上海市上海中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

上海中学2024学年第一学期高三年级数学期中2024.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1.若集合,则.

2.已知全集,集合.若,则实数的取值范围是.

3.已知幂函数的图像过点,则的定义域为.

4.若函数是偶函数,则.

5.已知,则的最小值为.

6.已知函数:则不等式的解集为.

7.设都是正实数,则""是""的条件.

8.已知函数在上是减函数,则实数的取值范围是.

9.已知当时,不等式恒成立,则的取值范围为.

10.已知函数,当时，,若在区间内有两个不同的零点,则实数的取值范围是.

11.设均为实数,关于的方程在区间上有解,则的取值范围是.12.设,记,则它的最大值和最小值的差为.

二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题4分，第15-16题5分）

13.若,则下列不等式恒成立的是（）.

A.B.C.D.

14.已知函数是上的严格增函数,则实数的取值范围是（）.

A.B.C.D.

15.若是方程的两相异实根,则有（）.

A.B.C.D.

16.已知定义在上的函数的导数满足,给出两个命题:

（1）对任意,都有;

（2）若的值域为,则对任意都有.则下列判断正确的是（）.

A.(1)(2)都是假命题B.(1)(2)都是真命题

C.(1)是假命题,(2)是真命题D.(1)是真命题，(2)是假命题

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.(本题满分14分)已知三个集合:,.

（1）求;

（2）已知,求实数的取值范围.

18.(本题满分14分)记函数的定义域为的定义域为.

（1）求集合;

（2）若,求的取值范围.

19.（本题满分14分）某个体户计划经销两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，在经销商品中所获得的收益分别为万元与万元，其中.已知投资额为零时,收益为零.

（1）试求出的值;

（2）如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值.（精确到0.1万元）

20.(本题满分18分)已知函数.

（1）若,求的最大值;

（2）若，求关于的不等式的解集；

（3）记，对于给定的实数，若存在满足，求的取值范围.

21.（本题满分18分）若定义在上的函数和分别存在导函数和.且对任意均有，则称函数是函数的"导控函数".我们将满足方程的称为"导控点"

（1）试问函数是否为函数的"导控函数"?

（2）若函数是函数的"导控函数"，且函数是函数的"导控函数",求出所有的"导控点";

（3）若，函数为偶函数，函数是函数的"导控函数"，求证："的充要条件是"存在常数使得恒成立。".

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.充分不必要;8.;9.;10.；11.12.11.设均为实数,关于的方程在区间上有解,则的取值范围是.【答案】【解析】在区间上有零点,在区间上有解,在区间上有解,令,或,即或,

①当时,画出关于的约束条件,如图所示

则表示到可行域内点的距离,当此时为最小值,即,

②当时,画出关于的约束条件,如图所示,此时,综上所述,故答案为:.12.设,记,则它的最大值和最小值的差为.【答案】【解析】解因为当或时等号成立,所以的最大值为1.

令,则下证所以,从而,

当时等号成立,所以的最小值为.二、选择题13.D14.15.D16.B15.若是方程的两相异实根,则有（）.

A.B.C.D.

【答案】D【解析】若取,则方程为,解得都错；由题意可知,,则,由韦达定理可得,

所以与的大小关系不确定，C错；所以对.故选：D.16.已知定义在上的函数的导数满足,给出两个命题:

（1）对任意,都有;

（2）若的值域为,则对任意都有.则下列判断正确的是（）.

A.(1)(2)都是假命题B.(1)(2)都是真命题

C.(1)是假命题,(2)是真命题D.(1)是真命题，(2)是假命题【答案】B【解析】对于(1),设,在上递增,

设,递减,递增,,故(1)是真命题;

对于(2),由(1)得,单调递增,,当时,,任取，由(1)得:对任意的,都有,故(2)是真命题.故选：B.三．解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）A投3万元，B投2万元可获得12.6万元的最大收益20.(本题满分18分)已知函数.

（1）若,求的最大值;

（2）若，求关于的不等式的解集；

（3）记，对于给定的实数，若存在满足，求的取值范围.【答案】（1）（2）若,解集为;若,解集为;若,解集为.（3）【解析】（1）因为,可知的定义域为,此时,

若,则,,可得,

令,则,当且仅当时,等号成立,所以的最大值为.

（2）若,则,对于,即,

令,则,若,则,可得,解得,可得；

若,则,可得,解得,可得且;

若,则,可得,解得或,可得或;

综上所述:若,解集为;若,解集为;若,解集为.

（3）因为由题意可知:的最小值,

令,则,取,则,即,解得;

若,则,可得因为在内单调递增,在内单调递可知的最小值为或,且,符合题意;

若,则,可得,可知的最小值为0,符合题意;

若,则,可得因为在内单调递增,在内单调递减,

可知的最小值为或,且,符合题意；

综上所述:的取值范围为.21.（本题满分18分）若定义在上的函数和分别存在导函数和.且对任意均有，则称函数是函数的"导控函数".我们将满足方程的称为"导控点"

（1）试问函数是否为函数的"导控函数"?

（2）若函数是函数的"导控函数"，且函数是函数的"导控函数",求出所有的"导控点";

（3）若，函数为偶函数，函数是函数的"导控函数"，求证："的充要条件是"存在常数使得恒成立。".【答案】（1）是（2）2（3）见解析【解析】（1）因为,所以函数是函数的"导控函数"；

（2）由题意可知:恒成立,令,则,