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文档简介
重庆第十一中学2025届高考适应性考试数学试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,平面ABCD,ABCD为正方形,且,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为()A. B. C. D.2.已知命题p:“”是“”的充要条件;,,则()A.为真命题 B.为真命题C.为真命题 D.为假命题3.已知复数为虚数单位),则z的虚部为()A.2 B. C.4 D.4.在平面直角坐标系中,已知是圆上两个动点,且满足,设到直线的距离之和的最大值为,若数列的前项和恒成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.5.已知函数,,若成立,则的最小值是()A. B. C. D.6.已知复数,则对应的点在复平面内位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限7.设点,,不共线,则“”是“”()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件8.的展开式中的项的系数为()A.120 B.80 C.60 D.409.已知,,分别为内角,,的对边,,,的面积为,则()A. B.4 C.5 D.10.如图,正三棱柱各条棱的长度均相等,为的中点,分别是线段和线段的动点(含端点),且满足,当运动时,下列结论中不正确的是A.在内总存在与平面平行的线段B.平面平面C.三棱锥的体积为定值D.可能为直角三角形11.己知四棱锥中,四边形为等腰梯形,,,是等边三角形,且;若点在四棱锥的外接球面上运动,记点到平面的距离为,若平面平面,则的最大值为()A. B.C. D.12.过椭圆的左焦点的直线过的上顶点,且与椭圆相交于另一点,点在轴上的射影为,若,是坐标原点,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知抛物线,点为抛物线上一动点,过点作圆的切线,切点分别为,则线段长度的取值范围为__________.14.若实数,满足不等式组,则的最小值为______.15.若,则=____,=___.16.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,,,,则该四面体的外接球的体积为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知分别是椭圆的左、右焦点,直线与交于两点,,且.(1)求的方程;(2)已知点是上的任意一点,不经过原点的直线与交于两点,直线的斜率都存在,且,求的值.18.(12分)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知等差数列的公差为,等差数列的公差为.设分别是数列的前项和,且,,(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.19.(12分)已知椭圆的短轴的两个端点分别为、,焦距为.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线与椭圆有两个不同的交点、,设为直线上一点,且直线、的斜率的积为.证明:点在轴上.20.(12分)如图,在三棱锥中,,,,平面平面,、分别为、中点.(1)求证:;(2)求二面角的大小.21.(12分)已知,且满足,证明:.22.(10分)等差数列的前项和为,已知,.(Ⅰ)求数列的通项公式及前项和为;(Ⅱ)设为数列的前项的和,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值.【详解】由题可知,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设.则.故异面直线EF与BD所成角的余弦值为.故选:C【点睛】本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2、B【解析】
由的单调性,可判断p是真命题;分类讨论打开绝对值,可得q是假命题,依次分析即得解【详解】由函数是R上的增函数,知命题p是真命题.对于命题q,当,即时,;当,即时,,由,得,无解,因此命题q是假命题.所以为假命题,A错误;为真命题,B正确;为假命题,C错误;为真命题,D错误.故选:B【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词,考查了学生逻辑推理,分类讨论,数学运算的能力,属于中档题.3、A【解析】
对复数进行乘法运算,并计算得到,从而得到虚部为2.【详解】因为,所以z的虚部为2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念,计算过程要注意.4、B【解析】
由于到直线的距离和等于中点到此直线距离的二倍,所以只需求中点到此直线距离的最大值即可。再得到中点的轨迹是圆,再通过此圆的圆心到直线距离,半径和中点到此直线距离的最大值的关系可以求出。再通过裂项的方法求的前项和,即可通过不等式来求解的取值范围.【详解】由,得,.设线段的中点,则,在圆上,到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍,点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和,而圆的圆心到直线的距离为,,,..故选:【点睛】本题考查了向量数量积,点到直线的距离,数列求和等知识,是一道不错的综合题.5、A【解析】分析:设,则,把用表示,然后令,由导数求得的最小值.详解:设,则,,,∴,令,则,,∴是上的增函数,又,∴当时,,当时,,即在上单调递减,在上单调递增,是极小值也是最小值,,∴的最小值是.故选A.点睛:本题易错选B,利用导数法求函数的最值,解题时学生可能不会将其中求的最小值问题,通过构造新函数,转化为求函数的最小值问题,另外通过二次求导,确定函数的单调区间也很容易出错.6、A【解析】
利用复数除法运算化简,由此求得对应点所在象限.【详解】依题意,对应点为,在第一象限.故选A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算,考查复数对应点的坐标所在象限,属于基础题.7、C【解析】
利用向量垂直的表示、向量数量积的运算,结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由于点,,不共线,则“”;故“”是“”的充分必要条件.故选:C.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查向量垂直的表示,考查向量数量积的运算,属于基础题.8、A【解析】
化简得到,再利用二项式定理展开得到答案.【详解】展开式中的项为.故选:【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力.9、D【解析】
由正弦定理可知,从而可求出.通过可求出,结合余弦定理即可求出的值.【详解】解:,即,即.,则.,解得.,故选:D.【点睛】本题考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角形的面积公式,考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件,得到角的正弦值余弦值.10、D【解析】
A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交,则交线与平面ABC平行;B项利用线面垂直的判定定理;C项三棱锥与三棱锥体积相等,三棱锥的底面积是定值,高也是定值,则体积是定值;D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.【详解】A项,用平行于平面ABC的平面截平面MND,则交线平行于平面ABC,故正确;B项,如图:当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面,故正确;C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确;D项,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误.故选D【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力,意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用,是中档题.11、A【解析】
根据平面平面,四边形为等腰梯形,则球心在过的中点的面的垂线上,又是等边三角形,所以球心也在过的外心面的垂线上,从而找到球心,再根据已知量求解即可.【详解】依题意如图所示:取的中点,则是等腰梯形外接圆的圆心,取是的外心,作平面平面,则是四棱锥的外接球球心,且,设四棱锥的外接球半径为,则,而,所以,故选:A.【点睛】本题考查组合体、球,还考查空间想象能力以及数形结合的思想,属于难题.12、D【解析】
求得点的坐标,由,得出,利用向量的坐标运算得出点的坐标,代入椭圆的方程,可得出关于、、的齐次等式,进而可求得椭圆的离心率.【详解】由题意可得、.由,得,则,即.而,所以,所以点.因为点在椭圆上,则,整理可得,所以,所以.即椭圆的离心率为故选:D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解,解答的关键就是要得出、、的齐次等式,充分利用点在椭圆上这一条件,围绕求点的坐标来求解,考查计算能力,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
连接,易得,可得四边形的面积为,从而可得,进而求出的取值范围,可求得的范围.【详解】如图,连接,易得,所以四边形的面积为,且四边形的面积为三角形面积的两倍,所以,所以,当最小时,最小,设点,则,所以当时,,则,当点的横坐标时,,此时,因为随着的增大而增大,所以的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用,考查抛物线上的动点到定点的距离的求法,考查学生的计算求解能力,属于中档题.14、5【解析】
根据题意,画出图像,数形结合,将目标转化为求动直线纵截距的最值,即可求解【详解】画出不等式组,表示的平面区域如图阴影区域所示,令,则.分析知,当,时,取得最小值,且.【点睛】本题考查线性规划问题,属于基础题15、12821【解析】
令,求得的值.利用展开式的通项公式,求得的值.【详解】令,得.展开式的通项公式为,当时,为,即.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式,考查赋值法求解二项式系数有关问题,属于基础题.16、【解析】
将四面体补充为长宽高分别为的长方体,体对角线即为外接球的直径,从而得解.【详解】采用补体法,由空间点坐标可知,该四面体的四个顶点在一个长方体上,该长方体的长宽高分别为,长方体的外接球即为该四面体的外接球,外接球的直径即为长方体的体对角线,所以球半径为,体积为.【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法:补体法,通过补体得到长方体的外接球从而得解,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)不妨设,,计算得到,根据面积得到,计算得到答案.(2)设,,,联立方程利用韦达定理得到,,代入化简计算得到答案.【详解】(1)由题意不妨设,,则,.∵,∴,∴.又,∴,∴,,故的方程为.(2)设,,,则.∵,∴,设直线的方程为,联立整理得.∵在上,∴,∴上式可化为.∴,,,∴,,∴.∴.【点睛】本题考查了椭圆方程,定值问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18、(1);(2)【解析】
方案一:(1)根据等差数列的通项公式及前n项和公式列方程组,求出和,从而写出数列的通项公式;(2)由第(1)题的结论,写出数列的通项,采用分组求和、等比求和公式以及裂项相消法,求出数列的前项和.其余两个方案与方案一的解法相近似.【详解】解:方案一:(1)∵数列都是等差数列,且,,解得,综上(2)由(1)得:方案二:(1)∵数列都是等差数列,且,解得,.综上,(2)同方案一方案三:(1)∵数列都是等差数列,且.,解得,,.综上,(2)同方案一【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式的应用,考查了分组求和、等比求和及裂项相消法求数列的前n项和,属于中档题.19、(1);(2)见解析.【解析】
(1)由已知条件得出、的值,进而可得出的值,由此可求得椭圆的方程;(2)设点,可得,且,,求出直线的斜率,进而可求得直线与的方程,将直线直线与的方程联立,求出点的坐标,即可证得结论.【详解】(1)由题设,得,所以,即.故椭圆的方程为;(2)设,则,,.所以直线的斜率为,因为直线、的斜率的积为,所以直线的斜率为.直线的方程为,直线的方程为.联立,解得点的纵坐标为.因为点在椭圆上,所以,则,所以点在轴上.【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了点在定直线的证明,考查计算能力与推理能力,属于中等题.20、(1)证明见解析;(2)60°.【解析】试题分析:(1)连结PD,由题意可得,则AB⊥平面PDE,;(2)法一:结合几何关系做出二面角的平面角,计算可得其正切值为,故二面角的大小为;法二:以D为原点建立空间直角坐标系,计算可得平面PBE的法向量.平面PAB的
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