2024-2025学年广东省佛山一中高三（上）月考数学试卷（三）（A卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省佛山一中高三（上）月考数学试卷（三）（A卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A={x|y=−x2+2x+3}，集合A.(0,1] B.(0,3] C.[−1,+∞) D.[−3,+∞)2.“tanx=tany”是“x=y+2kπ(k∈Z)”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知a，b为单位向量，且a⋅b=0，若c=3a−A.55 B.105 C.4.从社会效益和经济效益出发，某企业追加投入资金进行新兴产业进一步优化建设.根据规划，本年度追加投入4000万元，以后每年追加投入将比上年减少14，本年度企业在新兴产业上的收入估计为2000万元，由于该项建设对新兴产业的促进作用，预计今后的新兴产业收入每年会比上一年增加1000万元，则至少经过______年新兴产业的总收入才会超过追加的总投入.(

)A.6 B.5 C.4 D.35.设函数f(x)=x+1,x≤0x−1,x>0，则方程f(f(x))=0A.4 B.3 C.2 D.16.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的右支上有一点A，AF1与双曲线的左支交于BA.3 B.5 C.67.在某次乓乒球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛的场数是(

)A.0 B.1 C.2 D.38.设函数f(x)=1x，g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0)若y=f(x)的图象与y=g(x)图象有且仅有两个不同的公共点A(xA.当a<0时，x1+x2<0，y1+y2>0

B.当a<0时，x1+x2>0，y1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.复数z=1+1−3i3A.z−对应的点在复平面的第四象限 B.z2−是一个纯虚数

C.z⋅10.已知函数f(x)=x2+2ax,x<1alnx−x,x≥1A.存在实数a，使得f(x)是减函数 B.存在实数a，使得f(x)恰有1个零点

C.存在实数a，使得f(x)有最小值 D.存在实数a，使得f(x)恰有2个极值点11.如图，已知矩形ABCD中，|AB|=2，|BC|=3，点E为线段CD上一动点(不与点D重合)，将△ADE沿AE向上翻折到△APE，连接PB，PC.设|DE|=x(0<x≤2)，二面角P−AE−B的大小为θ(0<θ<π)，则下列说法正确的有(

)A.若x=1，θ=π2，则cos∠PAB=34

B.若x=1，则存在θ，使得PB⊥平面PAE

C.若x=32，则直线PB与平面ABC所成角的正切值的最大值为34

D.点A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.中国客家博物馆坐落于有“世界客都”之称的广东省梅州市城区，是一间收藏、研究、展示客家历史文化的综合性博物馆，其主馆是一座圆台形建筑，如图.现有一圆台，其上、下底面圆的半径分别为3米和6米，母线长为5米，则该圆台的体积约为______立方米.(结果保留整数)13.设a，b>0，a+b=5，则a+1+b+3的最大值为14.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F为椭圆x24+y23=1的右焦点，直线l过点F交抛物线于A，B两点，且|AB|=8.直线l1，l2分别过点A，B且均与x轴平行，在直线l1，l2上分别取点M，N(M,N均在点A，B四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

为了解高中学生对数学课是否喜爱是否和性别有关，随机调查220名高中学生，将他们的意见进行了统计，得到如下的2×2列联表．喜爱数学课不喜爱数学课合计男生9020110女生7040110合计16060220(1)根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“喜爱数学课与性别”有关；

(2)为培养学习兴趣，从不喜爱数学课的学生中进行进一步了解，从上述调查的不喜爱数学课的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“男生”的概率．

参考公式：K2P(0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82816.(本小题12分)

如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成其中，∠FAB=90°，AB=AF=2，点G为弧CD的中点，且C，G，D，E四点共面．

(1)证明：D，G，B，F四点共面；

(2)若平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为216，求AD长．17.(本小题12分)

已知函数f(x)=tanx−sinx，g(x)=x−sinx，x∈(0,π2)．

(1)证明：关于x的方程f(x)−g(x)=x在(0,π2)上有且仅有一个实数根；

(2)当x∈(0,π18.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3，直线l：y=x−1与双曲线C交于A，B两点，点D(x0,y0)在双曲线C上．

(1)求线段AB中点的坐标；

(2)若a=1，过点D作斜率为2x0y0的直线l′与直线19.(本小题12分)

已知有穷数列A：a1,a2,⋯,aN(N∈N∗,N≥3)满足ai∈{−1,0,1}(i=1，2，⋯，N).给定正整数m，若存在正整数s，t(s≠t)，使得对任意的k∈{0,1,2,⋯,m−1}，都有as+k=at+k，则称数列A是m−连续等项数列．

(1)判断数列A：1，−1，0，−1，0，−1，1是否是3−连续等项数列，并说明理由；

(2)若项数为N的任意数列A都是2−连续等项数列，求N的最小值；

(3)若数列A：a1，a2，⋯，aN不是4−连续等项数列，而数列A1：a1，a2，⋯，aN，−1，数列A2：a1，a参考答案1.C

2.B

3.C

4.C

5.B

6.D

7.B

8.B

9.BCD

10.ABD

11.AD

12.264

13.314.815.解：(1)∵K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=220×(90×40−20×70)2110×110×160×60=556≈9.167>6.635，

∴有99%的把握认为“喜爱数学课与性别有关”．

(2)从不喜爱数学课的人员中按分层抽样法抽取6人，男生应抽取2人，设为A，B，女生应抽取4人，

设为a，b，c，d，从中随机抽出2人，总的情况为：

(A,B)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(A,d)，(B,a)，(B,b)，

(B,c)，(B,d)，(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)16.解：(1)证明：解析一：

连接DG，因为AB⊥AF，AF=AB，

所以直棱柱的底面为等腰直角三角形，∠DCE=45°，

在半圆DGC上，G是弧CD中点，所以∠GDC=45°，

所以DG/​/EC，又EC//FB，

所以DG//FB，B、F、D、G四点共面．

解析二：

直三棱柱中，AB⊥AF，以A为原点，建立如图空间直角坐标系，

AF=AB=2，设AD=ℎ，

A(0,0,0)B(0,2,0)，F(2,0,0)，D(0,0,ℎ)，G(−1,1,ℎ)，

则DG=(−1,1,0)，FB=(−2,2,0)，FB=2DG，

所以DG//FB，B、F、D、G四点共面．

(2)直棱柱中，AB⊥AF，以A为原点，建立如图空间直角坐标系，

AF=AB=2，设AD=ℎ，F(2,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,ℎ)，

FD=(−2,0,ℎ)，BF=(2,−2,0)，

设平面BFD的法向量为n=(x,y,z)．

则n⋅FD=0n⋅BF=0，有−2x+ℎz=0,2x−2y=0.，化简得x=ℎ2z,x=y,，取n=(ℎ,ℎ,2)，

A(0,0,0)，B(0,2,0)，G(−1,1,ℎ)，AB=(0,2,0)，AG=(−11,ℎ)，

设平面ABG的法向量为m=(r,s.t)，

则m⋅AB=0m⋅AG=017.解：(1)证明：令ℎ(x)=f(x)−g(x)−x，则ℎ(x)=tanx−2x，

所以ℎ′(x)=1cos2x−2=1−2cos2xcos2x=(1+2cosx)(1−2cosx)cos2x

因此当x∈(0,π4)时，cosx>22，ℎ′(x)<0，当x∈(π4,π2)时，ℎ′(x)>0，

所以ℎ(x)=tanx−2x在x∈(0,π4)上单调递减，在x∈(π4,π2)单调递增，

又因为ℎ(π4)<0,ℎ(5π12)=tan(5π12)−5π6=2+3−5π6>2+1.7−2.5>0

所以ℎ(x)=tanx−2x在x∈(0,π4)无零点，在x∈(π4,π2)只有一个零点，

因此方程有且仅有一个根

(2)令φ(x)=f(x)−ag(x)=tanx−sinx−a(x−sinx)，

则φ′(x)=1cos2x−cosx−a(1−cosx)=(1−cos3x)cos2x−a(1−cosx)

①若a≤0，则当x∈(0,π2)时，φ′(x)>0，

所以φ(x)在(0,π2)上单调递增，又φ(0)=0，所以φ(x)>0恒成立；

②当1<a≤3，则φ′′(x)=2sinxcos318.解：(1)依题意，双曲线C的离心率e=ca=1+b2a2=3，则b2=2a2，

故双曲线C的方程为2x2−y2−2a2=0，

联立2x2−y2−2a2=0y=x−1，得x2+2x−2a2−1=0，且Δ>0，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−2,x1x2=−2a2−1，

设线段AB的中点为E(x′,y′)，故x′=−1，

将x′=−1代入直线l：y=x−1，得y′=−2，

故线段AB的中点坐标为(−1,−2)．

(2)依题意，a=1，则双曲线C的方程为x2−y22=1，

直线l′：y−y0=2x0y0(x−x019.解：(1)数列A是3−连续等项数列，理由如下：

数列A：1，−1，0，−1，0，−1，1中，a2=a4=−1，a3=a5=0，a4=a6=−1，

即有a2+k=a4+k(k=0,1,2)，所以数列A是3−连续等项数列．

(2)设集合S={(x,y)|x∈{−1，0，1}，y∈{−1,0,1}}，则S中的元素个数为32=9，

因为在数列A中ai∈{−1,0,1}(i=1，2，⋯，N)，所以(ai,ai+1)∈S(i=1,2,⋯,N−1)，

若N≥11，则N−1≥10>9，所以在(a1,a2)，(a2,a3)，(a3,a4)，⋯，(aN−1,aN)这N−1个有序数对中，

至少有两个有序数对相同，即存在正整数s，t(s≠t)，使得as=at，as+1=at+1，

所以当项数N≥11时，数列A一定是2−连续等项数列，

若N=3，数列0，0，1不是2−连续等项数列；

若N=4，数列0，0，1，1不是2−连续等项数列；

若N=5，数列0，0，1，1，0不是2−连续等项数列；

若N=6，数列0，0，1，1，0，−