某个字母）作为切入点，然后找出其他数与该数的关系，并用字母表达式写出来，从而解决相关问题）例题112.观察下面由正整数组成的数阵：照此规律，按从上到下、从左到右的顺序，第51行的第1个数是（）A.2500 B.2501 C.2601 D.2602【答案】B【解析】【分析】观察这个数列知，第n行的最后一个数是n2，第50行的最后一个数是502=2500，进而求出第51行的第1个数．【详解】由题意可知，第n行的最后一个数是n2，所以第50行的最后一个数是502=2500，第51行的第1个数是2500+1=2501，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于发现第n行的最后一个数是n2的规律．例题213.如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x的值为______．【答案】370．【解析】【详解】试题分析：观察可得左下角数字为偶数，右上角数字为奇数，所以2n=20，m=2n﹣1，解得n=10，m=19，又因右下角数字：第一个：1=1×2﹣1，第二个：10=3×4﹣2，第三个：27=5×6﹣3，由此可得第n个：2n（2n﹣1）﹣n，即可得x=19×20﹣10=370．考点：数字规律探究题.变式114.如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左向右数第（n﹣2）个数是（）（用含n的代数式表示）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n-1行的数据的个数，再加上n-2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．【详解】解：前（n﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1），所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣2=n2﹣2，所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是．故选：B．【点睛】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n-1）行的数据的个数是解题的关键．变式215.观察数表：根据数表所反映的规律，第行第列交叉点上的数应为_________．【答案】2n−1【解析】【分析】由给出排列规律可知，第一行第一列交叉点上的数是1，第2行第2列交叉点上的数是3，…，第n行与第n列交叉点上的数构成一个等差数列．【详解】解：由给出排列规律可知，第一行第一列交叉点上的数是1，第2行第2列交叉点上的数是3，…，交叉点上的数构成一个等差数列．第n行与第n列交叉点上的数是2n−1，故答案为：2n−1．【点睛】本题考查归纳推理，解答关键是利用已有的数据进行归纳，解题时要认真审题，仔细解答．变式316.将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上规律排列，第25行第20个数是______．24681012141618202224262830……【答案】640【解析】【分析】观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第n行第一个数，故可求解．【详解】观察数字的变化可知：第n行有n个偶数，因为第1行的第1个数是：2＝1×0＋2；第2行的第1个数是：4＝2×1＋2；第3行的第1个数是：8＝3×2＋2；…所以第n行的第1个数是：n（n−1）＋2，所以第25行第1个数是：25×24＋2＝602，所以第25行第20个数是：602+2×19=640．故答案为：640．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．变式517.从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：加数m的个数和S12＝1×222+4＝6＝2×332+4+6＝12＝3×442+4+6+8＝20＝4×552+4+6+8+10＝30＝5×6（1）按这个规律，当m＝6时，和S为；（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：S＝．（3）应用上述公式计算：①2+4+6+…+100②1002+1004+1006+…+1100③1+3+5+7+…+99【答案】（1）；（2）；（3）①；②；③．【解析】【分析】（1）根据规律列出运算式子，计算有理数的乘法即可得；（2）根据表格归纳类推出一般规律即可得；（3）①根据（2）的结论列出运算式子，计算有理数的乘法即可得；②利用的值减去的值即可得；③将运算中的每个加数都加上1可变成（3）①的运算式子，再减去50即可得．【详解】（1）根据规律得：当时，和，故答案为：42；（2）由表可知，当时，，当时，，当时，，当时，，归纳类推得：，故答案为：；（3）①，，；②，，，，，；③，，，，．【点睛】本题考查了有理数加减法与乘法的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．变式618.如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示．（1）若，则______．（2）用含x的式子分别表示数a，b，c，d．（3）设，判断M的值能否等于2010，请说明理由．【答案】（1）68；（2），，，；（3）不能等于2010，理由见解析．【解析】【分析】观察图1，可知：，，，．

（1）当x=17时，找出a、b、c、d的值，将其相加即可求出结论；

（2）由，，，，即可求出a+b+c+d的值；

（3）根据M=2020，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值，由x为偶数即可得出M不能为2010．【详解】观察图1，可知：，，，．

（1）当x=17时，a=5，b=15，c=19，d=29，

∴．

故答案为：68．

（2）∵，，，，

∴，

故答案为：；

（3）M的值不能等于2020，理由如下：∵，

∴M，则，

解得：．

∵402是偶数不是奇数，

∴与题目为奇数的要求矛盾，

∴M不能为2010．【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）将a、b、c、d四个数相加；（2）观察图1，用含x的代数式表示出a、b、c、d；（3）由M=2010，列出关于x的一元一次方程．类型3图形的规律【解题关键】“图形“累加”变换规律”的题型；解答这种题的程序是：标序号→数个数→找规律→验证→求结果．这种图形有：基础图形累加、基础图形递变累加、图形个数局部累加、图形个数分区域累加等类型．这种类型的图形变换规律的题在近年来各地的数学中考比较常见．一、图形固定累加型【方法归纳】对于图形固定累加首先要确定基础图形中含所求图形个数a，再确定出后一个图形在前一个图形的基础上累加的所求图形的个数b（即固定累加图形个数），再根据固定累加的图形规律推导出与序数n有关的关系式为an＝a＋bn．例题119.如图，第1个图形中小黑点的个数为5个，第2个图形中小黑点的个数为9个，第3个图形中小黑点的个数为13个，…，按照这样的规律，第个图形中小黑点的个数应该是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】观察规律，逐个总结，从特殊到一般即可．【详解】第1个图形，1+1×4=5个；第2个图形，1+2×4=9个；第3个图形，1+3×4=13个；

第n个图形，1+4n个；故选：A．【点睛】本题考查利用整式表示图形的规律，仔细观察规律并用整式准确表达是解题关键．变式20.用火柴棒按下图的方式搭图形，搭第n个图形需要火柴棒根数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】观察给出图形的根数，发现以此增加2，即可列出代数式．【详解】第一个图形有：1+2=3根，第二个图形有：1+2×2=5根，第三个图形有：1+2×3=7根，第四个图形有：1+2×4=9根，

∴第n个图形有：2n+1根；故选：A．【点睛】本题考查列代数式表示图形的变化规律，找准每个图形增加的数量关系是解题关键．21.按图示的方式摆放餐桌和椅子，图1中共有6把椅子，图2中共有10把椅子，…，按此规律，则图7中椅子把数是（）A.28 B.30 C.36 D.42【答案】B【解析】【分析】观察图形变化，得出n张餐桌时，椅子数为4n+2把（n为正整数），代入n＝7即可得出结论．【详解】解：1张桌子可以摆放的椅子数为：2+1×4＝6，2张桌子可以摆放的椅子数为：2+2×4＝10，3张桌子可以摆放的椅子数为：2+3×4＝14，…，n张桌子可以摆放的椅子数为：2+4n，令n＝7，可得2+4×7＝30（把）．故选：B．【点睛】此题考查图形类规律探究，列式计算,根据图形的排列总结规律并运用解决问题是解题的关键．22.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第个图案有4个三角形和1个正方形，第个图案有7个三角形和2个正方形，第个图案有10个三角形和3个正方形，依此规律，如果第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n=（）A.504 B.505 C.506 D.507【答案】B【解析】【分析】根据图形的变化规律、正方形和三角形的个数可发现第个图案有个三角形和个正方形，正三角形和正方形的个数共有个，进而可求得当时的值．【详解】解：∵第①个图案有个三角形和个正方形，正三角形和正方形的个数共有个；第②个图案有个三角形和个正方形，正三角形和正方形的个数共有个；第③个图案有个三角形和个正方形，正三角形和正方形的个数共有个；第④个图案有个三角形和个正方形，正三角形和正方形的个数共有个；∴第个图案有个三角形和个正方形，正三角形和正方形的个数共有个∵第个图案中正三角形和正方形的个数共有个∴∴．故选择：B【点睛】本题考查了图形变化类的规律问题、利用一元一次方程求解等，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．23.如图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示的方式两两相扣，相扣处不留空隙，小明用个如图1所示的图形拼出来的总长度会随着的变化而变化，与的关系式为______．【答案】【解析】【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】观察图形可知：

当两个图（1）拼接时，总长度为：7+5=12；

当三个图（1）拼接时，总长度为：7+2×5；

以此类推，可知：用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：，

∴与的关系式为．

故答案为：．【点睛】本题考查了图形规律，根据图形的拼接规律得出y与x的关系式是解题的关键．24.某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图）．若有43枚图钉可供选用，则最多可以按照要求展示绘画作品________张．【答案】30【解析】【分析】分别找出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行的时候，43枚图钉最多可以展示的画的数量，比较后即可得出结论．【详解】解：①如果所有的画展示成一行，43÷（1+1）=21……1，

∴43枚图钉最多可以展示20张画；

②如果所有的画展示成两行，43÷（2+1）=14……1，

14-1=13（张），2×13=26（张），

∴43枚图钉最多可以展示26张画；

③如果所有的画展示成三行，43÷（3+1）=10……3，

10-1=9（张），3×9=27（张），

∴43枚图钉最多可以展示27张画；

④如果所有的画展示成四行，43÷（4+1）=8……3，

8-1=7（张），4×7=28（张），

∴43枚图钉最多可以展示28张画；

⑤如果所有的画展示成五行，43÷（5+1）=7……1，

7-1=6（张），5×6=30（张），

∴43枚图钉最多可以展示30张画；

⑥如果所有的画展示成六行，43÷（6+1）=6……1，

6-1=5（张），6×5=30（张），

∴43枚图钉最多可以展示30张画；

⑦如果所有的画展示成七行，43÷（7+1）=5……3，

5-1=4（张），4×7=28（张），

∴43枚图钉最多可以展示28张画；

综上所述：43枚图钉最多可以展示30张画．

故答案为：30．【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，观察图形，求出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行时，最多可以展示的画的数量是解题的关键．25.如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，第3个图案中有16根小棒……（1）第8个图案中有根小棒；（2）如果第n个图案中有1011根小棒，那么n的值是多少？【答案】（1）41；（2）202【解析】【分析】（1）前三个图案中的6，11，16可分别写为6=5×1+1，11=5×2+1，16=5×3+1，于是可得规律，进而可求出第8个图案的小棒数量；（2）由（1）题的规律可得第n个图案中小棒的数量，于是可得关于n的方程，解方程即得答案．【详解】解：第1个图案中有6根小棒，6=5×1+1，第2个图案中有11根小棒，11=5×2+1，第3个图案中有16根小棒，16=5×3+1，……，所以第8个图案中有（5×8+1）=41根小棒；故答案为：41；（2）第n个图案中有根小棒，根据题意，得5n+1=1011，解得n=202．答：n的值是202．【点睛】本题考查了图形类规律探求和一元一次方程的应用，找准规律是解题的关键．二、图形递变累加型【方法归纳】图形递变累加型，即对于累加个数不固定，图形也看不出规律的应该先数出所求图形的个数，再比较后一个图形和前一个图形，通过作差（商或者积）来观察图形个数或将图形个数与n进行对比，寻找是否与n有关的积，平方，平方加几，平方减几等关系，从而总结规律推导出关系式．例426.下列图形是由同样大小的棋子按一定规律组成的，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（）A.141 B.106 C.169 D.150【答案】A【解析】【分析】本题的图从②个图开始可以看作是由图①的一个棋子为中心依次向外以五边形的形式向外扩张，棋子依次是的整数倍关系．所以第⑥个图形中棋子的颗数也就容易计算了．【详解】解：∵第①个图形中棋子的个数为：＝1＋5×0；第②个图形中棋子的个数为：；第③个图形中棋子的个数为：；…∴第个图形中棋子的个数为：；则第⑧个图形中棋子的颗数为：故应选A．【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，根据图形中棋子数目的变化找出变化规律是解题的关键．27.如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第50个图形中有（）个小圆圈．A.2454 B.2605 C.2504 D.2554【答案】D【解析】【分析】设第n个图形中有an个小圆圈(n为正整数)，根据图形中小圆圈个数的变化可找出“an＝4+n(n+1)(n为正整数)”，再代入n＝50即可求出结论．【详解】解：设第n个图形中有an个小圆圈(n为正整数)观察图形，可知：a1＝4+1×2，a2＝4+2×3，a3＝4+3×4，a4＝4+4×5，…，∴an＝4+n(n+1)(n为正整数)，∴a50＝4+50×51＝2554故选D．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中小圆圈个数的变化找出变化规律“an＝4+n(n+1)(n为正整数)”是解题的关键．28.如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个知形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易得第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为，依此类推，第个矩形的面积为．【详解】解：已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的；第三个矩形的面积是；故第个矩形的面积为：．故选：．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．29.德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，做法如下：取一条长度为1的线段三等分后，去掉中间段，余下两条线段，达到第1阶段；将剩下的两条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下四条线段，达到第2阶段；再将剩下四条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下八条线段，达到第3阶段；．．，一直如此操作下去大在不断分割舍