新高考数学一轮复习第3章 第07讲 利用导数研究双变量问题 精讲+精练（教师版）

第07讲利用导数研究双变量问题(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：分离双参，构造函数高频考点二：糅合双参（比值糅合）高频考点三：糅合双参（差值糅合）高频考点四：变更主元法高频考点五：指定主元法高频考点六：利用根与系数的关系转单变量高频考点七：利用对数平均不等式解决双变量问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第07讲利用导数研究双变量问题（精练）第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、导数中求解双变量问题的一般步骤：（1）先根据已知条件确定出变量SKIPIF1<0满足的条件；（2）将待求的问题转化为关于SKIPIF1<0的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及SKIPIF1<0的式子转化为关于SKIPIF1<0的式子，将问题转化为关于自变量SKIPIF1<0（SKIPIF1<0亦可）的函数问题；②通过SKIPIF1<0的乘积关系，用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0（用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0亦可），将双变量问题替换为SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的单变量问题；（3）构造关于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的新函数，同时根据已知条件确定出SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.2、破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试1．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且对SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解：设SKIPIF1<0，因为对SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时都有SKIPIF1<0恒成立，等价于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0单调递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：A.2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由题意SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是减函数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是减函数，且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是增函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C．3．（2022·全国·高三专题练习）若存在两个正实数x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0成立，则实数a的取值范围为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0得2x+a（y﹣2ex）lnSKIPIF1<00，即2+a（SKIPIF1<02e）lnSKIPIF1<00，即设tSKIPIF1<0，则t＞0，则条件等价为2+a（t﹣2e）lnt＝0，即（t﹣2e）lntSKIPIF1<0有解，设g（t）＝（t﹣2e）lnt，g′（t）＝lnt+1SKIPIF1<0为增函数，∵g′（e）＝lne+1SKIPIF1<01+1﹣2＝0，∴当t＞e时，g′（t）＞0，当0＜t＜e时，g′（t）＜0，即当t＝e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）＝（e﹣2e）lne＝﹣e，即g（t）≥g（e）＝﹣e，若（t﹣2e）lntSKIPIF1<0有解，则SKIPIF1<0e，即SKIPIF1<0e，则a＜0或aSKIPIF1<0，故选：C．4．（2022·全国·高二）若函数SKIPIF1<0存在两个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D根据题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0有两解，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：D.第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析高频考点一：分离双参，构造函数1．（2022·全国·高二）设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若对任何SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围______.【答案】14,+∞##k|k≥14因为对任何SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以对任何SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】恒（能）成立问题求参数的取值范围：①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究SKIPIF1<0的单调性及最值；③特别地，个别情况下SKIPIF1<0恒成立，可转换为SKIPIF1<0（二者在同一处取得最值）.2．（2021·重庆巴蜀中学高三开学考试）SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的取值范围为___________.【答案】SKIPIF1<0不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0恒成立，可得SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<03．（2021·湖南省邵东市第一中学高二期中）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为区间SKIPIF1<0上的任意实数，且对任意SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0成立，则实数SKIPIF1<0的最小值为______________．【答案】3由题得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，原不等式即为SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，依题意，应满足SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立．即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（i）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故此时SKIPIF1<0（ii）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；故此时SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，故对于任意SKIPIF1<0，满足题设条件的SKIPIF1<0最小值为3．故答案为：34．（2022·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与SKIPIF1<0轴平行，求实数SKIPIF1<0的值；(2)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(3)证明：若SKIPIF1<0，则对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案不唯一，具体见解析(3)证明见解析(1)函数SKIPIF1<0的导数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增．SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0及SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0单调递增．SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0单调递增．(3)欲证SKIPIF1<0成立，即证明SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调增加，从而当SKIPIF1<0时有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0成立．5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(1)若函数SKIPIF1<0有两个极值点，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)证明：若SKIPIF1<0，则对于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)证明见解析(1)由题意知，SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0有两个极值点，所以SKIPIF1<0有两个不等的正根，即SKIPIF1<0有两个不等的正根，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(2)构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，从而当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，同理可证SKIPIF1<0．综上，对于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<06．（2021·山东·高三阶段练习）设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0平行，求SKIPIF1<0的极小值；（2）若对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（1）极小值为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【详解】（1）因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.SKIPIF1<0曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0平行，此切线的斜率为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极小值SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0；（2）对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立等价于：对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，设SKIPIF1<0，则对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，SKIPIF1<0，故实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.高频考点二：糅合双参（比值糅合）1．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数SKIPIF1<0有两个零点.(1)求a的取值范围.(2)记两个零点分别为x1，x2，证明：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)证明见解析.(1)∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，不合题意，当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个零点，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个零点.综上，函数SKIPIF1<0有两个零点，SKIPIF1<0.(2)由（1）知SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.2．（2022·陕西·二模（理））已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的单调性；(2)SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】(1)单调递增(2)证明见解析(1)由题意，函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在（0，1）上单调递增．(2)根据题意，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的两个零点，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．两式相减，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0恒成立，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题关键点在于对双变量的处理，通过对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0作差，化简得到SKIPIF1<0，分别得到SKIPIF1<0后，换元令SKIPIF1<0，这样就转换为1个变量，再求导确定单调性即可求解．3．（2022·宁夏·银川二中一模（理））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【答案】(1)单调递增区间为SKIPIF1<0，无单调递减区间(2)证明见解析(1)解：依题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，无单调递减区间.(2)证明：要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0.依题意，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两个不等实数根，不妨令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，两式相加可得SKIPIF1<0，两式相减可得SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，故只需证明SKIPIF1<0，即证明SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，从而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.故原不等式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）转化为证明SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），进而构造辅助函数SKIPIF1<0；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.4．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三期末（理））已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.(1)函数SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即函数SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，综上可知：①当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，无单调递增区间；②当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0(2)依题意，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的两个零点，设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所证不等式即SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，从而所证不等式成立.【点睛】本题关键是换元SKIPIF1<0，结合已知条件可将双变量转换为单变量问题求解.5．（2022·山西长治·高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，求实数a的取值范围．(2)若SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两个不相等的实数根，证明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)详见解析(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数单调递减，所以函数SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两个不相等的实数根，即SKIPIF1<0又2个不同实数根SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，要证明SKIPIF1<0，只需证明SKIPIF1<0，即证明SKIPIF1<0，即证明SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令函数SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0【点睛】本题考查利用导数的单调性求参数的取值范围，以及证明不等式，属于难题，导数中的双变量问题，往往采用分析法，转化为函数与不等式的关系，通过构造函数，结合函数的导数，即可证明.高频考点三：糅合双参（差值糅合）1．（2022·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值属于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0单增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单减；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单增；又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单减，即SKIPIF1<0故选：C2．（2021·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．其中SKIPIF1<0为自然对数的底数．（1）若SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0恰有两个不同的极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】（1）当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0单调递增；（2）证明见解析．解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（i）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减；（ii）当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递减，在SKIPIF1<0递增；综上，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0单调递增；（2）证明：SKIPIF1<0，依题意，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，两边同除以SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．3．（2022·天津滨海新·高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)当SKIPIF1<0时，若函数SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的单调区间；(3)当SKIPIF1<0时，若函数SKIPIF1<0恰有两个不同的极值点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案见解析；(3)证明见解析.(1)解：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(2)解：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，该函数的定义域为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（i）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0；（ii）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不恒为零，此时函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；（iii）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0.综上所述当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0.(3)证明：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递增，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.下面证明不等式SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，构造函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，两式作差可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故原不等式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）转化为证明SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），进而构造辅助函数SKIPIF1<0；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.高频考点四：变更主元法在处理导数试题的过程中，我们经常会遇到涉及两个变量的不等式问题，比如一个变量为SKIPIF1<0，另个一变量（也可以是参数）为SKIPIF1<0.在这种情况下，我们潜意识里总会把函数看作是关于变量SKIPIF1<0的函数，希望通过利用导数研究SKIPIF1<0的性质，从而得出结论.如果说SKIPIF1<0与SKIPIF1<0具有一定的关联，这种思维定势会为我们的解决问题带来方便.但在绝大多数情况下，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是没有关联的，这个时候这种思维定势就会给我们的解题带来障碍.此时，我们不妨转换一下视角，将字母SKIPIF1<0作为主要未知数，然后来解决问题.这种选择主要未知数（简称主元）的方法，我们称之为变更主元法.1．（2021·全国·高一专题练习）当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】SKIPIF1<0．解：由题意不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的一次函数，要使题意成立只需SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以原不等式的解集为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．2．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的图象经过点SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的解析式：（2）若对任意SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数x的取值范围.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.（1）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0的图象经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<03．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0(1)求函数SKIPIF1<0的极值；(2)若函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0恰有三个交点，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(3)已知不等式SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0都成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0，极小值为SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值，在SKIPIF1<0处取得极小值，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0，极小值为SKIPIF1<0；(2)因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由（1）可知，要想函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0恰有三个交点，则要满足SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0(3)即SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由基本不等式得：SKIPIF1<0，当且