2024高考数学二轮复习重难点专题《三角恒等变换八大题型》题型突破及解析

重难点专题15三角恒等变换八大题型汇总

题型1辅助角公式的运用...............................................1

题型2辅助角公式与最值...............................................2

题型3凑角求值.......................................................3

♦类型1诱导公式法................................................3

♦类型2拆角......................................................4

题型4分式型凑角求值.................................................5

题型5正切恒等变形...................................................5

♦类型1正切化简求值..............................................6

♦类型2与其他知识结合...........................................7

题型6正切求角.......................................................8

题型7二倍角公式与升塞降基..........................................9

题型8正余弦和差积问题..............................................10

题型1辅助角公式的运用

非特殊角的辅助角应用，虽然可以用公式tan但是处理拔高题，仅仅简单

的用此公式I是远远不够的，要学会推导过程.知其然知其所以然.并且，深层次

应用，不仅仅会〃化正"，更要会“化余”.

,,4++了(,*-sina

asma+bcosa=JN十J⑥士

人cos@-——sin@-——

asina+bcosa

二+b7743+g有=Q点+V(cos<Psino/sincosa)-

,^a2+b2sin(a+6)

【例题1】(2023-全国-高三专题练习)用辅助角公式化简：

sin一心os：；

【变式IT】1.(2023秋•湖南永州•高三校联考开学考试)己知

cosa^/3sina=；,则°"~)"()

A.>B.-C.7D.二

【变式1-1]2.（2023秋・广东揭阳-高三校考阶段练习）已知9<°

一行<6<0,且sina*sin6-Vjfcosa*cos0）,则下列结论一定不正确的

是（）

A.cos（s-B）=-1B.sinfa-8）二Gc.cosfo♦6）=--

Dsinfa+B）二嗯

【变式IT】3.（2023秋-内蒙古包头-高三统考开学考试）函数

fG匚sin^r+cos%的一条对称轴是（）

A.…彳B.x=-彳c.x*D.x*

【变式1-1]4.（2023秋•江西南昌・高三南昌二中校考开学考试）三知

Ax）=sin（：¥+：）-Gos（5x+：）,则f⑴+f⑵+・・，+”2023）的位为

（）

A.2百B.gC.1D.0

【变式1-115.（2023-全国-高三专题练习）设4为动点产化os/sin外到直

线的距离，则G的最大值为（）

A.B.qC.D.3

题型2辅助角公式与最值

辅助角公式满足：

।,4群—夕a，8sa）Io।i./।

asma+bcosa="中]、~：）.=^/a2+bo2sin（a+

6）,

7a2+b2Wasina+bcosaW/a2+b2

【例题2】（2023•陕西宝鸡・统考二模）已知函数N力二2sin"&osx在尸@

处取得最大值，则COS在二（）

"夕6Ni

A.-B.-C.~~D.~~

【变式2-1]1.（2023•河南•校联考模拟预测）若关于，的方程

sin2"2cos2x=-Z在/。兀J内有两个不同的解a,B,则cos（a-瓦的值为

()

Ki"

A.TB.C.-TD.T

【变式2-1]2.(2023秋・江西吉安・高三吉安一中校考开学考试)三知

8W仅，3,

且sin(a-26)fJsinG=。贝ijtana的最大值为()

A.-3.当

C.--D.-

【变式2-1]3.(2023秋・陕西汉中•高三统考阶段练习)已知函数

fG)=sinr+Scos儿当男>)取得最大值时，tanj二.

【变式2T】4.(2023秋•福建厦门•高三厦门一中校考阶段练习)己知函数

f(x)-sin-\C3oos>Q),若f⑨的图像在区间，。冗)上有且只有.1个

最低点，则实数3的取值范围为.

【变式2-1]4.(2021秋•广西南宁・高三统考阶段练习)已知函数

f(x)=vC5(sin2x+4cosx)+2sinx,则f(x)的最大值为()

A.4V3B.4

C.6D.5g2

【变式2T】5.(2023秋-四川成都・高三四川省成都市新都一中校联考开学考

试)若函数力，=sinx-保osAx£dm的值域为则〃一加勺双值

范围为

题型3凑角求值

常见角的变换有：

qq

①a=(a—B)+B；②a=^+9^；③2Q=(Q+B)+(Q—F)；

乙乙

④2b=(a+B)—(a—B).

♦类型1诱导公式法

【例题3-1】(2023•河南开封•统考三模)已知sin(0*7)-cosa三，则

cos(。吟)二()

、«-jj

A.3B.1C.JD.，

【变式3-111.（2023秋•江苏南通•高三统考开学考试）已知吟）W,

则sin住-2G），（）

“M-j

A.-TB.-C.1D.-

【变式3-1]2.（2023秋•山东・高三沂源县第一中学校联考开学考试）已知

则8S（9-Zx）i）

A.7B.7C.WD.W

【变式3-1】3.（2022秋・新疆巴音郭楞-高三八一中学校考阶段练习）设。为

锐角,若ss（aT）=；则sE（a-3二（）

■egc

A."B.-D.一二

【变式3T】4.（2023秋•河北•高三校联考阶段练习）已知s,”（+一二）=三

且Q则5壮仔绪。）二（）

A.~~B.TC.WD.一二

♦类型2拆角

【例题3-2]（2023秋•河南洛阳・高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已

知。,6均为锐角，且tan江二J,sin（a*如三贝/os6二（）

IJJH6失Uis/n

A.MB.~~ioC.~~5£D.宝或50

【变式3-2]1.（2022秋-陕西渭南-高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）若

币;

a，6都是锐角，且8S°=三5储（°，即三，则cos6二

"""".

A.右B.丁C.亚或丁D.7或75

【变式3-2]2.（2022•云南・云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知

sina二三cos（0-6）=?,且°<弓<9,。<则sin0-（）

9mii/R/Z

A.-B.-FTC.-D.

【变式3-2】3.（2022秋，山东日照•高三校考阶段练习）己知*BG（〃兀）,

tan（a*）吟cos（/9*7）-7,则85（2~6）二（）

A.-VB.~~C.TD.-

题型4分式型凑角求值

分式型最终目标是分别把分子分母化为积的形式，便于约分来化简.

tinlO*cosJ5'-COKSS'_

【例题4】（2021•湖北黄冈・黄冈中学校考一模）求值：，〃/.「，’一山公一

A.-2・VZB.门-2C.2-《D.2+41

【变式4-1]1.（2023•吉林长春・东北师大附中校考模拟预测）求值

【变式4-112.（2022•全国-高三专题练习）计算求值：

（1）计算晨二7的值；

⑵已知外6均为锐角，sino二：cos（a6）--,求sin6的值.

【变式4-1]3.（2022秋-黑龙江哈尔滨・高三黑龙江实验中学校考阶段练习）

化简求值：

,、,-1x28*

（1）

8X0，FB30♦（irlaua・）

（2）siaTO*vItoUO,

【变式4-114.（2023•全国-高三专题练习）化简:

（兀<“嗯

coi（^-c）-tai>442tos3）

⑵w*J-eo«Q（0<0<2.

题型5正切恒等变形

两角和的正切公式的常见四种变形：

T（。+户）：

①tana+tan£=tan（。+£）（1—tanatan£）；

②tana+tan£+tano•tan£・tan（。+£）=tan（。+£）；

tano+tanB

@tana•tanB=\

tana+£

tan〃+tanB

®1—tancitan£=

tant+£

T(O-)9)：

①tana1tan万=tan(。1£)(1+tanatan£；；

②tan〃-tanP-tana•tan£•tan(a-万)=tan(。一尸)；

④tana•tan£=F7T7J7T

tASS-ZasS

④1+tanatanB=工：，；

♦类型1正切化简求值

【例题5-1]（2023秋•湖北武汉・高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）若

。£（一?'且cos'。则tan（a一习二

【变式57】1.（多选）（2023•河南信阳•信阳高中校考模拟预测）己知

6£（。4）,。为坐标原点，乡终边上有一点，（sin，-cosgsin?+cos*）

则（）

C.tan<1D.cos'”

【变式5-1]2.（2023•全国•高三专题练习）当》二儿时，函数

Hx）二sinx-&os】取得最大值，则ts（孙吟）:

【变式5-1]3.（2023春•江西赣州-高三校联考阶段练习）已知角

,且

sin(a+8)+2cos(a-6)=0,sinasinB+2cosacos8-0,则

tan(a+6)二()

A.三B.1C.三D.-2

【变式57】4.（2023•四川成都•校联考二模）在锐角C中，角A,B,C

的对边分别为a,b,c,taidsinXtanJtanC-J）-^tan5tan<,sinf>sin^,且

加in5，csinC二加jsiM,则实数万的取值范围为.

【变式5-1】5.（2023•全国•高三专题练习）在锐珀八被中，三内角45C的

对边分别为且"二2bsin（,则tan/1+tan6+tanC的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

【变式5-116.（2023春-上海闵行-高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知

4侬的二个内角分别为A,B,C,则下列判断正确的是（）

命题P：对任何锐角A,都存在C敬，使得85力.8S6二COSC；

命题q：对任何锐角A,都存在C敬，使得二tanC.

A.p是真命题，q是真命题B.p是真命题，q是假命题

C.p是假命题，q是真命题D.p是假命题，q是假命题

♦类型2与其他知识结合

（例题5-2]（2022•全国•高三专题练习）已知等差数列dJ中

a：-d=lf4=tan%・tan%•/gC”人则数列eJ的前n项和瞟—.

【变式5-211.（2022•上海-高三专题练习）己知正三角形械的三个顶点均

在抛物线萨二」上，其中一条边所在直线的斜率为则C版的三个顶点的横

坐标之和为.

【变式5-212.（2022•浙江绍兴•模拟预测）在4被中，内角A,B,C所对

的边分别为a,b,c,已知角A为最小角且taiUtanfitanC均为整数，则

cosJ-,设6<C,题勺中点为D,则今

【变式5-213.（2023•福建厦门-厦门外国语学校校考模拟预测）己知椭圆。

的一个焦点为方,短轴我昆的长为人后月6为C上异于6〃昆的两点.设

/PB此二%ZPB:B：-8,且tan（a+B）+tan6）,则0用/的周长

的最大值为.

【变式5-2]4.（2023秋・四川成都・高三树德中学校考开学考试）已知A、B

是椭圆2二，0与双曲线弓一弓二。。的公共顶点，P是双曲线

上一点，PA,PB交椭圆于M,N.若MN过椭圆的焦点F,且tan/4l»=-J,则双

曲线的离心率为.

题型6正切求角

给值求角问题的解题策略：

（1）讨论所求角的范围.

（2）根据己知条件，选取合适的三角函数求值.

①己知正切函数值，选正切函数；

②己知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.

（3）由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角

【例题6】（2023春・陕西西安・高三西安中学校考阶段练习）已知七领八tan6

是方程=C的两个根，且则a,6等于

（）

2窝

A.-B.-―

RJi一九

C.-5或~TD.F或T

acos1

【变式6-111.（2023•全国・高三专题练习）已知二二77,

tan（0+6）=^rr,若6e（a7）,则8:（）

ititJrR

A.TB.NC.D.~

【变式6-1】2.（2020•全国-高三专题练习）已知等差数列信力中，为1尸二,

4?.布‘如二一：,又tan6二名，tan/6-。）二七，其中。，3£⑥”则

2。-3的值为（）

3*_njx_*

A..二或一7B.-C.-7D.~~

【变式67】3.（20122秋♦上海普陀•高三曹杨二中校考期末）在4故中，

若以？,AB-2AB-BC-3BC•丽则角4的大小为

xx2x3x

A.7B.1C.-D.-

【变式6-114.（2022•湖南•校联考二模）已知在4故中，

（2BA-3BC）'豆二，则角片的最大值为.

【变式6-115.（2022秋•江苏常州•高三统考期中）己知人及C为C故的

内角，若3tanA+?mB二C,则角C的取值范围为

题型7二倍角公式与升塞降嘉

1收短八一21+cos2a•1-cos2a

1.降曷公式：cosa=--------,sina=---------.

2.升嘉公式：1+cos2a=2cos?a,1—cos2a=2sin'a.

注意：倍角公式中的〃倍角〃是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，

如6a是3a的2倍，3cl是空的2倍.这里蕴含着换元思想.这就是说，〃倍〃是

相对而言的，是描述两个数量之间的关系的.

【例题7】（2022•甘肃临夏•统考一模）已知角。终边上一点M的坐标为

（-1,2人贝ijtaix?。-（）

A.B.3C.2D.一二

【变式7-111.（2020•北京•高三强基计划）已知

-sina/力，2:"i•cosa,则FiTT的最小值是（）

J4J

A.1B.2C.-D."

【变式7-1]2.（2023秋•江西抚州-高三黎川县第二中学校考开学考试）己

知^（?,4，则当tanZ，-tan9取得最大值时，金二.

【变式7-1]3.（2023•四川眉山•仁寿一中校考模拟预测）已知

（tan?a-tana）•cosZo=2,则tan。二.

【变式7-1]4.（2023秋-四川成都・高三石室中学校考开学考试）己知倾斜

角为a的直线」与直线旭丁-&+3二G垂直，则cosZa二,

【变式7-1]5.（2023-陕西咸阳-武功县普集高级中学校考模拟预测）若函

数W：力二sig-2x）s」，则界x）的最小值是.

【变式7-1]6.（2023秋•河南・高三校联考阶段练习）在4故中，

tan3"JtanL则三7’捺的最小值为（）

A.4B.热门C.MD.16

题型8正余弦和差积问题

sina±85°的问题一般通过1.平方法2.换元法进行解决

【例题81（2023秋・新疆巴音郭楞-高三校考开学考试）已知35°々。5BW,

sina-sin"：则cos（2a+23）：（）

J

A.1B.3C.'D.-J

【变式8T】1.（2022春-重庆沙坪坝-高三重庆一中校考阶段练习）已知°为

SU0,cos0

象限角，且满足sin/Zcosa二，则J（）

A.-cB.6C.2D.2

【变式8-1]2.（2022秋♦吉林•高三吉林省实验阶段练习）已知

n（sing-8sg）=;则sina的值为

A.■B.jC.-D.

【变式8-113.（2022•陕西-校联考模拟预测）密位制是度量角的一种方法,

把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，单位可省

去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7

密位写成“0-07”,478密位写成“4-78”.若（sin。-cos。尸二2sinacosa,

则角。可取的值用密位制表示错误的是（）

A.12-50B.2-50C.13-50D.32-50

【变式8-1】4.（2023・河南•校联考模拟预测）已知乙6e（^7）,

cos（。'6）a：,tana-J,则cos（a-6）二（）

A.1B.-C.'D.1

【变式8T】5.（2021・江西南昌・高三阶段练习）己知

cos0-C05,6aina.sin26二:，贝！|sinU«6）：（）

41，1131

A.B.无C.为D.u

【变式8-116.（2023秋•河南・高三郑州一中校联考阶段练习）若

sinfo*5-Xsina♦cosa）24在°引上恒成立，则m的取值范围

是

【变式8-1】7.（2023•全国•高三专题练习）已知。则…5皿

的最大值是（）

A.1B.―^C,—D.T

1.(2023•陕西商洛•陕西省丹凤中学校考模拟预测)己知

tan(o+15.)-7tan(a-15*),贝ijsin(a-J5*)cos(Q)：()

J7JJ

A.jB."C.jD."

2.(2022•甘肃临夏•统考一模)已知函数力":sinx-：cos2,则/•⑨的最

大值为()

A.1B.：C.=D.：

3.（2023•广东揭阳•惠来县第一中学校考模拟预测）已知tan（‘一句和

tan（夕，如是关于二的方程=，的两根，且则k的值为

()

A.-2B.-C."D.

4.（2023•福建宁德•福建省宁德第一中学校考一模）设sin^二巴则

)

A.aB.1C.；D..«

5.（2023•全国•统考高考真题）已知sin（0・6）W,cosasinS弓.则

8s（2a+28）：（）,

»j2i

A.-B.1C.D.

6.（2023•全国•统考高考真题）过点-力与圆=G相切的两条

直线的夹角为。，则sin。二（）

/7i4

A.1B.-C.-D."7

7.（2023•全国•统考高考真题）已知。为锐角，cos°二个，则sin^二

（）.

3-VS-1♦/3-VS-!♦$

A.-S-B.-R-C.-I-D.-4-

参考答案与试题解析

重难点专题15三角恒等变换八大题型汇总

题型1辅助角公式的运用..............................................12

题型2辅助角公式与最值..............................................16

题型3凑角求值（互余互补，拆角和与差，拆角30+-a,）................................20

♦类型1诱导公式法.............................................21

♦类型2拆角....................................................23

题型4分式型凑角求值................................................25

题型5正切恒等变形..................................................29

♦类型1正切化简求值...........................................29

♦类型2与其他知识结合.........................................35

题型6正切求角......................................................40

题型7二倍角公式与升茶降寨.........................................45

题型8正余弦和差积问题.............................................49

题型1辅助角公式的运用

非特殊角的辅助角应用，虽然可以用公式tanp三，但是处理拔高题，仅仅简单

的用此公式I是远远不够的，要学会推导过程.知其然知其所以然.并且，深层次

应用，不仅仅会〃化正"，更要会“化余”.

,,>!a?i-b2（,\-sina-h^-cosa）

asma+bcosa=、，十S1t

令C二熹，加二去,

asina+bcosQ

=G,夕（-r^zsina）二评♦夕（cos^sinaisin<Pcosa）=

W+b'sin（Q+（1））

【例题1】（2023•全国-高三专题练习）用辅助角公式化简：

sin；-VAos^

【答案】

【分析】直接利用辅助用公式化简即可.

【详解】sin

，公in（.2

故答案为：^inG-7）

【变式1-111.（2023秋•湖南永州•高三校联考开学考试）已知

coso.百feino=；，jujcos（0;（）

J4_J_i

A.jB.jC.D.-7

【答案】B

【分析】利用辅助角公式进行求解.

【详解】85。W,由辅助角公式得%8（°・彳）二一故

cos（aW）=；,

故选：B.

【变式1-U2.（2023秋・广东揭阳-高三校考阶段练习）已知!<°W,

-5<好<4^sino*sin&-V5（cosa*cosS）9则下列结论一定不正确的

是（）

A.cos(a-8)=-1B.sin(a-B)二氏cos(o*B)-

Dsinfa，6）二方

【答案】D

【分析】根据辅助角公式化简，再根据角的范围找到和差角的关系判断各个选项

即可.

[详解]

「sino*sin6-VJtcosa*cosB）,・：sina->/3tosa+sin8-

v^cosB=。

•:企in（o+2sin（6二0

・：%in（o-习二一有①习二%/.-6）

且h。笔，~^<6<0,则

/。苧彳弋"-XT吟

当°V吟-尻"6吟时,8S（a♦6）Tsin（。+6）qc选项正

确，D选项不正确；

当a一7.丁-6二几，a-6二兀时cos（a_8）1,

sin（a-ff）=0,sin（a，6）=sin（7，Z6）=-sinZ6,<2S<

0,sin（a+6）asirt?6<0,

,A,B速项正确，D选项不正确.

故选:D.

【变式1T】3.（2023秋-内蒙古包头・高三统考开学考试）函数

f3>=5in2r+cos%的一条对称轴是（）

A.k一：B.k一弓C.x三D.尸三

【答案】C

【分析】利用辅助角公式，结合代入法、正弦型函数的对称性逐一判断即可.

[详解]f-二sinZ"cosZx二⑵*习

A：因为“-沙晶小爪-力臼=“土尺

所以本选项不符合题意;

B：因为“-f二场小爪-习臼―H士q

所以本选项不符合题意；

C：因为“沙二值in（7*+6）二，，

所以本选项符合题意；

D：因为陪尸倡讪白仁吟），H土仇,

所以本选项不符合题意，

故选：C

【变式1-1]4.（2023秋・江西南昌-高三南昌二中校考开学考试）三知

*力二sin仔-Gos仔"力则如"⑵，…如的值为

（）

A.2&B.gC.1D.0

【答案】B

【分析】根据三角恒等变换得到Hx）=2sin：j,求出最小正周期，并求出

+汽小+汽》+江》+R5）+汽。:C,利用周期分组求解，得到答案.

【详解】七）二sin仔"9-俗056/j二为珀仔"——二恁5口,

所以最小正周期为三一,

且或/）+久力+皿^5）+加

=2sin?+2sinT+2£in冗/2sin^^2sln^/2sin2^:⑸⑶0-0-

⑶0:0

所以+式2023\

-IA-0"（为"3"⑼"⑶+真如+-+⑶2017）+式20密+式20坳+

^2020）+久2021）+式20组1+R2023）;式/）=%

•

故选：B.

【变式1T】5.（2023•全国-高三专题练习）设c为动点产化OS力sin打到直

线x-y-2=°的距离，则c的最大值为（）

A.B.理C.1+CD.3

【答案】C

【分析】由距离公式及辅助角公式计算可得.

【详解】点尸化。s。，sin打至ij直线x-y-2-O的距离

4.kslxnf」、%"('9)4

八W75,

因为-1Wcos(8♦JWJ则-V5-2W方:os(夕+：)-2W6・J

所以当8s(夕・分=]时人二手q

故选：C

题型2辅助角公式与最值

辅助角公式满足：

।\.sina+一二:es。)/।,./,

asma+bcosa==>\/a2o+b2osin(a+

6),

2/a2+b2WasinQ+bcosQW/a2+b2

【例题2](2023•陕西宝鸡・统考二模)已知函数贝力二2sin"&osx在刀二.

处取得最大值，贝IJCOS0二()

"夕色N1

A.-B.C.D.~~

【答案】A

【分析】根据题意，由辅助角公式即可得到sin打cos0的值，然后由诱导公式

化简即可得到结果.

【详解】因为*x)二%injr+&osx=7V^in(x/0),

其中sin八三二5cos&二忘:输，

当斤二/时，Hx)取得最大值，

即雄十夕二1•»7所以0:1一8+2生穴』0"

所以cos6=cos(y-e♦»7T)=sin8J二4

故选：A

【变式27】1.（2023•河南•校联考模拟预测）若关于上的方程

sin2r+2cos2r=在/。冗）内有两个不同的解B,贝ijcosV。-&的值为

（）

■56_2/1R]

A.«B.TC.<D.

【答案】D

【分析】利用辅助角公式化简己知方程，求得。-8,进而求得-8）.

【详解】关于阴勺方程5M为+2<：82户-2在位2内有两个不同的解。，6,

即产sin/2""=7（8S0=¥，sin8=9取°为锐角）

在4兀）内有两个不同的解-8,

即方程sin⑵'外品今在/。兀M有两个不同的解6.

不妨令OWa<6<兀，由兀）则办♦«£[8,4+9）,

所以sin份a+8）二-耳,s\n（2B，8）二-、,

所以sin，—sin仅a，"二-sin小£♦外则

2a+§二滨+8,26+§=2兀-8,

即2a-26>兀+2®,

所以a-B=*+夕/CQsfa-£）=cos（夕一1）二sin8二今

故选：D.

【变式2-1]2.（2023秋・江西吉安・高三吉安一中校考开学考试）三知

且sin（<J-28）fJsina=4,贝ijtana的最大值为（）

A.YbTVJ力

C.D.T

【答案】B

【分析】利用两角差的正弦公式展开，并利用同角三角函数的商数关系化为关于

tana的方程，根据已知角的范围和三角函数的性质得至ijtan。2。利用三角函

数的辅助角公式和三角函数的有界性得到关于tan弓的不等式，求得其最大值.

[详解]・.・sin（o-26），3sina=0,

/.sinacos26-cosasin28"sina=0,

.*.tanacosZ6-sin”/Jtana-0tAtana（3，cos28）二sin26,

・・・6E7）,:.20e（〃兀）,・・・sin28M,

又♦：3+8S2823-1=2,.・.tan。>0,

由tanocos20-sin26"tana=0得tana3s28-sinZS—3tana,

存在0£R使得Jtan；a+1cos（2B+⑼/」工。,

.8s（26+啰）=-

••S7

・・・卜心:」W」...外aWtan；G乜.・.ts°W?

由于26£（。兀），26+,的取值范围达到余弦函数的半个周期，

|8$（26/0）1的值必能取到1,因此这里能够取到等号，所以tan。的最大值为

"7,

故选：B

【变式2-1]3.（2023秋•陕西汉中-高三统考阶段练习）已知函数

打）二sinx+3cos儿当取得最大值时，」皿二.

【答案】3

【分析】利用辅助角公式及正弦函数性质易得Hx）取得最大值有

X,@吟+麻灵5£2,进而求tan;.

【详解】由fG）;sinjr+%QSjr=^7^Bin（i*况且tan。二』，

所以f㈤3-V7Z,此时"0W+2k穴,k€1

所以尸卜以兀-%kWZ,故tanJ♦切-"二三”

故答案为：彳

【变式2-114.（2023秋•福建厦门•高三厦门一中校考阶段练习）已知函数

f（x）-sin-x/Cjcos^I（CJ>Q）y若/⑨的图像在区间，。兀J上有且只有1个

最低点，则实数3的取值范围为^

【答案】W7

【分析】根据题意，由辅助角公式化简，然后由条件列出不等式，代入计算，即

可得到结果.

【详解】由题意得f⑨=sin"-VS:os"=2sin(3L4,因为x

所以ax-彳£(_：，&兀-1),

因为/Y,有且只有1个最低点，所以-，解得？(QW9

故答案为：7(3W7

【变式2-1]4.(2021秋•广西南宁♦高三统考阶段练习)己知函数

f(x)=>/j(sin2x+4cosx)+2sinx,则f(x)的最大值为()

A.4百B.5

C.6D.5g2

【答案】B

【分析】先将si©展开，提公因式并结合拼凑法可得

Hx)二拼区osx")(sin―0f结合砧W(?)放缩，联立辅助角公式化简,

即可求解.

【详解】M)二^5(sin2r+&osjr)+2sinj=73(金injrcos"4cosjr)+2siru

-2y[3cosx(sini/2)，2(sin"0-4-XV5cosJ>J)(sinj5)-4,由

sin"2乂可知,要求Hx)最大值，只需仅os""0即可,结合基本不等式

abW(v)可得

/U)；nV3bos/1)(sin/0-4WZ・(>。"广公(剜?)宜一

V3cosx*/-sin"2

,当且仅当siM")二」,即x=或%*62时等号成立，因此当

，二，2k》,k*之时不>)的最大值为今.

故选：B

【变式2-1]5.(2023秋-四川成都-高三四川省成都市新都一中校联考开学考

试)若函数6"=sinx-小os儿x£小m的值域为/-工Z,则〃-珀勺取值

范围为

【答案】存有

【分析】由辅助角公式得到fG)=2sina-+”结合函数图象得到出=4•+或兀,

kW2,同时〃£怜,或冗，-»口储小，kez,从而得到

〃一加£性，弱

【详解】由辅助角公式得f,Zsine一9，

令％EG-卜二一1，解得"一3瓶#兀或尸以兀，kWZ,

令为i.n6r~-J~2,解得"筌'加\AeZ,

画出函数图象如下,

可知所，2skwz,同时〃e怜”仃，-斗⑵，刃叫kwz.

所以〃-市可彳,vl

故答案为：10，高

题型3凑角求值

常见角的变换有：

①a=(a—B)+B;②。\®2a=(a+p)+(a—f)；

乙乙

④2B=(a+B)—(。一8).

♦类型1诱导公式法

【例题3-1](2023•河南开封•统考三模)已知sin(。则

cos(—)

A.；B.7C.，D.，

【答案】D

【分析】根据三角恒等变换得到sin(0-7)-：,再利用诱导公式求出答案.

【详解】因为

sin(af9-cosa-ysina*：cosa-cosa-^sina-icosa二;即

sin(a-7)^

所以COS"♦9=ss|(a-3TAsin(°-?)三

故选：D

【变式3T】1.(2023秋•江苏南通•高三统考开学考试)已知sin(‘吟)二；

则sin("Zc)：()

■需;认_Jj

A.tB..1C..1D.~

【答案】C

【分析】利用换元法，结合诱导公式及二倍角公式，即可求得本题答案.

【详解】设"9」则。=5储,=三

•:sin-2。)-sin|y2(f-二sin(m-Zf)-cos^t-1-2^in2t~2-

2”附汨

故选：c

【变式3-1]2.(2023秋•山东・高三沂源县第一中学校联考开学考试)己知

则35(9一孙()

A.二B.7C.；D.7

【答案】c

【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简可得答案.

【详解】因为所以

COS-2*=COS（n-y---COS^yA,一—I--[1-

故选：c.

【变式3-113.（2022秋・新疆巴音郭楞-高三八一中学校考阶段练习）设a为

锐角，若曲（。3）”，则sin（。-―，（）

A.77B.~~C.,jD.一；

【答案】B

【分析】利用角的变换表示si"。4）=sE：一：）,再利用两角差的正

弦公式，即可求解.

【详解】因为。*（，+）,°/Tetvl且cos（。l）W,

所以sin（a

sin（。-勺:sin（"*）

邛辰（。吟3（。i）卜先ft

故选：B

【变式3-114.（2023秋•河北•高三校联考阶段练习）已知（g-°）=三

且。则胡得。0）二（）

A.B.-C.TD.一7

【答案】A

【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案.

【详解】依题意，°e（。3+/e（-37）,

而sin（+。）=-产<4所以;.0

所以c°g（+-姆邛3呜-。）二n4,

所以sin仔+2。）=sin|冗-（+2。）卜sin伟-2。）

心n（：-。）3关-。）=2*卜心x[h当

故选：A

♦类型2拆角

【例题3-2]（2023秋•河南洛阳・高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已

知。，6均为锐角，且tan。二J,EM。♦6）二;则cosS：（）

QZV7i*Z6isJTc

A.F-B.-C.-D.下或F-

【答案】B

【分析】由条件结合三角函数同角关系式求Kna,cosa,再由三角函数的性质

求出a，B的范围，再利用两角差的余弦公式，由CO56=8S[（O.6）-。馀

出结果.

【详解】因为a为锐角，且tan。二工所以sina=3cos%又sin'a，cos：。，

„V71

所以sin°--cosa—

因为sina>sin（ai且0（a<af/?<7T,所以a+6为钝角.

因为sin（a+6）三，所以cos（a+6）>:，

则cos8-cos[（a，6）-a]-cos（o+B）cosa*sin（o+6）sina

4^6—^jJTb/Ji

故选：B.

【变式3-2]1.（2022秋-陕西渭南-高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）若

。，8都是锐角，且cos°二三sin（a则cos八

X2X2尤66

A.-B.-C.不或"TD.或有

【答案】A

【分析】先计算出cos(G+B),再利用余弦的和与差公式，即可.

【详解】因为。，6都是锐角，且85°=丁£,所以下<G<3，又

sH。+8)W*,所以*。+8<£,所以

cos(。+8)—。+6)工；

sino-Vi-cos-a~,cos6-

cos(a+8-a)-cos(o+6)cosafsin(o♦6)sina=有，故选A.

【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大.

【变式3-212.(2022•云南・云南民族大学附属中学校考模拟预测)已知

sina二三cos(0-6)=?,且.<弓<9,。<6<=,则sin0-()

9mit/7cVT6

A.WB.-C.石D.石

【答案】A

【解析】易知sin8-sin(a一(a-6)),利用角的范围和同角三角函数关系可

求得cosa和sin(a-8),分别在5访(a-S)二4和一三:两种情况下，利用两

角和差正弦公式求得sin员结合6的范围可确定最终结果.

【详解】丁sin。咚Y且0<。<三，,

・：cosa-V?"sin7a

又小6.:苧—G,

・：sin(a-6)二士〃-cos：(a-B)-i—

当sin(a-6)=*时，

sin&-sin(a-(a-6))-sinacos(。-3)-coscsin(。-6)

--X---X—h—

7C7S14，

V0<0<-JsinfPQ,sin6-王不合题意，舍去;

当sin（°-6）同理可求得6二符合题意.

罚

综上所述：5储6二房.

故选：4

【点睛】易错点睛：本题中求解cos。时，易忽略Sin。的值所确定的。的更小的

范围，从而误认为cos。的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.

【变式3-2】3.（2022秋・山东日照•高三校考阶段练习）已知江,8£（0,八）,

tan（a*）4,8s（6吟）二；则8sg・6）二（）

A.~B.~3C.~D.

【答案】D

【分析】根据待求式的结构，2。一，二7（，求解即可.

【详解】解：因为

cos（2Q-B）-cosa+：）-（6♦分一三卜sin卜（a♦+）一（6

三）（+二

sln2（aJJcos（0+二£）_cos2（a4.7sin6£J

（吟）］-