2024年高考数学终极押题密卷2（全国乙卷文科）含答案

2024年高考数学终极押题密卷2(全国乙卷文科)

一.选择题(共12小题)

1.已知i为虚数单位，则&"=()

1+i

A.-1+iB.liiC.旦D.旦

2222

2.已知集合人二(中2-2A<0},8={x|lVxV3},则4U8=()

A.{A|1<X<2}B.{疝)«3}C.{MP}D.{4rV3}

3.已知向量Z=(1,3),b=(m,-2>且(a+E)la，则〃?=()

A.-4B.-3C.-2D.-1

4.已知a,0是两个不重合的平面，且直线/_La,则“a_LB”是“/〃0”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.在等差数列｛“〃｝中，06,018是方程f-中77=0的两个根,则｛〃〃｝的前23项的和为()

A.-184B.-92C.92D.184

02

6.若双曲线y2_2右二］(m>0)的渐近线与圆7+)2-6.v+1=0相切，则/〃=()

m2

A.亚B.V2C.D.2V2

42

7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为()

A.西B.另C.2D.A

333

8.在四棱锥P・48C。中，底面ABC。是矩形，给出以下三个结论：

①若尸。的中点为£,则PB〃平面ACE；

②若布_1_平面4BCQ,则平面PCQ_L平面以。；

③若氏J_平面ABCD,则线段PC是四棱锥P-ABCD外接球的直径.

则关于这三个结论叙述正确的是()

A.①对，②③错B.①②对，③错C.①错，②③对D.①②③都对

9.函数/(x)=3sin((DX+(P)(to>0,0<(p<K)的部分图象如图所示，则()

B./(x)图象的一条对称轴方程是x=-2土

8

C./(x)图象的对称中心是4兀工，0),kEZ

8

D.函数片f(x/^)是奇函数

8

22

10.已知椭圆c：的左、右焦点分别是臼，/2,M(1,.W)为椭圆C上一点，则下列结论不

433

正确的是()

A.△MFiB的周长为6

B.△〃网"2的面积为Y运

3

C.产2的内切圆的半径为Y运

9

D.△MFiB的外接圆的直径为丝

11

II.在△ABC中，BC=瓜AB=\,(anZABC=-2,将△ABC绕A8旋转至AAB尸处，使平面48尸_1_平

面A4C,则在旋转的过程中，点。的运动轨迹长度为()

P(C)

c

AA♦TCBn.'兀一'C'•o2TCnD.'3兀‘

22

12.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆

形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.在平面直角坐标系中，如果一个函数的图

象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列说法中错误

A.函数f(乂)=止上可以是某个圆的“优美函数”

ex+l

B.函数/(x)=/+«+工+1可以是无数个圆的“优美函数”

C.函数y=2sin号兀-2x)可以同时是无数个圆的“优美函数”

D.若函数y=/(x)是“优美函数”，则函数y=/(x)的图象一定是中心对称图形

二.填空题(共4小题)

13.已知向量彳=(-4,-3),b=(-2,m-l)»若(a+2b)ia，则帆=-

14.已知角a的终边经过点(2a+l,。-2),且cosa=--，则sin(202311-2a)=.

5

15.已知双曲线c：^1-^y=l(a>0,b>o)的右焦点为凡。为坐标原点，以O尸为直径的圆与双

bz

曲线C的一条渐近线交于点。及点A/华)，则双曲线C的方程为.

16.如图，已知在扇形。48中，半径OA=O8=3,NA0B=二，圆。1内切于扇形(圆。1和QA，

08,弧A3均相切)，作圆02与圆Ol,0A,相切，再作圆。3与圆Q,04,03相切，以此类推.设

圆圆。2,…的面积依次为Si,S2…,那么Sl+S2+-”+S〃=

数相同，若规定评价指标不低于80为优秀，低于80为良好，经统计训练时间不少于I年的有40个学

员评价指标为优秀，请列出2X2列联表，并判断是否有99%的把握认为“评价指标是否优秀与训练时

间有关”.

附：2_「(要及)：__其中,i=a+b+c+d.

K(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(片2口)0.100.050.010

ko2.7063.8416.635

20.已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为「，直线y=2x-2与E交于人，3两点，回的垂直平分线

与x轴交于N(“，0),且HF|+|Bf]=2〃・2.

(1)求〃的值；

(2)若4B的中点为M,直线/：x=m(w>0)被以MN为直径的圆截得的弦长为〃?i,被抛物线截得

的弦长为〃⑵求叱的最小值.

ml+m2

21.已知函数/(x)=2bvc+mex(z??GR).

(1)若/(「在(1,/(I))处的切线与(e-2)x+y=0平行，试分析/(x)极值点的个数；

(2)若/(%)有零点，证明：m>/.

e

22.在直角坐标系屹V中，直线，的参数方程为卜=tcos0(年R,，为参数，ae(0,—)).以坐标

y=-2+tsinCL2

原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为

P=2sine,8C(；,斗).

44

(1)求半圆C的参数方程和直线/的直角坐标方程；

(2)直线/与工轴交于点A,与)，轴交于点8,点。在半圆。上，旦直线C。的倾斜角是宜线/的倾斜

角的2倍，△A3。的面积为1+禽，求a的值.

23.已知函数/(x)=仅■且|+|x+A+d(〃，b,c均为正实数).

2

(1)当a=b=c=l时，求/(x)得最小值；

(2)当/(x)的最小值为3时，求M+扇+C?的最小值.

2024年菁优高考数学终极押题密卷2（全国乙卷文科）

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题）

1.己知i为虚数单位，则更红=（)

1+i

A•爸B.些D.5-i

2~2

【考点】复数的运算.

【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算,

【答案】D

【分析】由复数的四则运算法则计算可得.

2

［解答］解：3+2i(3+2i)(l-i)3-3i+2i-2i-5-i

1+i(1+i)(1-i)1-i22

故选：D.

【点评】本题考查复数的运算，属于基础题.

2.已知集合4={衣-2、£0},8={A11<X<3},则AU8=()

A.{A|1<X<2}B.3()«3}C.{小W2}D.{小〈3}

【考点】并集及其运算.

【以题】转化思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】B

【分析】先解出一元二次不等式，再与集合B的元素合并起来即可.

【解答］解：A={x|?-2A<0I={X|0<A<2},B={A|1<X<3},

则AU8={M0<rV3}.

故选；B.

【点评】本题考杳集合的运算，属于基础题.

3.已知向量Z=(i,3),b=(m,-2>且(a+b)la，则〃?=()

A.-4B.-3C.-2D.-1

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.

【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】A

【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解.

【解答】解：a=(l,3),b=(m,-2)，

a+b=(m+1,1)»

又(a+b)J_a,知m+1+3=0,即机=-4.

故选：A.

【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

4.已知a,0是两个不重合的平面，且直线/_La,则是"/〃(T的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件；直线与平面平行；平面与平面平行；平面与平面垂直.

【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；立体几何；逻辑推理.

【答案】B

【分析】由线面、面面关系，结合平面的基本性质判断线面关系，根据面面垂直的判定判断线面是否平

行，再由充分、必要性定义判断条件间的充分、必要关系.

【解答】解：由/J_a,若a_LB，则/，B可能平行或仁乐充分性不成立；

由/_La,/〃0,由面面垂直的判定知a_L0,必要性成立.

所以“a_L|3”是“/〃0”的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题考查线面，面面的位置关系以及充要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题.

5.在等差数列｛。〃｝中，由，ms是方程/-8入-17=0的两个根，则｛g｝的前23项的和为()

A.-184B.-92C.92D.184

【考点】等差数列的前n项和.

【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算.

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质，结合求和公式即可求解.

【解答】解：。6,418是方程f-8x-17=0的两个根，

所以6/6+6/18=8,

所以3｝的前23项的和523二空士户2=空空"=92

故选：C.

【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题.

_2

6.若双曲线y2_%=](,〃>0)的渐近线与圆$+)2・6)，+1=。相切，则〃尸()

m2

A.亚B.V2C.D.2V2

42

【考点】双曲线的性质.

【专题】方程思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】D

【分析】根据双曲线的几何性质，直线与圆的位置关系，方程思想，即可求解.

c2

【解答】解：•・•双曲线y2_5=l(m>0)的渐近线方程为y二土三，

m2m

BPx±my=O,不妨取x+tny=0,

又已知圆的方程可化为()-3)2=8,

・•・圆心为(0,3),半径彳入巧，

1n

.•・根据题意可得：圆心(0，3)到渐近级x+〃?y=0的距离d-J3L-26=+(w>0),

Vl+m2

解得

故选：D.

【点评】本题考查双曲线的几何性质，直线与圆的位置关系，方程思想，属基础题.

7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为()

:俯视图

r-1—r

【考点】由三视图求面积、体积.

【专题】数形结合：综合法；立体几何；数学运算.

【答案】A

【分析】根据三视图在正方体中作出四面体，根据正方体的性质及三棱锥的体积公式求四面体的体积即

可.

【解答】解：由三视图知，该几何体的直观图为图中的四面体A3CD,如图，

由已知得，图中正方体的棱长为4,AB=CD=2遥，4。=2,

BD=4&，BC=6,耽=2巫:

所以V四面体AB64SAABDXx]x2X4X4吟.

故选:A.

【点评】本题考查由三视图求四面体的体积，考查运算求解能力，属于基础题.

8.在四棱锥P-48CQ中，底面A8CO是矩形，给出以下三个结论：

①若。。的中点为£,则08〃平面ACE

②若%J_平面ABCD,则平面PCQJL平面PAD；

③若以_L平面ABCD,则线段PC是四棱锥P-ABCD外接球的直径.

则关于这三个结论叙述正确的是()

A.①对，②③错B.①②对，③错C.①错，②③对D.①②③都对

【考点】球的体积和表面积；直线与平面平行；平面与平面垂直；命题的真假判断与应用.

【专•题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；数学运算.

【答案】D

【分析】根据题意，依次分析3个结论，由线面平行的判定定理即可判断①，由面面垂直的判定定理即

可判断②，将四棱锥补形为长方体即可判断③，综合可■得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析3个结论：

对于①，连接4。交AC于G,连接EG,则在△P8O中，EG〃。从而EGu平面ACE,夕8a平面ACE,

则PB〃平面ACE,则①正确；

对于②，因为以_!■平面ABCZ),得以J_AB,又由于所以ABJ_平面以D,又A8//CD,所以

。。_1平面布。，而CQu平面PCQ,故平面PCO_L平面以。，则②正确；

对于③，由于以_L平面A8CD,将四棱锥还原成长方体，知PC为该长方体的体对角线，故PC为四棱

锥P-43co外接球的直径，则③正确.

故选：D.

【点评】本题考查棱锥和球的位置关系，涉及直线与平面的位置关系，属于中档题.

9.函数/(x)=3sin(3x+(p)(to>0,0<(p<n)的部分图象如图所示，则()

R./(r)图象的一条对称轴方程是丫=-2二

C.f(x)图象的对称中心是(A兀工，0),kez

8

D.函数y=f(x/L)是奇函数

8

【考点】由y=Asin(cox+(p)的部分图象确定其解析式.

【专题】函数思想；数形结合法：三角函数的图象与性质：逻辑推理；直观想象.

【答案】B

【分析】由函数/(X)=3sin(sr+cp)的图象求出八3和甲，写出/(%)的解析式，再判断选项中的

命题是否正确.

【解答】解：由函数/(幻=3sin(3户(p)的图象知，Ar=12L-(-2L)=2L,解得

2882

所以3=2兀,=2,f(x)=3sin(2A+(P),

T

又因为/(・工)=3sin((p-2L)=3,所以年一匹=匹+2阮，Q,即(p=22L+2E,依Z：

84424

因为OVqjVir,所以(p=22L,/(x)=3sin(2%+&L)；

44

对于A,f(x)=3sin(2%+且L),所以选项A错误；

8

对于B,/亚)=3sin(-卫+4)=3sin(--：=-3,选项B正确；

8442

对于C,令2X+22L=KT,kEL,解得kcz、所以/(x)的对称中心是(工

42828

0),依Z,所以选项C错误:

对于D,设ga)=/(x+22L)=3sin(ZV+Z2L+12L)=3sin(2A,+且L)=3COS2AS则g(x)的定

8442

义域为R,g(x)为偶函数，选项。错误.

故选：B.

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题.

22

10.已知椭圆a二的芹、右焦点分别是乃.F?.而为椭圆。卜一点,则下列结论不

433

正确的是()

A.△MF1F2的周长为6

B.△MF1R的面积为工运

3

C.ZXMFi月的内切圆的半径为

9

D.△MF1F2的外接圆的直径为丝

11

【考点】椭圆的性质.

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】D

【分析】由椭圆的方程，可得h,c的值，将何的坐标代入椭圆的方程，可得M的纵坐标的绝对值,

进而求出|MQ|,|A/@|的值，分别对所给的命题进而求解，判断出它们的真假.

【解答】解：由椭圆的方程可得。=2,b=M，。=疗斗=反§=1，

A中：尸2的周长为2a+2c=4+2=6,所以A正确;

B中,将M的坐标代入椭圆的方程可得性+汉=1,可得|刈=返_,

933

所以SAMCn=—|FIF2|*|VO|=—X2X2/H-=2/I1.,所以B正确；

△MF#:2233

C中，设△MFi尸2的内切圆的半径为，•，则工(2a+2c)•『工|Fi尸2|・|yo|,即工x6X'=2＞：2义乂运,

22223

可得r=2/运，所以。正确；

9

D中,SASU=—1^11•bWF2|sinZF\MFi=-l|FiF2I•\y^=^L,

□△MF42__________23

吟《亭1)2得［(■1-1)2苧吊/尸即2=写，

解得|sin/QMF2=,

16

设三角形外接圆的半径为R,则2R=—时21_=.,=3纣豆所以。不正确.

sin/FMz3任45

16

故选：D.

【点评】本题考查椭圆的性质的应用及三角形外接圆，内切圆半径的求法，属于中档题.

II.在△ABC中，BC=a,AB=\,tanZ/\«C=-2,将△ABC绕月4旋转至△48夕处，使平面4区。_1_平

面ABC,则在旋转的过程中，点。的运动轨迹长度为()

P(C)

B4C.2nD浸

【考点】平面与平面垂直；轨迹方程.

【专题】转化思想：综合法；解三角形；数学运算.

【答案】A

【分析】延长4B,过。作交AB的延长线于。，求得PO=2,乂在旋转的过程中，点C的

运动轨迹是以D为圆心，半径为的圆的』，即可求解.

4

【解答】解：延KA6,过C作交/W的延K线了⑺，

根据旋转的知识可知PD1AB.

由于平面482_1_平面48。，且交线为AB,PQu平面ABP,

・・・尸。_1_平面A8C,又CDu平面ABC,：.PDYCD,

又BC=®A8=1,tan/4BC=-2所以tan/C8O=2,NCB。为锐角，

•・•也=»PD1+Bb2=BC2=5,:,PD=2,

DB

在旋转的过程中，点。的运动轨迹是以。为圆心，半径为2的圆的』，其长度为▲x兀x22=死

44

故选：A.

【点评】本题考查立体几何知识的综合运用，考杳逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.

12.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆

形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.在平面直角坐标系中，如果一个函数的图

象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列说法中错误

A.函数f(乂)d3可以是某个圆的“优美函数”

ex+l

B.困数/(x)=/+『+工+1可以是无数个圆的“优美函数”

C.函数y=2sin(qn-2x)可以同时是无数个圆的“优美函数”

D.若函数y=/(x)是“优美函数”，则函数)，=/(X)的图象一定是中心对称图形

【考点】函数的图象与图象的变换；命题的真假判断与应用.

【专题】函数思想：综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】D

【分析】对通过判断函数的奇偶性结合“优美函数”的定义判断，对了5,通过二次求寻求出三

次函数的对称中心，再结合“优美函数”的定义判断，对于C,利用正弦函数的性质求出其对称中心，

再结合“优美函数”的定义判断，对于。，举例判断.

一玄xX

【解答】解：对于4,定义域为R,因为f(_乂)1_^1=上二二上二上二六乂)，所以/(x)为奇

e-x+ll+exex+l

函数，所以函数f(x)可以是单位圆的“优美函数”，所以A正确,

ex+l

对于3,由/(x)=/+f+x+l，得/(x)=3«+2X+1,令g(x)=/(x)=3x1+2x+\,则g'(x)=6x+2,

令g，(工)=0,得=—,

Xx3

则f(二)=(—)3+(—)2+(-—)+1用，

1k333327

所以/(x)=/+/+x+l的图象关于点(总，需)对称，

所以/(x)=/+f+.计1可以是圆(工号)2+(丫嗡)2:R2(R>O)的“优美函数”，这样的圆有无数

个，所以8正确,

对于。，y=2singjT-2x)，则由乎-2x=k兀，kCZ，得x耳，kEZ，所以

44o2W

片2sinC|n-2x)的对称中心为(干号，0),k€Z，所以以(等号，0),k€Z为圆

心，R(0VRW2)为半径的圆都能被函数y=2sinC|n-2x)的图象平分，所以C正确，

对于。，若.y=f(x)的图象是中心对称图形，则此函数一定是“优美函数”，但“优美函数”不一定是

中心对称图形，如图所示，

所以。错误，

故选：D.

【点评】本题以新定义为载体，考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

二,填空题(共4小题)

13.已知卜U量-3),b-(-2,mT>若(a+2b)_La，贝U加=一■^工_-

6

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.

【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】里.

6

【分析1根据向量坐标运算及垂直关系的向量表示求解即可.

【解答】解：因为a=(-4,-3),b=(-2,m-l)»

所以a+2b=(-4,-3)+(-4,2nr2)=(-8,2m-5),

因为(Z+2E)1

所以(Z+2E)・Z=32-6m+15=0,解得加=3二

6

故答案为：里.

6

【点评】本题主要考查向最垂直的性质，属于基础题.

14.已知角。的终边经过点(2«+1,a-2),且c°sa=-且Wsin(2023n-2a)

525

【考点】任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值.

【专题】转化思想；综合法；一:角函数的求值；数学运算.

【答案】21

25

【分析】根据二角函数的定义列出求解出〃=-2,得到sina一邑，结合诱导公式和正弦一倍角公式

5

即可计算得到答案.

222

【解答】解：由题意知，r=^J(2a+l)+(a-2)=75(a+l)»cosCI-

V5(a2+1)5

所以9(/+])=5(2a+l)2,

化简得II«2+20«-4=0,

解得。=-2或a--，

11

又因为2a+\<(),即a<­,

所以角a的终边经过点(-3,-4),

所以sina=~~~,

b

所以Sin(2023兀-2a)=sin2a=2sinacosa=2x(--1-)x(与罩

5'25

故答案为：24.

25

【点评】本题考查三角函数的定义，诱导公式和正弦二倍角公式，考查运算求解能力，属于基础题.

15.已知双曲线C：^1-^y=l(a>0,b>0)的右焦点为尸，O为坐标原点，以。尸为直径的圆与双

26

曲线C的一条渐近线交于点0及点A),则双曲线C的方程为--y2

，-3y

【考•点】双曲线的性质；双曲线的标准方程.

【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

26

【答案】1-2

【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程：丫工,再将点亚_)代入可得6巫@，连接以，

a223

根据圆的性质口」y-,从向nJ求出C,再由c1=a1+b2即可求解.

【解答】解：双曲线C：Ar-Zy=l(a>0,b>0)，

则渐近线方程：y二土巨％，

・•・代入点A可得：b#~a，

连接"，则,-A'白3卫=叵解得°=2,

AOv3a3

所以C2=J+A2=4,解得J=3,lr=\,

26

故双曲线方程为工——y2二

3y

2

故答案为：乙_y2

3y

【点评】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.

16.如图，已知在扇形OA3中，半径OA=O8=3,NA0B=3，圆。1内切于扇形。48（恨。1和。4,

0B,弧AB均相切），作圆3与圆Oi,0A,08相切，再作圆03与圆。2,0A,。8相切，以此类推.设

圆。1,圆。2,…的面积依次为Si,S2…，那么S1+S2+…+S〃=_9兀，（1-j-）.

n

―89—

【考点】扇形面积公式.

【专题】对应思想；数形结合法；三角函数的求值；数学运算.

【答案】等（T）.

【分析】如图，设圆。，圆02,圆。3,…,圆O〃的半径分别为门,⑵⑶…，而根据圆切线的性

质，结合等比数列的定义可得;「“是以〃=1为首项，以▲为公比的等比数列，由圆的面积公式可知{5〃}

3

是以冗r?=7T为首项，以2为公比的等比数列，利用等比数列前〃项求和公式计算即可求解•

19

【解答】解：如图，设圆01与弧4B相切于点。，

圆。，圆Q与0A分别切于点C,E,则。C_L0A,O\C1OA,O2EIOA.

设圆0i,圆3,圆。3,…，圆。”的半径分别为门，⑵⑶…，，力.

因为NAOB二工，所以NAOD二二.在RtZ^OOi。中，OO\=3-n,

36

则OiO^OOr即勺二与工解得n=1・

乙乙

在RtZ\OQE中，0。2=3-r2-2门，

13-r—2r11

则CUEdoOc，即ro=----------------»,•

U2D2UU222r233r1

同理可得，〜=1=!L，

r393r2

所以｛%｝是以门=1为首项，以2为公比的等比数列.

3

又圆的面积为5=nr,

所以面积S,52,S3,…，S〃构成一个以兀二兀为首项，以2为公比的等比数列,

9

兀［1-由］9打1

则S］+S2+S3“.+Sn=-----------Jk（1不）.

1方

故答案为：竺（1，）.

89n

【点评】本题考查扇形面积公式，属于中档题.

三,解答题（共7小题）

17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为〃，b,c,己知sinA二sinCcosB*^~sinBsinC・

（1）求角C的大小；

（2）若。的角平分线交A8于点。，且CD=2,求a+28的最小值.

【考点】三角形中的几何计算；正弦定理.

【专题】转化思想：综合法：解三角形；逻辑推理；数学运算.

【答案】(1)空；(2)6+472.

3

【分析】(1)由三角恒等变换知识化简条件式即可；

(2)由。。为角平分线得到S©c=S“co+SMm从而得到上二=1,再由基本不等式求最值即可.

ab2

【解答】解：(1)，«，sinCcosB-^_sinBsinC=sin[-^C+B)]=sinCcosB+cosCsinZ,

,,-^^•sinBsinC=cosCsinf,

VBG(0,n),・・・sinBW0,

--^-sinC=cosC,LilJtanC=-V3»

VCG(0,n),

2兀

・C

3

(2)〈CD为角C的角平分线，且CO=2,

,SAABC=S^ACD+SABCD,ZBCD=ZACD]/ACB二2，

乙o

根据三角形面积公式可得：

yACXCBXsinZACE=yACXCDXsinZACEXCDXsinZBCD

nri12兀^1TT1n

即万ab・sin・CD♦si.rny+r-a*CD*sin-f

4o

等式两边同时除以上ab,CD，

2

.2兀.打.兀

sinsin-^-sinr^-111

可得：-----o^―=————二，即工「

CDabab2

则a+2b=2(a+2b)(―V)=2(3e4)>6+4点，

abab

当且仅当空三即&=2+2&，〃=2"历时等式成立，

ab

.••“+2〃的最小值为6+4点.

【点评】本题考查利用三角恒等变换知识解三角形和角平分线、基本不等式在解三角形中的应用，属于

中档题.

I8,如图，四棱锥P-4BCO的底面ABC。是边长为2的菱形，NABC=600,AP=AB,PB=2j1，平面

以8_L平面A8CD,E,b分别为CO,P8的中点.

(1)证明：C0J_平面B4E：

（2）求点A到平面PE/的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算：直线与平面垂直.

【专题】数形结合；等体积法；综合法：空间位置关系与距离：空间角；逻辑推理；数学运算.

【答案】（1）证明见解析；（2）返_.

5

【分析】（1）先利用勾股定理得AP_LA&再利用面面垂直的性质得AP_L平面A8CQ,从而利用线面垂

直的性质定理得APJ_CQ,最后结合菱形性质及线面垂直的判定定理证明即可；

（2）先通过线面关系及锥体体积求出VE-PAF,再利用等体积法求得点到平面的距离.

【解答】（1）证明：由题知AP=48=2,PB=2V2，：.AP1-^AB2=PB2,得

又.•・平面小8_L平面/WCD,且交线为人B,APu平面RIB,・・.APJ_平面人8C。，

乂COu平面4BC。，：.APLCD,连接AC,

•・•四边形A8C。是边长为2的菱形，NA5C=60",•••△ACO为等边三角形.

•••£为CO的中点，：.CD-LAE,

又人APu平面小E,AEu平面粗石，，。力，平面以£

（2）设点A到平面PE尸的距离为九连接AF,则

•:AB"CD,：.AE±AB,又由（1）知AE_LAP,

而APn48=A,"u平面%B,A8u平面以8,・,.AE_L平面力B,

〈PFu平面以8,Abu平面办8,：.AE±PF,AELAF,

又AF』PB=V5，AE=2Xsin60o=>/3»

2

又由尸/_LAE,PFLAF,AEC\AF=A,AFu平面AE凡AEu平面AER

得PF_L平面AEF,且PF=&，FE=VAE2+AF2=VB，

•]X.XFEX忌X,XPFXAFXAE，即h#海出曾巧罢,

32o2PtV5b

即点A到平面PEF的距离为2回.

5

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到

平面的距离，是中档题.

19.某乒乓球教练决定检验学员某项技能的水平，随机抽取100位学员进行测试，并根据该项技能的评价

指标，按[60,65）,[65,70）,[70,75）,[75,80）,[80,85）,[85,90）,[90,95）,[95,100]分成8

组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求〃的值，并估计该项技术的评价指标的中位数（精确到U.I）;

（2）根据频率分布直方图求样本评价指标的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表），若平

均数与中位数之差的绝对值小于1，则认为该项技能的水平有显著稳定性；否则不认为有显著稳定性,

请依数据给出答案;

（3）在选取的100位学员中，其中训练时间不少于1年的（记为A队）与少于1年的（记为8队）人

数相同，若规定评价指标不低于80为优秀，低于80为良好，经统计训练时间不少于I年的有40个学

员评价指标为优秀，请列出2X2列联表，并判断是否有99%的把握认为“评价指标是否优秀与训练时

间有关”.

附.v2_________n(ad-bc)2_________

其中n=a+b+c+cl.

.长"(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(产2依)0.100.050.010

ko2.7063.8416.635

【考点】独立性检验；频率分布直方图.

【专题】对应思想：定义法；概率与统计：数学运算.

【答案】(1)。=0.036,82.3；

(2)显著稳定性；

(3)表见解析；有.

【分析】(1)首先根据频率和为1求〃的值，再代入中位数公式，即可求解；

(2)根据频率分布直方图求平均数，再代入平均数与中位数之差的绝对值公式，即可判断；

(3)首先计算评价指标不低于8()的样本数，再结合题意列2X2列联表，再根据公式计算片，并和临

界值比较数值大小，作出判断.

【解答】解：(1)由直方图可知(0.008+0.016+0.02+。+0.044+0.04+0.028+0.008)X5=l,

解得4=0.036.

因为(0.008+0.016+0.02+0.036)X5=0.4V0.5,

(0.008+0.016+0.02+0.036+0.044)X5=0.62>0.5.

所以学员该项技术的评价指标的中位数在［80,85)内.

设学员该项技术的评价指标的中位数为〃?，则(加-80)X0.044+0.4=0.5,

解得〃个82.3.

(2)评价指标的平均数为

(62.5X0.008+67.5X0.016+72.5X0.02+77.5X0.036+82.5X0.044+87.5X0.04+92.5X0.028+97.5X0.008)

X5=8I.6,

所以平均数与中位数之差的绝对值为181.6-82.3|=0.7<1,所以有显著稳定性.

(3)由(1)可知评价指标不低于80的频率为(0.044+0.04+0.028+0.008)X5=0.6,

所以评价指标不低于80的样不数为100X0.6=60.

由已知可得2X2列联表如下：

队伍优秀良好总计

A队401050

B队203050

总计6040100

2二100义(40义30-20义1)2二50>

*-50X50X60X40~3

所以有99%的把握认为“评价指标是否优秀与训练时间有关”.

【点评】本题考查独,工性检验相关知识，属于中档题.

20.已知抛物线E：>2=2px(p>0)的焦点为凡直线y=2x-2与E交于A,B两点,AB的垂直平分线

与x轴交于N(。，0),且|A/q+|8Fl=2a-2.

(1)求〃的值；

(2)若A8的中点为M,直线/：x=ni(加>0)被以MN为直径的圆截得的弦长为,小，被抛物线截得

2

的弦长为m2,求的最小值.