2024学年珠海市高二数学上学期期中联考试卷附答案解析

学年珠海市高二数学上学期期中联考试卷一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．样本数据45，50，51，53，53，57，60的下四分位数为（

）A．50 B．53 C．57 D．453．对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（

）A． B．C． D．4．已知组数据，，…，的平均数为2,方差为5,则数据2+1，2+1，…，2+1的平均数与方差分别为（

）A．=4,=10 B．=5,=11C．=5,=20 D．=5,=215．从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为（

）A． B． C． D．6．已知向量，，，若，，共面，则（

）A．4 B．2 C．3 D．17．已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（

）A． B． C． D．8．已知直线经过定点，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（

）A．B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（

）A．平均数为3 B．标准差为C．众数为2 D．85%分位数为510．有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（

）A． B．与相互独立C．与相互独立 D．与相互独立11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（

）A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．在空间直角坐标系为坐标原点）中，点关于轴的对称点为点，则点的坐标为.13．某校学生志愿者协会共有200名成员，其中高一学生100名，高二学生60名，高三学生40名.为了解志愿者的服务意愿，需要用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则高三学生应抽取名.14．如图，电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为，，则该电路正常工作的概率.

四、解答题（本大题共5小题）15．已知.(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值.16．连续抛掷一枚均匀的骰子2次，试求下列事件的概率：(1)第一次掷出的点数恰好比第二次的大3；(2)第一次掷出的点数比第二次的大；(3)2次掷出的点数均为偶数．17．的三个顶点是，，，求：（1）边BC上的中线所在直线的方程；（2）边BC上的高所在直线的方程；（3）边BC的垂直平分线的方程．18．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记．（1）求MN的长；（2）a为何值时，MN的长最小？（3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．19．随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮．为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了个区间：、、、、、，整理得到如下频率分布直方图：(1)求图1中的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；(2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为、的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为：、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明：①；②．参考答案1．【答案】D【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角.【详解】设斜率为，倾斜角为，∵，，，∴.故选D.2．【答案】A.【分析】根据百分位数的概念即可求解.【详解】由这组数据共7个，则，所以这组数据的下四分位数为第2个数据50.故选A．3．【答案】B【详解】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确；B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确；D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确.故选：B4．【答案】C【详解】根据题意，数据，，，的平均数为2，方差为5，则数据，，，的平均数，其方差；故选．5．【答案】B【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人的基本事件有：（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），（乙、丙），（乙、丁），（乙、戊），（丙、丁），（丙、戊），（丁、戊），共10种，甲被选中的基本事件有：（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），共4种，所以甲被选中的概率为，故选：B.6．【答案】D【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得，即，即，解得.故选：D7．【答案】B【分析】根据投影向量概念求解即可.【详解】因为空间向量，，所以则在上的投影向量坐标是：故选：B8．【答案】C【详解】

由题设有，而直线与连接两点的线段总有公共点，故或，故选：C.9．【答案】AD【分析】根据平均数、方差、众数和百分位数的概念与计算方法，逐项判定，即可求解.【详解】由平均数的计算公式，可得，所以A正确；由方程的公式，可得，所以标准差为，所以B错误；由众数的定义，可得数据的众数为2和3，所以C错误；将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，可得，所以第85百分位数为5，所以D正确.故选：AD.10．【答案】ACD【分析】对A：借助独立事件乘法公式计算即可得；对B：借助相互独立事件定义，分别计算出、、后，验证是否满足即可得，C、D同理.【详解】对A：，故A正确；对B：，，则，故与不相互独立，故B错误；对C：，，则，故与相互独立，故C正确；对D：，则，故与相互独立，故D正确；故选ACD.11．【答案】ABD【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.【详解】在选项A中，因为，，，且平面，所以平面，平面，所以，同理，，因为，且平面，所以直线平面，故A正确；在选项B中，因为，平面，平面，所以平面，因为点在线段上运动，所以到平面的距离为定值，又的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；在选项C中，因为，所以异面直线与所成角为直线与直线的夹角.易知为等边三角形，当为的中点时，；当与点或重合时，直线与直线的夹角为，故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则，，，，所以，.由A选项正确：可知是平面的一个法向量，所以直线与平面所成角的正弦值为：，所以当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.故选ABD.12．【答案】【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为.故答案为：.13．【答案】10【详解】根据分层抽样定义及性质,设高三学生应抽取名，.故答案为：10.14．【答案】0.672/【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率计算公式即可得到答案.【详解】由题意，电路能正常工作的条件是：必须正常工作，，至少有一个正常工作，所以电路能正常工作的概率为，故答案为：.15．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根据空间平行向量的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式进行求解即可；（2）根据空间向量互相垂直的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式、数量积的坐标表示公式进行求解即可；（1），若，则，即，解得；（2），若，则，即，化简可得，解得或.16．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，一共有以下情况：，共36种情况，其中第一次掷出的点数恰好比第二次的大3的情况有，共3种情况，故第一次掷出的点数恰好比第二次的大3的概率为；（2）第一次掷出的点数比第二次的大的情况有，共15种情况，故第一次掷出的点数比第二次的大的概率为；（3）2次掷出的点数均为偶数的情况有，共9种情况，故2次掷出的点数均为偶数的概率为.17．【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）BC的中点坐标为则边BC上的中线所在直线的方程为；（2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过，则边BC上的高所在直线的方程为；（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，则边BC的垂直平分线的方程为.18．【答案】（1）；（2）时，最小，最小值为；（3）【分析】以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求得、、、、、的坐标．（1）直接由两点间的距离公式可得；（2）把（1）中求得利用配方法求最值；（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，求出、的坐标，取的中点，连接，，可得的坐标，连接，，得到是平面与平面的夹角或其补角，再由与的夹角求解．【详解】解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，．（1）；（2），当时，最小，最小值为；（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，则，0，，，，，取的中点，连接，，则，，，，，，，是平面与平面的夹角或其补角．，，．平面与平面夹角的余弦值是．19．【答案】(1)，众数是(2)，(3)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）利用频率分布直方图中