专项08 求立体图形上两点间的最短路径问题

专项08求立体图形上两点间的最短路径问题类型一正方体问题1.(2022陕西中考)如图所示的是一个棱长为1的正方体纸盒.若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是()A.3 B.2 C.5 D.32.(2022山东德州期中)如图，点A是正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是.

3.如图1所示的正方体木块的棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线(图1中虚线)切掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短路程为cm.

类型二长方体问题4.(2023山东海阳期中)如图所示的是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4、2、9，用一根细线绕侧面绑在点A、B处，不计线头，细线的最短长度为()A.12 B.15 C.18 D.215.(2022山东招远期末)如图，在一个长AB=18米，宽AD=7米的长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块，已知木块的较长棱与AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是米.

6.(2023湖北丹江口模拟)如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C'处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C'处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽均为20cm，高为30cm，求蚂蚁爬行的最短距离.类型三圆柱问题7.(2022山东龙口期末)如图，已知圆柱底面圆的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长最小为()A.10cm B.20cm C.413cm D.100cm8.春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子.为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面圆周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为米.

类型四圆锥问题9.如图，已知O为圆锥的顶点，MN为圆锥的底面圆直径，一只蜗牛从M点出发，绕圆锥侧面爬行到N点时，所爬行的最短路线的痕迹(虚线)在侧面展开图中的位置是()A. B. C. D.10.(2022山东东营校级调研)如图，圆锥的轴截面是边长为6的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路径的长为.

11.如图所示，已知圆锥的底面圆半径为10cm，母线长为40cm.(1)求它的侧面展开图的圆心角的度数和表面积；(2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面到母线SA的中点B处，它所走的最短路线长是多少?

专项08求立体图形上两点间的最短路径问题答案全解全析1.C如图，将正方体的两个面展开，需要爬行的最短路程即为线段AB的长，∵正方体的棱长为1，∴BC=1，AC=2，∴AB=AC2+BC2∴需要爬行的最短路程为5，故选C.2.答案10解析正方体的部分展开图如图.过A作AE⊥CD于E，连接AB，则AB的长为蚂蚁爬行的最短路程，由题易知EC=1，BC=2，AE=1，∴BE=3，在Rt△ABE中，由勾股定理得AB=32+13.答案(32+36)解析如图所示.连接AB交CD于E.由题意知，△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，AB⊥CD，在Rt△BCD中，CD=BC2+BD∴BE=CE=12CD=32cm，AC=62cm在Rt△ACE中，AE=AC2-CE∴AB=BE+AE=(32+36)cm.故蚂蚁从顶点A爬行到顶点B的最短路程为(32+36)cm.4.B将长方体的侧面沿AB展开，如图所示，连接AB'，则AB'的长即为所用的细线的最短长度，∵AA'=4+2+4+2=12，A'B'=AB=9，∴AB'=A'A2+A'B'5.答案533解析如图所示，连接AC，AC的长为蚂蚁需要走的最短路程.由题意知AB=18+2×2=22米，BC=7米，在Rt△ABC中，AC=AB2+BC26.解析分两种情况：①如图1，连接AC'，在Rt△ACC'中，AC=20+20=40(cm)，CC'=30cm，根据勾股定理得，AC'=AC2+CC'②如图2，连接AC'，在Rt△ABC'中，BC'=BB'+B'C'=30+20=50(cm)，AB=20cm，根据勾股定理得，AC'=BC'2+AB2∵1029>50，∴蚂蚁爬行的最短距离为50cm.7.B如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的长最小为2AC的长度.∵圆柱底面圆的周长为12cm，高为8cm，∴AB=8cm，BC=BC'=6cm，在Rt△ABC中，AC=AB2+BC∴这圈金属丝的长最小为2AC=20cm，故选B.8.答案5解析如图，连接AB，AB的长即为彩灯带的最短长度，∵圆柱的高为3米，底面圆周长为2米，∴AB=(2×2)2∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5米.9.D因为MN为圆锥的底面圆直径，所以点N为侧面展开图中扇形弧的中点，只有D选项符合题意，故选D.10.答案35解析圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是6π，则以AB为一边，将圆锥的侧面展开，就得到一个以A为圆心，以AB的长为半径的扇形，弧长是6π.设展开后扇形的圆心角是n°，则nπ×6180=6π，解得n=180，∴展开后的扇形中∠BAC=12×180°=90°，AP=12AC=3，AB=6，∴在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路径的长就是展开后扇形中线段BP的长，为6211.解析(1)设侧面展开图的圆心角为n°，则nπ×40180=2π×10故侧面展开图的圆心角的度数为90°.由题意知圆锥的表面积=π×102+π×10