辽宁省抚顺德才高级中学2024-2025学年高二缤纷勤学班上学期阶段验收数学试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024-2025学年度上学期缤纷勤学阶段验收考试高二数学试卷满分：150分考试时间：120分钟一、单选题（每题5分，共40分）1．复数满足：（其中是虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知，则的面积为（

）A． B． C．8 D．3．已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（

）A． B． C． D．4．如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（

）A．78 B．74 C．64 D．525．如图，在长方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．已知的内角所对的边分别为，，下面可使得有两组解的的值为（

）A． B． C． D．7．在正四棱柱中，，设，则（

）A．2 B． C．4 D．88．如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1，活动弹子分别在对角线上移动，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若直线，，且l⊥m，l⊥n，则D．若l，m是异面直线，，，且，，则10．在中，下列结论正确的是（

）A．若，则为等腰三角形B．若，则是直角三角形C．若，则是钝角三角形D．若，则是等边三角形11．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（

）A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是C．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为三、填空题12．已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则.13．已知三棱锥，若两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为.14．正三棱柱中，，是的中点，点在上，且满足，当直线与平面所成的角取最大值时，的值为．四、解答题15．已知复数，且为纯虚数.(1)求复数；(2)若，求复数及.16．已知的内角所对的边分别为，且(1)求角A；(2)若为边上一点，为的平分线，且，求的面积17．如图：三棱柱中，，是的中点．(1)在线段上是否存在一点，使得四边形为梯形?说明理由；(2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值．18．在中，角的对边是，已知．(1)求角；(2)若点在边上，且，求面积的最大值．19．如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且．

(1)求证：；(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页2024-2025学年度上学期缤纷勤学阶段验收考试数学答案A1．D【详解】由，得，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D.2．A【详解】因为，所以是直角三角形且，可得，所以的面积，则的面积．3．C【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为，由题意可得：，解得，设该圆锥的母线与底面所成的角为，则，可得，所以该圆锥的母线与底面所成的角为.故选：C.4．A【详解】根据题意，可得，，在中，.在中，，，所以，在中，由正弦定理得，即，即，解得，在中，，，所以.故选：A.5．A【详解】取的中点F，连接EF，CF，，又为的中点，在长方体中，可得，所以为异面直线BD与CE所成的角或其补角，因为，所以，，所以在中，由余弦定理得.6．D【详解】要使得有两组解，则，又，得到，故选：D.7．C【详解】在正四棱柱中，，.8．B【详解】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，A1,0,0，设，则，则单调递减，单调递增，所以时，最小值为，时，最大值为，所以.9．ABC【详解】对于A，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，A错误．对于B，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，B错误．对于C，没有说m，n是相交直线，所以不能得到，C错误．对于D，因为，设平面平面，，所以，因为l，m是异面直线，，所以l，a相交，因为，，，所以，因为，，l，a相交，所以，D正确．10．CD【详解】对于A，中，若，则有或，当时，，为等腰三角形；当时，，为直角三角形，故A选项不正确，对于B，中，若，则或，即或，因此不一定是直角三角形，故B选项不正确；对于C，中，若，则根据正弦定理得，余弦定理得，则为钝角，是钝角三角形，故C选项正确；对于D，中，若，则，即，由，得，所以，，是等边三角形，故D选项正确．故选：CD．11．ABD【详解】对A：如图：

当在平面上运动时，四棱锥的底面面积为定值4，高为点到平面的距离为定值2，所以为定值.故A正确；对B：如图

当在线段上运动时，与所成角就是与所成的角，因为为等边三角形，所以当点与线段的端点重合时，与所成的角最小，为，当点为线段中点时，与所成的角最大，为.故B正确；对C：如图：

因为是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，所在的平面为如图正六边形，正六边形的边长为，当点与中点重合时，最小，为.故C错误；对D：如图：

使直线与平面所成的角为的点P的轨迹为对角线、以及平面内以为圆心，以2为半径的圆的，故点的轨迹长度为：.故D正确.故选：ABD12．【详解】由题意设，则是纯虚数当且仅当，解得，所以.故答案为：.13．【详解】在三棱锥中，因为PA，PB，PC两两垂直，且，以PA，PB，PC为棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由题意可知，这个长方体的体对角线的中点是三棱锥的外接球的球心，三棱锥的外接球半径为，所以外接球的表面积为.故答案为：.14．/【详解】

如图，正三棱柱中，取中点，连接，则，则平面，不妨设，以为坐标原点，以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，于是，则，取平面ABC的一个法向量为，设直线PN与平面ABC所成的角为，，当时，，此时角最大．15．(1)(2)，【详解】（1）由，所以，又为纯虚数，所以，解得，所以复数；（2）由（1）知，所以，故，.16．(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，则，可得，又因为，则，可得，所以.（2）因为为的平分线，则，因为，则，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面积.17．(1)存在，为中点.(2)【详解】（1）为中点，四边形为梯形，理由如下：为中点，连接，又是的中点，则有且，三棱柱中，且，所以有且，故为中点，四边形为梯形；（2）依题意，，，则有，，，，，则，即，解得.18．(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，整理得到，即，又B∈0,π，所以，得到，又，所以.（2））因为，所以，又，又由余弦定理，得到，所以，所以，当且仅当取等号，所以面积的最大值为.19