新高考数学一轮复习讲练测第2章 函数与基本初等函数（测试）（解析版）

第二章函数与基本初等函数时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·贵州·高三校联考期中）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0为减函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0为增函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0为增函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0有且只有一个零点的充分条件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为函数SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0有且只有一个零点SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0没有零点SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的图像与直线SKIPIF1<0无交点，数形结合可得，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0即函数SKIPIF1<0有且只有一个零点的充要条件是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,只有选项SKIPIF1<0是函数有且只有一个零点的充分条件,故选：A3．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B.4．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）基本再生数SKIPIF1<0与世代间隔SKIPIF1<0是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是自然对数的底数）描述累计感染病例数SKIPIF1<0随时间SKIPIF1<0（单位：天）的变化规律，指数增长率SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0近似满足SKIPIF1<0.有学者基于已有数据估计出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加SKIPIF1<0倍需要的时间约为（

）（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0天 B．SKIPIF1<0天 C．SKIPIF1<0天 D．SKIPIF1<0天【答案】B【解析】把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两边取对数得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：B.5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0的部分图像如图所示，则SKIPIF1<0的解析式可能为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由图像可知SKIPIF1<0，而D选项中SKIPIF1<0，∴排除D选项；又图像不关于原点对称，∴SKIPIF1<0不是奇函数，若SKIPIF1<0，函数定义域为R，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为奇函数，排除A选项；SKIPIF1<0，是奇函数，∴排除C选项.故选：B．6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；若函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，则需当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，此时SKIPIF1<0，不合题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，此时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．综上所述，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．故选：B7．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是奇函数，SKIPIF1<0是偶函数，设函数SKIPIF1<0．若对任意SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0是奇函数，SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，以此类推，可以得到SKIPIF1<0的图象如下：由此可得，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又因为对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：B.8．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，若SKIPIF1<0为偶函数且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．2 D．4【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为周期的周期函数，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0如下表所示，则下列结论错误的是（

）xSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01234A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增【答案】ACD【解析】由表知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，A错误；SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，B正确，C错误；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不是单调递增的，D错误．故选：ACD.10．（2023·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，存在常数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0的值可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】根据图像变换法则可求得SKIPIF1<0的解析式，利用其为偶函数求出SKIPIF1<0，又由三角函数的性质可求得SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0进行赋值，与选项对比即可得出答案.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故选：AD.11．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则（

）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的单调递增区间是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】BD【解析】对于A，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在其定义域上是奇函数，则SKIPIF1<0，故A错误；对于B，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0是奇函数，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故B正确；对于C，由B可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0是奇函数，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0是奇函数，所以SKIPIF1<0，综上，不等式SKIPIF1<0，其解集为SKIPIF1<0，故C错误；对于D，由B可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，因为函数SKIPIF1<0是奇函数，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，故D正确.故选：BD.12．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0，则下列结论不正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恰有2个零点B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恰有4个零点C．若SKIPIF1<0恰有3个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0恰有2个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值，最小值为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的大致图象如图所示.由图可知，SKIPIF1<0有且仅有1个实根.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恰有1个零点，故A错误；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有3个实根，则SKIPIF1<0恰有4个零点，故B正确；由SKIPIF1<0恰有3个零点，得SKIPIF1<0恰有2个实根，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0错误；由SKIPIF1<0恰有2个零点，得SKIPIF1<0恰有1个实根，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则D错误.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集是______.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为函数SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0为奇函数，且SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0为增函数，则不等式SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以不等式的解集为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<014．（2023·河南郑州·统考模拟预测）偶函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0为偶函数，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的周期为2，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.15．（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的范围为______.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意，SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，函数单调递增，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，对称轴SKIPIF1<0，函数开口向上，∴在SKIPIF1<0处取最大值，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.16．（2023·全国·高三专题练习）对于函数SKIPIF1<0，如果存在区间SKIPIF1<0，同时满足下列条件：①SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调的；②当SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是该函数的“倍值区间”．若函数SKIPIF1<0存在“倍值区间”，则a的取值范围是______．【答案】SKIPIF1<0【解析】由函数SKIPIF1<0单调递增，且函数SKIPIF1<0存在“倍值区间”，知存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此二次函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）（2023·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．(1)画出SKIPIF1<0的图像，并直接写出SKIPIF1<0的值域；(2)若不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象如图：由图可知，函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0.（2）若不等式SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.18．（12分）（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数SKIPIF1<0的解析式．(1)已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的解析式为__________．(2)已知SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的解析式．(3)已知SKIPIF1<0，对任意的实数x，y都有SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的解析式．【解析】（1）方法一（换元法）：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0．方法二（配凑法）：SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0．（2）将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．（3）令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．19．（12分）（2023·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0是偶函数.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的解析式；(2)若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调，求实数a的取值范围；(3)已知SKIPIF1<0，试讨论SKIPIF1<0的零点个数，并求对应的m的取值范围.【解析】（1）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0为偶函数∴SKIPIF1<0综上，有SKIPIF1<0（2）由（1）作出SKIPIF1<0的图像如图：因为函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上具有单调性，由图可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；故实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（3）由（1）作出SKIPIF1<0的图像如图：由图像可知：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有两个零点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有四个零点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有六个零点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有三个零点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0没有零点.20．（12分）（2023·上海杨浦·统考一模）企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为I（x）万元．两者满足关系：SKIPIF1<0(1)甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值；(2)乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大；（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变）(3)由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益、因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调整，最终双方达到动态平衡（在对方当前产量不变的情况下，已方达到利润最大）求动态平衡时，两企业各自的产量和利润分别是多少．【解析】（1）设利润为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0所以，产量为45万台时，甲企业获利最大为1965万元．（2）设乙企业产量为x万台，此时甲依旧按照45万台产量生产对于乙企业，每万台产品的销售收入为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以乙企业产量为22.5万台，获得利润最大．（3）假设达到动态平衡时，甲企业产量a万台，乙企业产量b万台．甲企业：SKIPIF1<0SKIPIF1<0

当SKIPIF1<0时利润最大乙企业SKIPIF1<0SKIPIF1<0

当SKIPIF1<0时利润最大．联立，解得SKIPIF1<0时达到动态平衡．此时利润分别为：甲企业840万元，乙企业860万元．21．（12分）（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的周期函数，周期SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）是奇函数．又已知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是一次函数，在SKIPIF1<0上是二次函数，且在SKIPIF1<0时函数取得最小值SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的解析式；(3)求SKIPIF1<0在[4，9]上的解析式．【解析】（1）证明：∵f(x)是以SKIPIF1<0为周期的周期函数，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0是奇函数，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（2）当SKIPIF1<0时，由题意可设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（3）根据（2）中所求，可知SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是奇函数，故SKIPIF1<0