新高考数学一轮复习第5章 第04讲 正弦定理和余弦定理 精讲（教师版）

第04讲正弦定理和余弦定理(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：利用正、余弦定理解三角形角度1：三角形个数问题角度2：利用正弦定理解三角形角度3：利用余弦定理解三角形角度4：正余弦定理综合应用高频考点二：判断三角形的形状高频考点三：三角形面积相关问题角度1：求三角形面积角度2：根据面积求参数角度3：三角形面积的最值第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、正弦定理1.1正弦定理的描述①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.②符号语言：在SKIPIF1<0中，若角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所对边的边长分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<01.2正弦定理的推广及常用变形公式在SKIPIF1<0中，若角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所对边的边长分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，其外接圆半径为SKIPIF1<0，则①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0④SKIPIF1<0⑤SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（可实现边到角的转化）⑥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（可实现角到边的转化）2、余弦定理2.1余弦定理的描述①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.②符号语言：在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，所对的边分别是SKIPIF1<0,则：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<02.2余弦定理的推论SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<03、三角形常用面积公式①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0（其中，SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0的各边长，SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0的内切圆半径）；④SKIPIF1<0(其中，SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0的各边长，SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0的外接圆半径).4、常用结论在三角形中的三角函数关系①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0④SKIPIF1<0⑤SKIPIF1<0⑥若SKIPIF1<0⑦若SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0

()【答案】正确因为在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以由正弦定理得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为SKIPIF1<0外接圆半径），所以SKIPIF1<0，所以由三角形中大边对大角，得SKIPIF1<0，故答案为：正确2．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0()【答案】×SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故答案为：×.二、单选题3．（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）若在SKIPIF1<0，则三角形的形状一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】B由SKIPIF1<0以及余弦定理得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，所以三角形的形状一定是等腰三角形.故选：B4．（2022·天津市微山路中学高一阶段练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°【答案】A【详解】由正弦定理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．故选：A.第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析高频考点一：利用正、余弦定理解三角形角度1：三角形个数问题例题1．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（理））已知△SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，“满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0有两个”的必要不充分条件是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A由题画图，“满足SKIPIF1<0，A=SKIPIF1<0的SKIPIF1<0有两个”时，应满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故“满足SKIPIF1<0，A=SKIPIF1<0的SKIPIF1<0有两个”的必要不充分条件是SKIPIF1<0故选：A例题2．（2022·河南宋基信阳实验中学高一阶段练习）下列条件判断三角形解的情况，正确的的个数是（

）．①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有两解；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有一解；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，无解；④SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有一解．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A对于①，由正弦定理SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0有一解，故三角形的解有一个,错误；对于②，由正弦定理SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,则三角形的解有两解，错误；对于③，由正弦定理SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0

,可得SKIPIF1<0有一解，故三角形的解有一个，错误；对于④，由正弦定理SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0有一解，故三角形的解有一个,正确,故选：A例题3．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）在SKIPIF1<0中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】C解：由正弦定理可得SKIPIF1<0，对于选项A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故△ABC有唯一解．对于选项B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故△ABC无解．对于选项C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故△ABC有两个解．对于选项D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故B为锐角，故△ABC有唯一解．故选：C．题型归类练1．（2022·山西运城·高一期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若满足条件的三角形有两个，则m的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C因为满足条件的三角形有两个，所以SKIPIF1<0,将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入，解得SKIPIF1<0.故选：C2．（2022·重庆一中高一阶段练习）若满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0恰有一个，则实数k的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B解：由正弦定理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0恰有一个，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：B3．（2022·山东省实验中学高一期中）SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.如果SKIPIF1<0有两解，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D如下图所示：因为SKIPIF1<0有两解，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D.角度2：利用正弦定理解三角形例题1．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为锐角，所以SKIPIF1<0.故选：B.例题2．（2022·湖北·华中师大一附中高一期中）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若满足条件的三角形有且只有两个，则角SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据正弦定理得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0，满足条件的三角形有且只有两个，A为锐角，故SKIPIF1<0,故选：A例题3．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周长是______．【答案】SKIPIF1<0依题意，SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长=SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0.例题4．（2022·河南新乡·高一期中）一艘轮船从SKIPIF1<0地开往北偏西SKIPIF1<0方向上的SKIPIF1<0地执行任务，完成任务后开往北偏东SKIPIF1<0方向上的SKIPIF1<0地，轮船总共航行了SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0地在SKIPIF1<0地北偏东SKIPIF1<0的方向上，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两地相距约为___________SKIPIF1<0.（结果保留整数，参考数据：SKIPIF1<0）【答案】400由题意，作图如图所示.SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0由正弦定理可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故答案为：400题型归类练1．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））记SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C根据正弦定理得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C.2．（2022·重庆·高一阶段练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】A在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为锐角，所以SKIPIF1<0.故选：A.3．（2022·浙江杭州·高一期中）设SKIPIF1<0内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由题意可得SKIPIF1<0，故由正弦定理得：SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，故选：C4．（2022·江苏·吴江汾湖高级中学高一期中）在SKIPIF1<0中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0．若D是边SKIPIF1<0上一点且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（由题意可知SKIPIF1<0一定是锐角），所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C5．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））在SKIPIF1<0中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为___________.【答案】SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.6．（2022·重庆·高一阶段练习）已知轮船SKIPIF1<0和轮船SKIPIF1<0同时从SKIPIF1<0岛出发，SKIPIF1<0船沿北偏东SKIPIF1<0的方向航行，SKIPIF1<0船沿正北方向航行（如图）．若SKIPIF1<0船的航行速度为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0后，SKIPIF1<0船测得SKIPIF1<0船位于SKIPIF1<0船的北偏东SKIPIF1<0的方向上，则此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两船相距____________SKIPIF1<0.【答案】40解：依题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0角度3：利用余弦定理解三角形例题1．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）已知SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周长为（

）A．9 B．10 C．20 D．24【答案】C由余弦定理得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，周长为SKIPIF1<0.故选：C.例题2．（2022·河北·高一期中）记SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：由题意得SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C例题3．（2022·四川·成都七中高一期中）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B解：因为SKIPIF1<0，所以由正弦定理化简可得：a2＝b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2＝bc，故SKIPIF1<0，由于A∈（0，π），可得：A＝SKIPIF1<0，因为AD是△ABC的角平分线，D在BC边上，可得∠BAD＝∠DAC＝SKIPIF1<0，所以由余弦定理可得SKIPIF1<0，因为b＝3c，所以CD＝3BD，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，所以由余弦定理可得SKIPIF1<0．故选：B．例题4．（2022·吉林毓文中学高一期中）在四边形SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型归类练1．（2022·全国·高一单元测试）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故选：C．2．（2022·江苏常州·高一期中）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C根据题意，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：C.3．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．6 D．SKIPIF1<0【答案】ASKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：A.4．（2022·湖北·高一阶段练习）在SKIPIF1<0ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c（acosB－bcosA）＝16，a－b＝2，∠C＝SKIPIF1<0，则c的值等于___．【答案】SKIPIF1<0解：由余弦定理，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则a＝5，b＝3，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<05．（2022·广东·广州市为明学校高一期中）如图，要测量底部不能到达的某铁塔SKIPIF1<0的高度，在塔的同一侧选择C，D两观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为SKIPIF1<0．在水平面上测得SKIPIF1<0，C，D两地相距SKIPIF1<0，则铁塔SKIPIF1<0的高度是_______m．【答案】600设SKIPIF1<0m，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得:SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（m），(SKIPIF1<0舍去).故答案为：600.6．（2022·安徽·高一期中）在某个位置测得一旗杆的仰角为SKIPIF1<0，对着旗杆在平行地面上前进60米后测得旗杆仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进SKIPIF1<0米后，测得旗杆的仰角为原来的4倍，则该旗杆的高度为______米．【答案】SKIPIF1<0如图所示，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.角度4：正余弦定理综合应用例题1．（2022·山西·高一阶段练习）在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最短边长为SKIPIF1<0，则其最长边长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为最大角，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故最短边为a，最长边为c，所以SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以最长边长为SKIPIF1<0，故选:A例题2．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））已知在锐角SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周长的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A由正弦定理SKIPIF1<0，又A＝60°，BC=4所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为△ABC为锐角三角形，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以周长的取值范围是SKIPIF1<0.故选：A.例题3．（2022·山东菏泽·高一期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】B在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B例题4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是__________.【答案】SKIPIF1<0##0.6由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0例题5．（2022·山东·临沭县教育和体育局高一期中）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0.根据此公式，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为______.【答案】SKIPIF1<0解：由正弦定理边角互化可知SKIPIF1<0化简为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，根据面积公式可知SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0题型归类练1．（2022·江苏·高一课时练习）如图，从气球SKIPIF1<0上测得正前方的河流的两岸SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是SKIPIF1<0，则河流的宽度SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C从气球SKIPIF1<0上测得正前方的河流的两岸SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的俯角分别为75°，30°，气球的高度是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，由正弦定理可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.2．（2022·天津河北·高一期中）在SKIPIF1<0ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∠A的角平分线AD的长为SKIPIF1<0，则|AC|＝（

）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：在SKIPIF1<0ABD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∠A的角平分线AD的长为SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0ABC是等腰三角形，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：C3．（2022·四川绵阳·高一期中）已知SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0＝（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解：SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0结合SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：A．4．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园SKIPIF1<0两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距SKIPIF1<0的SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0在点A的正东方向上，且SKIPIF1<0四点在同一水平面上．从点A处观测得点SKIPIF1<0在它的东北方向上，点SKIPIF1<0在它的西北方向上；从点SKIPIF1<0处观测得点SKIPIF1<0在它的北偏东SKIPIF1<0方向上，点SKIPIF1<0在它的北偏西SKIPIF1<0方向上，则SKIPIF1<0之间的距离为______km.【答案】2由题意可知，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,故答案为：25．（2022·江西萍乡·三模（理））已知SKIPIF1<0分别为锐角SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积的最大值为_________．【答案】SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，由正弦定理可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0为锐角三角形，所以SKIPIF1<0.由余弦定理得：SKIPIF1<0（当且仅当a=b时等号成立）即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（当且仅当a=b，即SKIPIF1<0为等边三角形时等号成立）.所以SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.高频考点二：判断三角形的形状例题1．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期中）在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0一定是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】B因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以由正余弦定理得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等腰三角形.故选：B.例题2．（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）若在SKIPIF1<0，则三角形的形状一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】B由SKIPIF1<0以及余弦定理得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，所以三角形的形状一定是等腰三角形.故选：B例题3．（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．能制作一个锐角三角形 B．能制作一个直角三角形C．能制作一个钝角三角形 D．不能制作这样的三角形【答案】C设三角形的三条边为a，b，c，设SKIPIF1<0中点为D，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0同理，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴可以构成三角形SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为钝角三角形，故选：C题型归类练1．（2022·全国·高一单元测试）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是（

）A．钝角三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内角，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴由余弦定理得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等边三角形.故选：B.2．（2022·江苏南通·高一期中）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0一定是（

）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．无法确定【答案】A解：由SKIPIF1<0，根据余弦定理，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0.所以三角形为等边三角形，故选:SKIPIF1<03．（2022·天津市第二十一中学高一期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则△ABC的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】C△ABC中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0则有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，则△ABC的形状是等边三角形故选：C4．（2022·安徽·安庆一中高一期中）已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状为（

）A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D由正弦定理有SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的形状为等腰三角形或直角三角形故选：D5．（2022·江苏徐州·高一期中）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】DSKIPIF1<0，利用正弦定理，可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0时，有等式成立，此时SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0为等腰或直角三角形.故选：D高频考点三：三角形面积相关问题角度1：求三角形面积例题1．（2022·江西宜春·模拟预测（文））SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：由余弦定理SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C例题2．（2022·吉林长春·模拟预测（文））SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF