第25章 概率初步 初中数学人教版九年级上册知识点精讲精练

第二十五章概率初步知识点思维导图知识点一：随机事件与概率事件的类型事件的类型定义举例确定性事件必然事件在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件.在一个只装有红球的袋中摸球，摸出红球.不可能事件在一定条件下，必然不会发生的事件，称为不可能事件.在一个只装有红球的袋中摸球，摸出白球.随机事件（不确定性事件）在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.在一个装有红球和白球的袋中摸球，摸出红球.2.事件发生的可能性一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.必然事件：试验中必然发生的事件，其发生的可能性为100%或1；不可能事件：试验中不可能发生的事件，其发生的可能性为0；随机事件：试验中可能发生也可能不发生的事件，其发生的可能性介于0和1之间.3.概率：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）.4.概率的计算一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）＝，0≤P（A）≤1.当A为必然事件时，P（A）＝1；当A为不可能事件时，P（A）＝0.5.事件发生的可能性与概率的关系事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0.6.计算简单事件的概率的主要类型个数类型：如摸球、掷骰子等可以表示出所有可能出现的结果的试验；面积类型：如果随机试验是向S区域内掷一点，那么掷在区域A（A在S内）内的概率P＝.【例1】一个不透明的口袋中装有只有颜色不同的5个球，其中有3个白球和2个黑球.求从中随机取出一个黑球的概率；若往口袋中再放入x个白球和8个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求x的值.【例1】【解析】（1）由题意知从中随机取出一个球共有5种情况，其中是黑球的有2种可能，根据概率公式计算可得；（2）利用概率公式：，列出关于x的分式方程，解之可得.【答案】解：（1）∵口袋中共装有5个球，其中黑球有2个，∴从中随机取出一个黑球的概率是.（2）根据题意，得，解得x＝2，经检验，x＝2是分式方程的根，所以x＝2.【巩固】1.投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（）两枚骰子向上一面的点数之和大于1两枚骰子向上一面的点数之和等于1两枚骰子向上一面的点数之和大于12两枚骰子向上一面的点数之和等于12如图，六边形广场由6个大小完全相同的灰色和白色正三角形组成，一只小鸟在广场上随机停留，刚好落在灰色正三角形区域的概率为_____________.【巩固答案】D知识点二：用直接列举法（枚举法）求概率当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时，就可以直接列举出所有等可能的结果，再利用概率公式P（A）＝（在一次试验中，有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果）求事件发生的概率.注意：（1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏.（2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个；②每个结果出现的可能性相等.所求概率是一个准确数，一般用分数表示.【例2】有4根细木棒，长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________.【例2】【解析】从4根细木棒中任选3根，有①2cm，3cm，4cm；②3cm，4cm，5cm；③2cm，3cm，5cm；④2cm，4cm，5cm，共4种选法，恰好能搭成一个三角形的有①②④共3种，故恰好能搭成一个三角形的概率是.【答案】【巩固】为支援某贫困山区，小慧准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前5位，后3位由5，1，2这三个数字组成，但具体顺序忘记了.则她第一次就拨通正确电话的概率是（）A. B. C. D.2.小明和他的爸爸妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸妈妈相邻的概率是（）A. B. C. D.【巩固答案】CD知识点三：用列表法求概率列表法列表法就是用表格的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.适用条件当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法.具体步骤选其中的一次操作（或一个条件）为横行，另一次操作（或另一个条件）为竖行，列出表格；运用概率公式P（A）＝计算概率.注意：用列表法列举所有可能出现的结果时，要注意“放回”与“不放回”的区别.【例3】不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）A. B. C. D.第一次【例3】【解析】两次摸球的所有可能出现的结果列表如下：第一次第二次第二次红球绿球红球（红球，红球）（绿球，红球）绿球（红球，绿球）（绿球，绿球）由表可知，共有4种等可能的结果，其中两次都是红球的结果只有1种，所以P（两次都摸到红球）＝.故选D.【答案】D【巩固】“学雷锋”活动月中，“飞翼”班组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两个恰好选择同一场馆的概率是（）A. B. C. D.2.某校举行以“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是（）A. B. C. D.3.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A. B. C. D.【巩固答案】1.ADC知识点四：用画树状图法求概率画树状图法画树状图法是用树状图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法.适用条件当一次试验涉及三个或更多个因素时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法来求事件发生的概率.注意：（1）当试验包含两步时，用列表法比较方便，当然此时也可以用画树状图法；当试验包含三步或三步以上时，不能用列表法，用画树状图法比较方便.（2）树状图中，从左到右（或从上往下），每一条路径都表示一种可能的结果，并且每种结果出现的可能性相同.【例4】小刚一家三口参加“懂法纪，知敬畏”网上答题活动，每人获得一次抽奖机会，有三个彩球，分别代表特等奖，一等奖，谢谢参与，随机点击其中一个，翻开即为所得奖项.三人都随机点击其中一个，则三人获得的奖项都不相同的概率是（）A. B. C. D.【例4】【解析】用A、B、C分别表示特等奖，一等奖和谢谢参与，画树状图如下：由树状图可知，共有27种等可能的结果，三人获得的奖项都不相同的结果有6种，∴P（三人获得的奖项都不相同）＝＝.故选D.【答案】D【巩固】经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，恰好选择同一方向的概率是（）A. B. C. D.2.小明与两位同学进行乒乓球比赛，用“手心、手背”游戏确定出场顺序.设每人每次出手心、手背的可能性相同.若有一人与另外两人不同，则此人最后出场.三人同时出手一次，小明最后出场比赛的概率为___________.【巩固答案】C2.知识点五：用频率估计概率频率：试验中，某事件发生的次数与总次数的比值叫做频率.用频率估计概率：从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性.因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.适用对象：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，可通过事件发生的频率来估计概率.计算方法：一般地，在大量重复试验中，如果时间A发生的频率稳定于某个常数p，那么估计事件A发生的概率P（A）＝p.频率与概率的关系区别：频率是试验值或使用时的统计值，与试验人、试验时间、试验地点等有关；概率是理论值，与其他外界因素无关.联系：试验次数越多，频率越趋向于概率.【例5】某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（）袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9【例5】【解析】A项，取到红球的概率为；B项，向上的面的点数是偶数的概率为；C项，先后两次掷一枚质地均匀的硬币，等可能的结果有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种，所以两次都出现反面的概率为；D项，列表如下：第一次和第一次和第二次第二次123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表可知共有36种等可能的结果，其中两次向上的面的点数之和为7或超过9的结果有12种，所以所求概率为.结合题图可知选D.【答案】D【巩固】不透明的盒子中有白球和黄球若干个，它们除了颜色外其他完全相同，某同学进行了如下试验：每次摸出一个小球，记下颜色后放回盒中，如此重复400次，其中摸出白球100次.由此估计摸出黄球的概率为