新高考数学一轮复习第3章 第07讲 利用导数研究双变量问题 精讲+精练（学生版）

第07讲利用导数研究双变量问题(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：分离双参，构造函数高频考点二：糅合双参（比值糅合）高频考点三：糅合双参（差值糅合）高频考点四：变更主元法高频考点五：指定主元法高频考点六：利用根与系数的关系转单变量高频考点七：利用对数平均不等式解决双变量问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第07讲利用导数研究双变量问题（精练）第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、导数中求解双变量问题的一般步骤：（1）先根据已知条件确定出变量SKIPIF1<0满足的条件；（2）将待求的问题转化为关于SKIPIF1<0的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及SKIPIF1<0的式子转化为关于SKIPIF1<0的式子，将问题转化为关于自变量SKIPIF1<0（SKIPIF1<0亦可）的函数问题；②通过SKIPIF1<0的乘积关系，用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0（用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0亦可），将双变量问题替换为SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的单变量问题；（3）构造关于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的新函数，同时根据已知条件确定出SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.2、破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试1．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且对SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全国·高三专题练习）若存在两个正实数x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0成立，则实数a的取值范围为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·全国·高二）若函数SKIPIF1<0存在两个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析高频考点一：分离双参，构造函数1．（2022·全国·高二）设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若对任何SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围______.2．（2021·重庆巴蜀中学高三开学考试）SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的取值范围为___________.3．（2021·湖南省邵东市第一中学高二期中）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为区间SKIPIF1<0上的任意实数，且对任意SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0成立，则实数SKIPIF1<0的最小值为______________．4．（2022·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与SKIPIF1<0轴平行，求实数SKIPIF1<0的值；(2)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(3)证明：若SKIPIF1<0，则对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(1)若函数SKIPIF1<0有两个极值点，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)证明：若SKIPIF1<0，则对于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．6．（2021·山东·高三阶段练习）设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0平行，求SKIPIF1<0的极小值；（2）若对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.高频考点二：糅合双参（比值糅合）1．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数SKIPIF1<0有两个零点.(1)求a的取值范围.(2)记两个零点分别为x1，x2，证明：SKIPIF1<0.2．（2022·陕西·二模（理））已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的单调性；(2)SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．3．（2022·宁夏·银川二中一模（理））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.4．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三期末（理））已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.5．（2022·山西长治·高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，求实数a的取值范围．(2)若SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两个不相等的实数根，证明：SKIPIF1<0．高频考点三：糅合双参（差值糅合）1．（2022·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值属于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．其中SKIPIF1<0为自然对数的底数．（1）若SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0恰有两个不同的极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．3．（2022·天津滨海新·高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)当SKIPIF1<0时，若函数SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的单调区间；(3)当SKIPIF1<0时，若函数SKIPIF1<0恰有两个不同的极值点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.高频考点四：变更主元法在处理导数试题的过程中，我们经常会遇到涉及两个变量的不等式问题，比如一个变量为SKIPIF1<0，另个一变量（也可以是参数）为SKIPIF1<0.在这种情况下，我们潜意识里总会把函数看作是关于变量SKIPIF1<0的函数，希望通过利用导数研究SKIPIF1<0的性质，从而得出结论.如果说SKIPIF1<0与SKIPIF1<0具有一定的关联，这种思维定势会为我们的解决问题带来方便.但在绝大多数情况下，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是没有关联的，这个时候这种思维定势就会给我们的解题带来障碍.此时，我们不妨转换一下视角，将字母SKIPIF1<0作为主要未知数，然后来解决问题.这种选择主要未知数（简称主元）的方法，我们称之为变更主元法.1．（2021·全国·高一专题练习）当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围．2．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的图象经过点SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的解析式：（2）若对任意SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数x的取值范围.3．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0(1)求函数SKIPIF1<0的极值；(2)若函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0恰有三个交点，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(3)已知不等式SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0都成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．4、(武汉市2021届高中毕业生三月质量检测)已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时,求SKIPIF1<0的最小值;(2)证明:当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0恒成立.高频考点五：指定主元法1、已知SKIPIF1<0，试比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小，并证明.高频考点六：利用根与系数的关系转单变量1．（2022·安徽合肥·高三期末（文））已知函数SKIPIF1<0．(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(2)若函数SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．2．（2022·湖南常德·高三期末）已知函数SKIPIF1<0．(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(2)若函数SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为自然对数底数，且SKIPIF1<0），求SKIPIF1<0的取值范围．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)若SKIPIF1<0存在两个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<04．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)设SKIPIF1<0存在两个极值点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.高频考点七：利用对数平均不等式解决双变量问题当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，有：SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时等号成立）1、已知函数SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<02、已知函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证SKIPIF1<0.第四部分：高考真题感悟第四部分：高考真题感悟1．（2021·全国·高考真题）已知函数SKIPIF1<0.（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为两个不相等的正数，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.2．（2011·湖南·高考真题（文））设函数SKIPIF1<0（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）若SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，记过点SKIPIF1<0的直线的斜率为SKIPIF1<0，问：是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值，若不存在，请说明理由．第五部分：第07讲利用导数研究双变量问题（精练）第五部分：第07讲利用导数研究双变量问题（精练）一、单选题1．（2021·湖北·宜昌市夷陵中学高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，t>0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·安徽·屯溪一中高二期末（文））已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2019·辽宁葫芦岛·高三阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2021·山西运城·高三期中（理））已知在函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2021·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习（理））若对于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2021·福建·莆田一中高二期末）已知SKIPIF1<0为自然对数的底数，若对任意SKIPIF1<0，总存在唯一的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题7．（2021·全国·高二单元测试）已知实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______．8．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最大值为___________.9．（2019·河南郑州·高二期中（理））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为________.10．（2018·湖南省宁远县第一中学高二阶