2024-2025学年上海市普陀区高三（上）调研数学试卷（0.5模）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市普陀区高三（上）调研数学试卷（0.5模）一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列不等式中，解集为{x|−1<x<1}的是(

)A.x2−1≤0 B.|x|−1≤0

C.1(x+1)(x−1)2.已知直线l与平面α相交，则下列命题中，正确的个数为(

)

①平面α内的所有直线均与直线l异面；

②平面α内存在与直线l垂直的直线；

③平面α内不存在直线与直线l平行；

④平面α内所有直线均与直线l相交．A.1 B.2 C.3 D.43.掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数，事件A的概率为P(A)，事件B的概率为P(B).则1−P(A∩B)是下列哪个事件的概率(

)A.两个点数都是偶数 B.至多有一个点数是偶数

C.两个点数都是奇数 D.至多有一个点数是奇数4.已知定义在R上的函数y=f(x)对任意x1<x2，都有f(x1)−f(x2)x1−xA.存在常数a，使得该方程无实数解 B.对任意常数a，方程均有且仅有1解

C.存在常数a，使得该方程有无数解 D.对任意常数a，方程解的个数大于2二、填空题：本题共12小题，共54分。5.函数y=log6.已知圆的方程为x2+y2−4x−m=0，其周长为2π，则7.已知圆柱的底面积为9π，侧面积为12π，则该圆柱的体积为______．8.已知z1+i=i(i为虚数单位)，则Imz−9.若(x+1)n的二项展开式中各项的系数之和为64，则展开式中x210.下列说法正确的序号是______．

①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1；

②已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5；

③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23；

④若样本数据x1，x2…，x10的方差为4，则数据2x1−1，2x211.已知角α的终边上一点的坐标为(sin5π6,cos12.已知函数y=loga(x+2)−1(a>0且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0(m>0、n>0)上，则113.数列{an}满足an=n+t，Sn为数列{an}14.在△ABC中，AB=1，∠ABC=60°，AC⋅AB=−1.若O是△ABC的重心，则BO15.如图，已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足F1M//F216.对于正整数n，设xn是关于x的方程nx3+2x−n=0的实数解，并记an=[(n+1)xn]，其中三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，数列{an}的公差为2．

(1)若b1=a1，b2=a2，b3=a18.(本小题14分)

如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD．

(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；

(2)若AB=1，CD=BC=2，求直线AD与平面ABC所成角的正弦值．19.(本小题14分)

近年来，为“加大城市公园绿地建设力度，形成布局合理的公园体系”，许多城市陆续建起众多“口袋公园”.现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”.如图所示，以EF中点A为圆心，FG为半径的扇形草坪区ABC，点P在弧BC上(不与端点重合)，AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道，其中PQ与AB垂直，PR与AC垂直．设∠PAB=θ．

(1)如果点P位于弧BC的中点，求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度；

(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用．为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点，积极推进“地摊经济”发展，预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元．则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少？(精确到1万元)20.(本小题18分)

已知抛物线Γ：y2=4x．

(1)求抛物线Γ的焦点F的坐标和准线l的方程；

(2)过焦点F且斜率为12的直线与抛物线Γ交于两个不同的点A、B，求线段AB的长；

(3)已知点P(1,2)，是否存在定点Q，使得过点Q的直线与抛物线Γ交于两个不同的点M、N(均不与点P重合)，且以线段MN为直径的圆恒过点P？若存在，求出点Q21.(本小题18分)

设P是坐标平面xOy上的一点，曲线Γ是函数y=f(x)的图像.若过点P恰能作曲线Γ的k条切线(k∈N)，则称P是函数y=f(x)的“k度点”．

(1)判断点O(0,0)与点A(2,0)是否为函数y=lnx的1度点，不需要说明理由；

(2)已知0<m<π，g(x)=sinx.证明：点B(0,π)是y=g(x)(0<x<m)的0度点；

(3)求函数y=x3−x的全体2度点构成的集合．参考答案1.C

2.B

3.D

4.B

5.(0,1]

6.−3

7.18π

8.−1

9.15

10.①③④

11.5π312.2

13.(−∞,−1013)

14.5

15.1016.2025

17.解：(1)设an=a1+2(n−1)，bn=b1qn−1，

则b1=a1b1q=a1+2b1q2=a1+8⇒b1(q−1)=218.(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，

又∵BC⊥CD，且AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABC，

∴CD⊥平面ABC，∵CD⊂平面ACD，

∴平面ACD⊥平面ABC．

(2)解：∵CD⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，则DC⊥AC，

∴∠CAD即为直线AD与平面ABC所成的角，

∵CD=BC=2，BC⊥CD，∴∠BCD=90°，∴BD=22，

又AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD，

而AB=1，∴AD=1+8=3，

∴在Rt△ACD中，sin∠CAD=CDAD=23，

又19.解：(1)由题意得∠BAC=π3，

∵点P位于弧BC的中点，∴点P位于∠BAC的角平分线上，

∴|PQ|=|PR|=|PA|⋅sin∠PAB=200×sinπ6=100，

|AQ|=|AP|cos∠PAB=200×32=1003，

∵∠BAC=π3，|AQ|=|AR|=1003，∴△ARQ为等边三角形，

∴|RQ|=|AQ|=1003，∴三条步行道PQ、PR、RQ的总长度为：

l=|PQ|+|PR|+|RQ|=100+100+1003=200+1003(米)．

(2)|PQ|=|AP|sinθ=200sinθ，

|PR|=|AP|sin(π3−θ)=200sin(π3−θ)=1003cosθ−100sinθ，

|AQ|=|AP|cosθ=200cosθ20.解：(1)抛物线Γ：y2=4x，

则p=2，且焦点在x轴正半轴，

故抛物线Γ的焦点F(1,0)，准线l：x=−1；

(2)由(1)可得，F(1,0)，

则直线AB方程为y=12(x−1)，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立方程y=12(x−1)y2=4x，化简整理可得，x2−18x+1=0，

Δ=(−18)2−4×1×1=320>0，x1+x2=18，

故|AB|=x1+x2+p=20；

(3)存在，理由如下：

设直线MN：x=my+n，M(x3,y3)，N(x4,y4)，

联立方程x=my+ny2=4x，消去x可得，y2−4my−4n=0，

则Δ=16(m2+n)>0，y3+y4=4m，y3y4=−4n，

21.解：(1)由题意，设t>0，则曲线y=lnx在点(t,lnt)处的切线方程为y−lnt=1t(x−t)，

该切线过原点O时，−lnt=−1，解得t=e，故原点O是函数y=lnx的一个1度点；

又因为该切线过点A(2,0)，所以−lnt=1t(2−t)，

设s(t)=tlnt−t+2，则s′(t)=1+lnt−1=lnt，令s′(t)=0，得t=1，

所以t∈(0,1)时，s′(t)<0，s(t)单调递减；t∈(1,+∞)时，s′(t)>0，s(t)单调递增，

所以s(t)=tlnt−t+2在x=1处取得极小值，也是最小值，且s(1)=0−1+2=1>0，

所以−lnt=1t(2−t)无解，点A(2,0)不是函数y=lnx的1度点；

(2)证明：设t>0，y′=cost，则曲线y=sinx在点(t,sint)处的切线方程为y−sint=cost(x−t)，

则该切线过点(0,π)，当且仅当π−sint=−tcost(∗)，

设G(t)=sint−tcost−π，G′(t)=tsint，∴0<t<π时，G′(t)>0，

故y=G(t)在区间(0,π)上单调递增，

∴当0<t<m<π时，G(t)<G(π)=0，(∗)恒不成立，即点B(0,π)是y=g(x)的一个0度点；

(3)y′=3x2−1，

对任意t∈R，曲线y=x3−x在点(t,t3−t)处的切线方程为y−(t3−t)=(3t2−1)(x−t)，

故点(a,b)为函数y=x3−x的一个2度点当且仅当关于t的方程b−(t3−t)=(3t2−1)(a−t)恰有两个不同的实数解，

设ℎ(t)=2t3−3at2+(a+b)，则点(a,b)为函数y=x3−x的一个2度点，当且仅当y=ℎ(t)有两个不同的零点，

若