新高考数学一轮复习第5章 第05讲 正弦定理和余弦定理的应用 精讲（教师版）

第05讲正弦定理和余弦定理的应用(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：解三角形应用举例角度1：测量距离问题角度2：测量高度问题角度3：测量角度问题高频考点二：求平面几何问题高频考点三：三角函数与解三角形的交汇问题第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、基线在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.2、仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角3、方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角SKIPIF1<0的范围是SKIPIF1<0.4、方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)SKIPIF1<0，例：(1)北偏东SKIPIF1<0：(2)南偏西SKIPIF1<0：5、坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即SKIPIF1<0.第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试1．（2022·河南安阳·高一阶段练习）公园内有一棵树，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是与树根处SKIPIF1<0点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为SKIPIF1<0.如图，观测得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0米，则该树的高度SKIPIF1<0大约为（

）A．21米 B．18米 C．15米 D．10米【答案】A在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则由正弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0米，在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0米.故选：A.2．（2022·新疆·乌市八中高一期中）现只有一把长为SKIPIF1<0的尺子，为了求得某小区草坪边缘SKIPIF1<0两点的距离SKIPIF1<0（SKIPIF1<0大于SKIPIF1<0），在草坪坛边缘找到点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，测得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C3．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，为了测量某湖泊两侧SKIPIF1<0，SKIPIF1<0间的距离，李宁同学首先选定了与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线的一点SKIPIF1<0，然后给出了三种测量方案(SKIPIF1<0的角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)：①测量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②测量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C；③测量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则一定能确定SKIPIF1<0，SKIPIF1<0间距离的所有方案的个数为（

）A．3 B．2C．1 D．0【答案】A对于①，利用内角和定理先求出SKIPIF1<0，再利用正弦定理SKIPIF1<0解出SKIPIF1<0；对于②，直接利用余弦定理SKIPIF1<0即可解出SKIPIF1<0；对于③，先利用内角和定理求出SKIPIF1<0，再利用正弦定理SKIPIF1<0解出SKIPIF1<0．故选：A.4．（2022·江苏·高一课时练习）如图，在救灾现场，搜救人员从SKIPIF1<0处出发沿正北方向行进SKIPIF1<0米达到SKIPIF1<0处，探测到一个生命迹象，然后从SKIPIF1<0处沿南偏东SKIPIF1<0行进SKIPIF1<0米到达SKIPIF1<0处，探测到另一个生命迹象，如果SKIPIF1<0处恰好在SKIPIF1<0处的北偏东SKIPIF1<0方向上，那么SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0米 B．SKIPIF1<0米 C．10米 D．SKIPIF1<0米【答案】D依题意得SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故选：D5．（2022·重庆八中高一期中）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指SKIPIF1<0与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为SKIPIF1<0，观测该卫星的仰角为SKIPIF1<0，则下列关系一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解：如图所示，SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，故选：A.第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析高频考点一：解三角形应用举例角度1：测量距离问题例题1．（2022·广东·信宜市第二中学高一阶段练习）如图，一轮船从SKIPIF1<0点沿北偏东SKIPIF1<0的方向行驶10海里至海岛SKIPIF1<0，又从SKIPIF1<0沿北偏东SKIPIF1<0的方向行驶10海里至海岛SKIPIF1<0，若此轮船从SKIPIF1<0点直接沿直线行驶至海岛SKIPIF1<0，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛SKIPIF1<0（

）A．北偏东SKIPIF1<0；SKIPIF1<0 B．北偏东SKIPIF1<0；SKIPIF1<0C．北偏东SKIPIF1<0；SKIPIF1<0 D．北偏东SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【答案】C由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以从A到C的航向为北偏东SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：C例题2．（2022·全国·高三专题练习）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(如图)，要测量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的距离，测量人员在岸边定出基线SKIPIF1<0，测得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．就可以计算出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的距离为（

）．A．20SKIPIF1<0m B．30SKIPIF1<0m C．40SKIPIF1<0m D．50SKIPIF1<0m【答案】D由三角形内角和定理可知：SKIPIF1<0，由正弦定理得:SKIPIF1<0，故选：D例题3．（2022·福建龙岩·高一期中）两座灯塔SKIPIF1<0和SKIPIF1<0与海洋观察站SKIPIF1<0SKIPIF1<0的距离分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，灯塔SKIPIF1<0在观察站SKIPIF1<0的北偏东SKIPIF1<0方向上，灯塔SKIPIF1<0在观察站SKIPIF1<0的南偏东SKIPIF1<0方向上，则灯塔SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的距离为______km．【答案】7根据题意作出如图的方位图，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故答案为：7例题4．（2022·广东·广州市第六十五中学高一期中）如图，为了测量SKIPIF1<0两点间的距离，选取同一平面上SKIPIF1<0两点，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为________．【答案】SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由正弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例题5．（2022·江苏·高一课时练习）《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距SKIPIF1<0的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两地各放置一个地动仪，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的东偏北SKIPIF1<0方向，若SKIPIF1<0地动仪正东方向的铜丸落下，SKIPIF1<0地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在SKIPIF1<0地正东________________km.【答案】SKIPIF1<0解：如图，设震源在C处，则SKIPIF1<0，则由题意可得SKIPIF1<0，根据正弦定理可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以震源在A地正东SKIPIF1<0处.故答案为：SKIPIF1<0角度2：测量高度问题例题1．（2022·江西师大附中三模（理））滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，在它们的地面上的点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线）测得楼顶SKIPIF1<0，滕王阁顶部SKIPIF1<0的仰角分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，在楼顶SKIPIF1<0处测得阁顶部SKIPIF1<0的仰角为SKIPIF1<0，则小明估算滕王阁的高度为（

）（精确到SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由题意得，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.故选：D.例题2．（2022·山东菏泽·高一期中）2022年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点SKIPIF1<0（如图2）距离地面的高度SKIPIF1<0（SKIPIF1<0与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物SKIPIF1<0，测得SKIPIF1<0的高度为25.4米，并从SKIPIF1<0点测得SKIPIF1<0点的仰角为SKIPIF1<0；在赛道与建筑物SKIPIF1<0之间的地面上的点SKIPIF1<0处测得SKIPIF1<0点，SKIPIF1<0点的仰角分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线），该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点SKIPIF1<0距离地面的高度约为（

）（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．58 B．60 C．66 D．68【答案】B解：如图所示：由题意得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故选：B例题3．（2022·四川成都·高一期中）如图，SKIPIF1<0是底部不可到达的一个烟囱，为测量烟囱的高度，在地面选取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点在同一条直线上，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点测得顶点SKIPIF1<0的仰角分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点之间的距离为20米，则烟囱SKIPIF1<0的高度为_________米．（用四舍五入法将结果精确到个位数，参考数据：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0）【答案】22在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0（米）.故答案为：22.例题4．（2022·福建省厦门集美中学高一期中）厦门双子塔是厦门的新地标，两栋独立的塔楼由裙楼相连，外观形似风帆，并融入了厦门市花“三角梅”的视觉元素.小明计划测量双子塔SKIPIF1<0塔的高度，他在家测得塔尖的仰角为SKIPIF1<0，再到正上方距家42米的天台上，测得塔尖仰角为SKIPIF1<0，塔底俯角为SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0塔的高度约为______米.（精确到个位）参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】303解：如图，设塔高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以解得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0,故答案为：303角度3：测量角度问题例题1．（2022·江苏·高一课时练习）两座灯塔SKIPIF1<0和SKIPIF1<0与海岸观察站SKIPIF1<0的距离相等，灯塔SKIPIF1<0在观察站北偏东SKIPIF1<0，灯塔B在观察站南偏东SKIPIF1<0，则灯塔SKIPIF1<0在灯塔SKIPIF1<0的（

）A．北偏东SKIPIF1<0 B．北偏西SKIPIF1<0C．南偏东SKIPIF1<0 D．南偏西SKIPIF1<0【答案】B灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.故选：B.例题2．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））位于灯塔SKIPIF1<0处正西方向相距SKIPIF1<0的SKIPIF1<0处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔SKIPIF1<0处北偏东SKIPIF1<0相距SKIPIF1<0的SKIPIF1<0处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B依题意，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的延长线交于点SKIPIF1<0，如图，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西60°.故选：B.例题3．（2022·江苏南通·高一期末）图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为SKIPIF1<0，日影长为SKIPIF1<0.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点SKIPIF1<0处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬SKIPIF1<0）在某地利用一表高为SKIPIF1<0的圭表按图1方式放置后，测得日影长为SKIPIF1<0，则该地的纬度约为北纬（

）（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B由图1可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，该地的纬度约为北纬SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．题型归类练1．（2022·天津市求真高级中学高一阶段练习）如图，一艘船上午8：00在SKIPIF1<0处测得灯塔SKIPIF1<0在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达SKIPIF1<0处，此时又测得灯塔SKIPIF1<0在它的北偏东75°处，且与它相距SKIPIF1<0海里，则此船的航行速度是（

）A．16海里/小时 B．15海里/小时C．SKIPIF1<0海里/小时 D．SKIPIF1<0海里/小时【答案】A由图可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以该船的航行速度为SKIPIF1<0（海里/小时）．故选：A2．（2022·河北保定·高一阶段练习）如图，在一场足球比赛中，甲同学从点SKIPIF1<0处开始做匀速直线运动，到达点SKIPIF1<0时，发现乙同学踢着足球在点SKIPIF1<0处正以自己速度的SKIPIF1<0向SKIPIF1<0做匀速直线运动，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截乙同学的点是线段SKIPIF1<0上离SKIPIF1<0处____________m的点.【答案】5解：如图，设甲同学最快拦截乙同学的地点是点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）.、故甲同学最快拦截乙同学的点是线段SKIPIF1<0上离SKIPIF1<0处5m的点.故答案为：SKIPIF1<0.3．（2022·福建省宁化第一中学高一阶段练习）第四届数字中国建设峰会将于2021年4月25日至26日在福州举办，三明市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某县区域地面有四个5G基站A，B，C，D．已知C，D两个基站建在江的南岸，距离为SKIPIF1<0；基站A，B在江的北岸，测得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则A，B两个基站的距离为______．【答案】SKIPIF1<0在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在三角形SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<04．（2022·江苏·高一课时练习）如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=500m，则山高MN=______m.【答案】750在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由正弦定理得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：7505．（2022·全国·高三专题练习）如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台SKIPIF1<0，已知射线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为湿地两边夹角为SKIPIF1<0的公路（长度均超过SKIPIF1<0千米），在两条公路SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上分别设立游客接送点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0千米，若要求观景台SKIPIF1<0与两接送点所成角SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互补且观景台SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的右侧，并在观景台SKIPIF1<0与接送点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间建造两条观光线路SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，则观光线路之和最长是_________________（千米）.【答案】4解：在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互补，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，取等号，所以观光线路之和最长是4.故答案为：46．（2022·广东梅州·高一阶段练习）如图，测量河对岸的塔高SKIPIF1<0，可以选取与塔底SKIPIF1<0在同一水平面内的两个测量基点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．现测得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0米，在点SKIPIF1<0测得塔顶SKIPIF1<0的仰角为60°，则塔高SKIPIF1<0为（

）米．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A由题意，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由正弦定理可知SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，易知SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0.故选：A.7．（2022·全国·高三专题练习（理））魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（

）A．60米 B．61米 C．62米 D．63米【答案】D解：根据题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：D.8．（2022·湖南·高一阶段练习）如图，无人机在离地面高300m的A处，观测到山顶M处的仰角为SKIPIF1<0、山脚C处的俯角为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，则山的高度MN为___m．【答案】450【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在△AMC中，由正弦定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案为：450．9．（2022·广西南宁·一模（理））2021年9月17日，搭载着3名英航天员的神舟十二号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D是垂直下落于点C，某时刻地面上点SKIPIF1<0观测点观测到点D的仰角分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0间距离为10千米（其中向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向），试估算该时刻返回舱距离地面的距离SKIPIF1<0约为___________千米（结果保留整数，参考数据：SKIPIF1<0）.【答案】SKIPIF1<0在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0千米.故答案为：SKIPIF1<010．（2022·河南安阳·高一阶段练习）某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得SKIPIF1<0，沿土坡向坡顶前进SKIPIF1<0后到达D处，测得SKIPIF1<0．已知旗杆SKIPIF1<0，土坡对于地平面的坡角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，易知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0整理可得SKIPIF1<0故选：D11．（2022·江苏·高一课时练习）当太阳光线与水平面的倾斜角为SKIPIF1<0时，一根长为SKIPIF1<0的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0作出示意图如下如，设竹竿与地面所成的角为SKIPIF1<0，影子长为SKIPIF1<0，依据正弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以要使SKIPIF1<0最大，只需SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，影子最长．答案为：SKIPIF1<0.12．（2022·全国·高一专题练习）如图，两名搬家工人要将一个大衣柜搬出房间，已知衣柜长1.5m，宽0.8m，高2.5m，房门的宽为1.2m，高为2.2m．试问此衣柜的倾斜度要在多少度以下，才能顺利通过房门？（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）【答案】SKIPIF1<0.根据题意，要顺利通过房门，只需SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故衣柜的倾斜度要在SKIPIF1<0以下，才能顺利通过房门.故答案为：SKIPIF1<0.13．（2022·全国·高三专题练习）甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东SKIPIF1<0方向的点P处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东SKIPIF1<0方向，（1）假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离．（2）若水流的速度为10海里/小时，方向向正东方向，甲船保持40海里/小时的静水速度不变，从点B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．【答案】（1）点B与点P之间的距离为SKIPIF1<0海里，（2）SKIPIF1<0.（1）两船的位置图如下：由图可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以由余弦定理可得SKIPIF1<0所以点B与点P之间的距离为SKIPIF1<0海里（2）如图，SKIPIF1<0的方向为水流的方向，SKIPIF1<0的方向为船头的方向，SKIPIF1<0的方向为实际行进的方向，其中SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值为SKIPIF1<0高频考点二：求平面几何问题例题1．（2022·广东·深圳市高级中学高二期中）如图，在三棱锥SKIPIF1<0的平面展开图中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由题意知，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，由余弦定理知，SKIPIF1<0．故选：D．例题2．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解：令SKIPIF1<0SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0,两式相除得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.故选：A例题3．（2022·四川南充·二模（文））托勒密是古希腊天文学家､地理学家､数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形SKIPIF1<0的四个顶点在同一个圆的圆周上，SKIPIF1<0是其两条对角线，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为正三角形，则四边形SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由题，设SKIPIF1<0，由托勒密定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：D.题型归类练1．（2022·江苏·高一课时练习）如图，已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D2．（2022·江苏·金陵中学高一期中）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆SKIPIF1<0的直径为2，SKIPIF1<0为直径延长线上的一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为半圆上一点，以SKIPIF1<0为一边作等边三角形SKIPIF1<0，则当线段SKIPIF1<0的长取最大值时，SKIPIF1<0（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，取等号时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：C.3．（2022·四川·攀枝花市第十五中学校高一阶段练习）在四边形ABCD中，已知M是AB边上的点，且MA＝MB＝MC＝MD＝1，∠CMD＝120°，若点N在线段CD（端点C，D除外）上运动，则SKIPIF1<0·SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．[－1，0) B．SKIPIF1<0C．[－1，1) D．SKIPIF1<0【答案】B连接MN，如图：由题意得SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝(SKIPIF1<0－SKIPIF1<0)·(SKIPIF1<0－SKIPIF1<0)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<02－SKIPIF1<02＝|SKIPIF1<0|2－1.在△MCN中，MC＝1，∠MCN＝30°，所以MN2＝12＋NC2－2×NC×1×SKIPIF1<0＝NC2－SKIPIF1<0NC＋1，所以MN2－1＝NC2－SKIPIF1<0NC＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0.由MC＝MD＝1，∠CMD＝120°，可得CD＝SKIPIF1<0，又点N在线段CD(端点C，D除外)上运动，所以0＜NC＜SKIPIF1<0.所以－SKIPIF1<0≤MN2－1＜0，即SKIPIF1<0·SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：B.4．（2022·湖北·武汉市武钢三中高一期中）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面内一点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是角平分线所以由角平分线的性质可得SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0故选：C高频考点三：三角函数与解三角形的交汇问题例题1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一期中）在锐角三角形SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A由SKIPIF1<0和余弦定理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．因为三角形SKIPIF1<0为锐角三角形，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．故选：A例题2．（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D解：由余弦定理，得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0.故选：D．例题3．（多选）（2022·广东·兴宁市沐彬中学高一阶段练习）在锐角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边，已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD因为SKIPIF1<0，由正弦定理可得：SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由正弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故选：ABD例题4．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））锐角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0的角平分线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的取值范围为_________.【答案】SKIPIF1<0由已知得，SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，由正弦定理得，SKIPIF1<0,同理可得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为锐角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0例题5．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）设锐角SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是___.【答案】SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故由正弦定理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0为锐角三角形，故可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例题6．（2022·四川成都·高一期中（理））已知SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0