2024学年福建师大附中高二数学上学期期中考试卷附答案解析

学年福建师大附中高二数学上学期期中考试卷时间：120分钟满分：150分试卷说明：（1）本卷共四大题，19小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷.（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过点，倾斜角是的直线方程是（）A. B.C. D.2.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.3.在圆的所有经过坐标原点的弦中，最短的弦的长度为（）A.1 B.2 C. D.44.如图，在直三棱柱中，，，点是线段上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.5.已知实数满足，则的最大值是（）A. B. C. D.6.光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（）A. B.C. D.7.若直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（）A.B.C. D.8.设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆，则下列说法正确的是（）A.当时，圆与圆有2条公切线B.当时，是圆与圆的一条公切线C.当时，圆与圆相交D.当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为10.如图，边长均为1的两个正方形和正方形所在的平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列说法正确的是（）A.，使B.线段存在最小值，最小值为C.直线与平面所成角恒为D.，都有，，共面11.平面直角坐标系中，若点，点，则称为点到点的“曼哈顿距离”.已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是（）A.若点的横坐标为，则B.的最大值是C.的最小值是2D.的最小值是Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.圆与圆交于，两点，则线段的垂直平分线的方程为____________.13.在空间直角坐标系中已知，，，为三角形边上的高，则__________．14.在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是_________.四、解答题：5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程.（1）直线与直线平行；（2）直线在两坐标轴上的截距相等.16.如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，且平面.求：（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）点A到平面的距离.17.已知圆经过两点、，且圆的圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）若点为直线：上的动点，过点作圆的切线、，切点为、，求四边形面积的最小值，并出此时点的坐标.18.如图1，在直角中，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为.（1）求证：平面平面；（2）在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.19.已知椭圆：，连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦，过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径.若椭圆的两直径的斜率之积为，则称这两直径为椭圆的共轭直径.特别地，若一条直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径.现已知椭圆：.（1）已知点，为椭圆上两定点，求的共轭直径的端点坐标.（2）过点作直线与椭圆交于､两点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.当的面积最大时，直径与直径是否共轭，请说明理由.（3）设和为椭圆的一对共轭直径，且线段的中点为.已知点满足：，若点在椭圆的外部，求的取值范围.2024学年福建师大附中高二数学上学期期中考试卷时间：120分钟满分：150分试卷说明：（1）本卷共四大题，19小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷.（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过点，倾斜角是的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解.因为所求直线的倾斜角为，可得直线的斜率为，又因为所求直线经过点，可得直线方程为.故选：B2.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定的方程及椭圆焦点位置，列出不等式求解即得.由方程表示焦点在轴上的椭圆，得，解得，所以实数的取值范围为.故选：A3.在圆的所有经过坐标原点的弦中，最短的弦的长度为（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【分析】利用配方法化简圆的方程，结合垂径定理与勾股定理，可得答案.由，则圆的标准方程为，如下图：图中，，为圆的圆心，为直线与圆的交点，易知为所有经过坐标原点的弦中的最短弦，.故选：B.4.如图，在直三棱柱中，，，点是线段上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，可以用正方体模型补形解题，通过平移找出线线所成的角度借助余弦定理解题即可.根据题意，可以补充成一个棱长为3的正方体.如图所示.取的三等分点,连接，根据正方体性质，知道.则为直线与所成角或补角.连接，.根据正方体性质，知道．在中，余弦定理知道，,则直线与所成角的余弦值为.故选：C．5.已知实数满足，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将问题转化为圆上的点与连线的斜率，利用圆的切线方程的求法可求得斜率的取值范围，进而得到最大值.由得：，点的轨迹是以2,1为圆心，为半径的圆，的几何意义为该圆上的点与连线的斜率，当过点的直线斜率不存在，即为时，与圆显然不相切；设过点的圆的切线为，即，圆心到切线的距离，解得：，，则的最大值为.故选：C.6.光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程.设点关于直线的对称点为，则，解得，故.由于反射光线所在直线经过点和，所以反射光线所在直线的方程为，即.故选：C.7.若直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据曲线即为，利用直线与圆的位置关系求解.解：曲线即为，表示以为圆心，以2为半径的半圆，其图象如图所示：由圆心到直线距离等于半径，得，解得或，当直线过点时，，因为直线与曲线有公共点，所以实数的取值范围是，故选：A8.设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，，，根据椭圆的定义及勾股定理求出、，即可求出、，再由余弦定理求出与的关系，即可求出离心率.不妨设，，，则，．又，所以，化简得，显然，所以，解得，，所以，，故，解得，故的离心率为．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆，则下列说法正确的是（）A.当时，圆与圆有2条公切线B.当时，是圆与圆的一条公切线C.当时，圆与圆相交D.当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为【答案】BD【解析】【分析】由两圆的标准方程可得它们的圆心和半径，再根据圆心距与半径的关系判断出两圆的位置关系，即可得出公切线条数，可判断AC错误；利用圆心到直线的距离与半径的关系可得B正确，将两圆方程相减可得它们的公共弦所在直线的方程为，即D正确.由可知圆心为，半径为1；由可知圆心为，半径为，两圆圆心距为；对于A，当时，，圆与圆相离，有4条公切线，所以A错误；对于B，当时，与圆相切，圆心到的距离为2，即与圆也相切，所以是圆与圆的一条公切线，即B正确；对于C，当时，，圆与圆相离，即C错误；对于D，当时，，此时两圆相交，圆的一般方程为，与圆的方程相减可得，化简可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，即D正确.故选：BD10.如图，边长均为1的两个正方形和正方形所在的平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列说法正确的是（）A.，使B.线段存在最小值，最小值为C.直线与平面所成角恒为D.，都有，，共面【答案】AD【解析】【分析】以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，用空间向量法判断各选项．由已知平面，以为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，在坐标平面上，直线的方程为，，则，在坐标平面上，直线的方程为，，则,，，易知，当时，，A正确；，所以时，，B错；平面的一个法向量是，，所以与平面所成角的正弦值为，这个值不是恒为，因此角的大小不可能恒为，C错；，，所以，，共面，D正确，故选：AD．11.平面直角坐标系中，若点，点，则称为点到点的“曼哈顿距离”.已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是（）A.若点的横坐标为，则B.的最大值是C.的最小值是2D.的最小值是【答案】ABD【解析】【分析】对于A，求出点的坐标即可判断；对于B，利用基本不等式即可判断；对于C，D，利用绝对值放缩和绝对值不等式性质应用即可判断.对于A，把代入中，可得，则，故A正确；对于B，设，则，于是，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故B正确；对于C，设点，则，当时，等号成立，即的最小值是，故C错误；对于D，设点，，，则，其中，故只需当时，取得最小值为，此时，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是对“曼哈顿距离”的理解，根据新定义，写出曼哈顿距离；关键之二是含有绝对值的式子的处理，可根据绝对值的放缩和绝对值不等式，去掉绝对值的符号再求相关最值.Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.圆与圆交于，两点，则线段的垂直平分线的方程为____________.【答案】【解析】【分析】线段的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，求出两圆圆心坐标，即可求出直线方程.圆圆心坐标为O0,0，圆化成标准方程为，圆心坐标为，两圆公共弦的垂直平分线恰为过两圆圆心的直线，由，则直线的方程为，即.故答案为：.13.在空间直角坐标系中已知，，，为三角形边上的高，则__________．【答案】3【解析】【分析】应用空间向量法求点到直线距离.，，则，，所以，故答案为：314.在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】将点到直线、的距离转化为和，可得，结合椭圆的定义可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，建立平面直角坐标系得椭圆的标准方程，根据椭圆方程和平面向量数量积坐标表示可求出结果.因为，所以，在正方体中，平面，平面，因为平面，所以，，所以，且，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，这里，，所以，，，以的中点为原点，为轴，的中垂线为轴建立平面直线坐标系，所以点的轨迹方程为，设，因为，，则，，所以，因为，，.故答案为：四、解答题：5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程.（1）直线与直线平行；（2）直线在两坐标轴上的截距相等.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由直线平行，设直线方程为，代入点可得解；（2）当直线不过坐标原点时，设直线方程为，代入点即可，，当直线过坐标原点时，可得直线方程为.【小问1详解】由已知直线与直线平行，则设直线，又直线过点，即，解得，则直线方程为，即；【小问2详解】当直线不过坐标原点时，设直线方程为，则，解得，即直线方程为，即；当直线过坐标原点时，直线方程为，即，综上所述直线方程为或.16.如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，且平面.求：（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）点A到平面的距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接建立空间直角坐标系，先求法向量，再求两法向量夹角的余弦值，再求正弦值即可；（2）直接用空间向量法求点到面的距离.【小问1详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，所以，，设平面的法向量，则，令，则，，所以，取平面法向量为，所以，故面与面夹角的余弦值为；【小问2详解】因为，平面法向量为，所以点到平面的距离.17.已知圆经过两点、，且圆的圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）若点为直线：上的动点，过点作圆的切线、，切点为、，求四边形面积的最小值，并出此时点的坐标.【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）根据圆上的两个已知点求得其对称轴，联立方程求得圆心，利用两点距离公式，可得答案；（2）根据题意，作图，结合切线的性质以及动点与直线的性质，可得答案.【小问1详解】由与，则直线的斜率，其中点坐标为，所以的对称轴为直线，易知圆心在直线上，联立，解得，则，半径，所以圆的标准方程为.【小问2详解】根据题意，作图如下：由图可知：四边形的面积为，且，，在中，，因为，所以当最小时，最小，当时，最小，此时最小，此时，，，所以四边形面积的最小值为，由直线，则其斜率，直线的斜率，则直线的方程为，整理可得，联立，解得，则.18.如图1，在直角中，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为.（1）求证：平面平面；（2）在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）或．理由见解析．【解析】【分析】（1）证明平面，由平行得证平面，再由面面垂直的判定定理得证面面垂直；（2）先证明是已知二面角的平面角，得，取中点，证明平面，然后以为原点，为轴，过平行的直线为，建立如图所示的空间直角坐标系，设，得各点坐标，求出平面的一个法向量，设，求得，再根据线面角的向量求法求线面角，从而可得结论．【小问1详解】由题意，，平面，所以平面，又因为图1中，分别是中点，所以，所以平面，而平面，所以平面平面；【小问2详解】由题意，所以是二面角的平面角，二面角的大小为.则，又由已知，所以等边三角形，取中点，连接，则，由（1）知平面，而平面，所以，，平面，所以平面，以为原点，为轴，过平行的直线为，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，,，，，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，设，，，与平面所成角的正弦值为，则，解得或．所以的值为或．19.已知椭圆：，连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦，过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径.若椭圆的两直径的斜率之积为，则称这两直径为椭圆的共轭直径.特别地，若一条直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径.现已知椭圆：.（1）已知点，为椭圆上两定点，求的共轭