2024届上海长宁区高三一模数学试题及答案

2023学年第一学期高三数学教学质量调研试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合A,4，B7AB.11i2.zz（iz.13.不等式1的解集为.x4.设向量a2，bma//bm.5.将4个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则共有种不同排法.6.物体位移s和时间t满足函数关系stt0t20t22.7．现利用随机数表法从编号为00，0102，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为.952260004984012892580956438908906617516806482834396829275974145843772366270966232977814964608925I8.在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标其值y（单位：）定义为y10.其中I为声I0场中某点的声强度，其单位为W/m2，.I120W/m为基准值若IW/m2，则其相应的声强级为2.9.若向量a2，ba在b方向上的投影向量为_______．10．若“x0，使得x10”是假命题，则实数a的取值范围2．36若函数fxsinxax在,上是严格单调函数，则实数a的取值范围为.12.设fxlog2xba0yfx在区间t,t1t0上的最大值为Ma,bt意bR，都有Mta,ba1，则实数的最大值为t.第1页共页二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）.A.fx2x；fxx2；fxx；D.fxex.14“PABPAPB”“A与事件B互相独立（）.A．充分不必要条件；．充要条件；B．必要不充分条件；D．既不充分也不必要条件.15.PP1,00230后到达点1P.P的横坐标为，22451的纵坐标（.2232572A．；B．；．；D．.516.豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐.将三角形豆腐悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T.若忽略三角形豆腐AB3，4,5P在△内部假设对于任意点P1QTT内任意一点QP，1T的体积为（）.22π322π3A.7π；B.12；C.7π；D.14.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．1714分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知等差数列an项和为Sn，公差d2.n（110a的通项公式；n6（2）从集合a,a,a,a,a,a中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件A，求事件A发12345生的概率PA.第2页共页1814分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.如图，在三棱锥ABCD中，平面，，O为的中点．（1）求证：；（2，，AOBO，求异面直线BC与所成的角的大小．1914分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）..1，某汽车四轮中心分别为ABD，向左转向，左前轮转向角为O.设该汽车左右轮距AB为w米，前后轴距AD为l.（1）试用w、l和tan；（2）如图2，有一直角弯道，M为内直角顶点，为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮AD与路边2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角的值始终为30；②设转向中心O到路边的距离为d，若OBd且OMOD，则汽车可以通过，否则不能通过；③w1.570，l2.680.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？图1图2第3页共页2018分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.2y2x已知椭圆：1，F、F为的左、右焦点，点A在上，直线lC:x122y2.242（）求△AFF的周长；122）若直线l的右顶点，求直线l的方程；3）设点D在直线y2O为原点，若，求证：直线C.2118分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.fx与ygx满足：对任意，都有fxfxgxgx，则称函数若函数y1,x2R1212yfx是函数ygx“约束函数已知函数yfx是函数ygx的“约束函数”.（1fxx2，判断函数ygx的奇偶性，并说明理由；3（2fxxa0，gxsinx，求实数a的取值范围；（3ygx为严格减函数，f0f1，且函数yfx的图像是连续曲线，求证：yfx是上的严格增函数.第4页共页参考答案和评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．21.32.3.4.；5.12；6.80；23137．；8.130；9.；．,312..3fxxax，0，所以yfx在f,上是严格减函数，363636当x,xax0恒成立，所以1ax0在,上恒成立，33因为我x,3是，所以a33312解：设ulog2xaxb，x，所以tbutatbt,t1222Ma,btb,t1at1bt2t1at1blog2tatbblog2tatt1at1b222log2log2tbt1at1blog2t1log2t2a12213得0t二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.A14.C15.D；16.B16解：该几何体由一下几部分组成：一个底面与平行高为215的三个圆柱；一个半径为1的球.3、、43所以该几何体的体积为6234523第5页共页三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．1714分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知等差数列an项和为Sn，公差d2.n（110100a的通项公式；n6（2）从集合a,a,a,a,a,a中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件A，求事件A发12345生的概率PA.121）因为Sn1nn1d，所以S10a90100，……..2分101得11，…….4分.n1n1dn1…….6分（2）随机实验样本空间中样本点的个数为63，……..3分A所含样本点分两类，公差为d4个，公差为2d2……..6分…….8分63所以事件A发生的概率PA.20101814分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD，，O为的中点．（1）求证：CD；（2，，AOBO，求异面直线与所成的角的大小．（1）证明：因为，O为的中点，，…….2分因为平面ABD，，…….4分CD，所以AHCD.（2）由（1，…….6分作，因为，所以OEBD，进而可以、OD、分别为x轴、yz…..3分，，所以可设A0,0,a，B,0，D,0，C,,0，…..6分2a,2a,0，a,a设异面直线与所成的角为，第6页共页nn112则cos，所以……8分2nn121914分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图，某汽车四轮中心分别为AD，向左转向，左前轮转向角为O.设该汽车左右轮距AB为w米，前后轴距AD为l.（1）试用w、l和tan；（2）如图2，有一直角弯道，M为内直角顶点，为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮AD与路边2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角的值始终为30；②设转向中心O到路边的距离为d，若OBd且OMOD，则汽车可以通过，否则不能通过；③w1.570，l2.680.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？1）由已知，，…….2分llOD，w……..4分tantanltan.……..6分lwtan（2和分别为xy轴建立坐标系，l则M.l4.642，tan2l2lw6.766，……..2分设O,bab0，a6.642，dl2b，……..4分a22b2，b第7页共页2由OMODb，进而6.917b0.83，由OBdb6.766…….6分所以当6.917b6.765OBd且OMOD，此时汽车可以通过弯道.答：选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道.…….8分2018分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.2y2x已知椭圆：1，F、F为的左、右焦点，点A在上，直线l与圆C:x122y2相切.242（）求△AFF的周长；122）若直线l的右顶点，求直线l的方程；3）设点D在直线y2O为原点，若OAOD，求证：直线C相切.1）设椭圆的聚焦为2c，长轴长为2a，短轴长为b，则a24，b22，所以c22，……..2分a4，FF2c221212得△AFF的周长为422.……..4分……..2分12（2）椭圆的右顶点为2,0，所以可设直线l的方程为ykx2，因为圆x2y22与直线l相切，2k2，……..4分…….6分1k222k，直线l的方程为y.x2220（3Ax,y，D,2，0OAOD，所以mx2y0，…….2分002当m00200，22xy由001y1，x2，0042方程为x2，与圆C:x2y22相切，…….4分第8页共页0202200当m0时，直线的方程为yxm2x0m0m0m200则原点O到直线的距离为d，…….6分0202m2222yxym0，001，042222y04x02x0x0x0d2．2424yx8xx22y004002020x2x0此时直线C:x2y22相切．……8分2118分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.，都有fxfxgxgx，则称函数若函数yfx与ygx满足：对任意1,2R1212yfx是函数ygx“约束函数”.已知函数yfx是函数ygx的“约束函数”.（1fxx2，判断函数ygx的奇偶性，并说明理由；3（2fxxa0，gxx，求实数a的取值范围；（3ygx为严格减函数，f0fyfxyfx是上的严格增函数.）函数ygx为偶函数.……2分因为对任意xR，都有fxfxgxgx，x0，2gxx2gx得gxgx，所以ygx为偶函数.………4分（2）解：设12是R上的严格增函数，所以fxfx，yfx12fx，1g1gxfx22gxfxgx，1122f1gxfxgx，fx122第9页共页fxgx，设uxfxgx，vx与yvxR上的严格增函数，则