新高考数学一轮复习讲练测第3章 一元函数的导数及其应用（测试）（解析版）

第三章一元函数的导数及其应用（测试）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】B【解析】由题意知SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故选：B2．（2023·四川凉山·三模）已知函数SKIPIF1<0的导函数SKIPIF1<0，若1不是函数SKIPIF1<0的极值点，则实数a的值为（

）．A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】由题意可知SKIPIF1<0，若1不是函数SKIPIF1<0的极值点，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极值点，1不是极值点，故SKIPIF1<0满足题意，故选：D3．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则（

）A．函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称 B．函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称C．函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称 D．函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称【答案】D【解析】由SKIPIF1<0，可知函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称；对SKIPIF1<0求导，得SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，所以ABC错误，D正确.故选：D．4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设切点坐标为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以切线的斜率SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.5．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知函数SKIPIF1<0存在减区间，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题可知SKIPIF1<0,因为函数SKIPIF1<0存在减区间,则SKIPIF1<0有解,即SKIPIF1<0有解,令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0;令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减,SKIPIF1<0单调递增,所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0有解,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故选:D.6．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】令函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒成立，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；综上：SKIPIF1<0.故选：C7．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）英国数学家布鲁克·泰勒（BrookTaylor，1685.8~1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数SKIPIF1<0在包含SKIPIF1<0的某个开区间SKIPIF1<0上具有SKIPIF1<0阶导数，那么对于SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，若取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时称该式为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的SKIPIF1<0阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则运用上面的想法求SKIPIF1<0的近似值为（

）A．0.50 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．0.56【答案】B【解析】由三角恒等变换的公式，化简得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.8．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则正实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0不恒为零，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，又因为SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0为奇函数，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，所以，SKIPIF1<0.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，则下列直线中可能与SKIPIF1<0垂直的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AB【解析】SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，设与SKIPIF1<0垂直的直线的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：AB．10．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设函数SKIPIF1<0在R上存在导函数SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数a的可能取值为（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．1 D．2【答案】AB【解析】SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0在R上单调递增，∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故A、B正确，C、D错误.故选：AB．11．（2023·湖南永州·统考一模）对于函数SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0有极大值，没有极小值B．SKIPIF1<0有极小值，没有极大值C．函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有两个交点D．函数SKIPIF1<0有两个零点【答案】AD【解析】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立.所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误；根据SKIPIF1<0的单调性，画出函数SKIPIF1<0图像，以及SKIPIF1<0的图象，如图：由此可知，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象只有一个交点，故C错误；函数SKIPIF1<0有两个零点等价于函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图像有两个交点，如下图所示：由此可知，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图像有两个交点，即函数SKIPIF1<0有两个零点；故D正确.故选：AD.12．（2023·全国·模拟预测）设函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，则满足条件的正整数SKIPIF1<0可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】ABC【解析】若SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0恒成立，构建SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则有：当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0符合题意，故满足条件的正整数SKIPIF1<0为1或2；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，构建SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，故满足SKIPIF1<0的整数SKIPIF1<0；综上所述：符合条件的整数SKIPIF1<0为1或2或3，A、B、C正确，D错误.故选：ABC.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2023·四川成都·成都七中校考一模）函数SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0处的切线方程为________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<014．（2023·广东佛山·校考模拟预测）写出一个同时具备下列性质①②③的函数SKIPIF1<0______.①定义城为SKIPIF1<0，②导函数SKIPIF1<0；③值域为SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【解析】取SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定义城为SKIPIF1<0，符合①；SKIPIF1<0，符合②；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，符合③.故答案为：SKIPIF1<0（答案不唯一）15．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恰有两个极值点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是_________.【答案】SKIPIF1<0【解析】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为连续函数，SKIPIF1<0为单调函数，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上无极值点；又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上至多有一个极值点，则SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0恰有两个极值点，∴SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是必为SKIPIF1<0的两个极值点，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极大值点，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，要使SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的极值点，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，∴SKIPIF1<0；综上所述：实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.16．（2023·河北·校联考三模）已知SKIPIF1<0分别是函数SKIPIF1<0图象上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0反解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互为反函数，关于SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0的最小值为点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最小值的2倍，当曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与SKIPIF1<0平行时，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离有最小值，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）（2023·四川成都·成都七中校考一模）设函数SKIPIF1<0，(1)求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最值．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的关系如下表：SKIPIF1<00SKIPIF1<01SKIPIF1<02SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0单调递增极大值SKIPIF1<0单调递减SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．18．（12分）（2023·北京西城·统考一模）已知函数SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；(3)判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系，并加以证明．【解析】（1）SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

所以曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0．（2）由题设，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．

当SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．

所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．（3）SKIPIF1<0．证明如下：

设SKIPIF1<0．

则SKIPIF1<0．

由（2）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0．

所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．

所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．19．（12分）（2023·全国·高三专题练习）为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产SKIPIF1<0万件，需另投入流动成本SKIPIF1<0万元.已知在年产量不足4万件时，SKIPIF1<0，在年产量不小于4万件时，SKIPIF1<0.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.(1)写出年利润SKIPIF1<0（万元）关于年产量SKIPIF1<0（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.）(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？【解析】（1）由题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.易得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号.综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.20．（12分）（2023·江西宜春·校联考模拟预测）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且a、b为函数SKIPIF1<0的极值点SKIPIF1<0(1)判断函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的单调性，并证明你的结论；(2)若曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0，且方程SKIPIF1<0有两个不等的实根，求实数m的取值范围.【解析】（1）依题设方程SKIPIF1<0，即方程SKIPIF1<0的两根分别为a、b∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增.（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当x在SKIPIF1<0上变化时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的变化情况如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<00++0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0极小值SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0极大值SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0的大致图象如图,∴方程SKIPIF1<0有两个不等根时，转化为直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0的图象有两交点，则SKIPIF1<0.

21．（12分）（2023·广西南宁·统考一模）SKIPIF1<0，(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)当SKIPIF1<0时，证明SKIPIF1<0；(3)证明对于任意正整数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；②若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.综上所述，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.（2）当SKIPIF1<0时，由（1）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0.（3）由（2）知当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，对于任意正整数SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1