数学学案：诱导公式第一课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.2。4诱导公式第一课时诱导公式(1）基础知识基本能力1．会借助单位圆的直观性探索正弦、余弦和正切的诱导公式．(难点）2．掌握角α与α＋k·2π（k∈Z）、α与－α的三角函数间的关系．(重点、易错点)能用公式解决简单的三角函数的化简、求值和有关三角函数命题的证明等问题．(重点)1．角α与α＋k·2π（k∈Z）的三角函数间的关系cos（α＋k·2π）＝cos_α，sin(α＋k·2π）＝sin_α，tan（α＋k·2π)＝tan_α.通常，称上述公式为诱导公式（一)．名师点拨我们可以根据终边相同的角的三角函数值相等来概括和理解诱导公式（一）．【自主测试1－1】(2012·江苏盐城期末)sin390°＝______。答案：eq\f（1，2）【自主测试1－2】tan405°＝__________。答案：12．角α与－α的三角函数间的关系cos（－α)＝cos_α，sin（－α)＝－sin_α，tan(－α)＝－tan_α.通常，称上述公式为诱导公式（二)．名师点拨因为α与－α角的终边关于x轴对称，故结合三角函数线可得到诱导公式(二)．【自主测试2】已知cos（12π－3）＝p,用p表示tan（－3）＝__________.解析：∵cos(12π－3）＝cos（－3)＝cos3＝p，又∵eq\f（π，2）＜3＜π，∴sin3＝eq\r(1－cos23）＝eq\r(1－p2）。∴tan（－3)＝－tan3＝－eq\f(sin3,cos3)＝－eq\f(\r（1－p2)，p)。答案：－eq\f（\r(1－p2)，p)三角函数的诱导公式（一）与诱导公式（二)的作用剖析：（1)诱导公式(一)的作用是将任意角的三角函数求值问题转化为0~2π之间角的三角函数求值问题．(2)诱导公式（二）的作用是将任意负角的三角函数求值问题转化为正角的三角函数求值问题．名师点拨在运用诱导公式时,要注意角的合理拆分．解答三角函数问题的时候,除了掌握特殊角的三角函数值外，还要能够把某些数值恰当地转化成某个特殊角的三角函数的形式，以达到简化问题的目的．如，求解sin(－300°）,可以用sin（－300°)＝－sin300°＝－sin(360°－60°）＝－sin(－60°)＝sin60°＝eq\f（\r（3)，2）；也可以用sin(－300°）＝sin(－360°＋60°）＝sin60°＝eq\f(\r(3),2）.题型一直接利用诱导公式化简、求值【例题1】求下列各三角函数式的值：(1）msineq\f(7π，2）＋ntan（－4π）＋pcoseq\f（5π,2);(2)a2sin810°＋b2tan765°＋(a2－b2)tan1125°－2abcos360°。分析：利用诱导公式(一)、（二)求值即可．解：（1)∵sineq\f（7π，2）＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3π，2）＋2π））＝sineq\f（3π，2)＝－1，tan(－4π）＝tan0＝0，coseq\f(5π，2）＝coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π,2）＋2π）)＝coseq\f（π，2）＝0，∴原式＝－m.(2）∵sin810°＝sin(90°＋2×360°）＝sin90°＝1,tan765°＝tan（45°＋2×360°)＝tan45°＝1，tan1125°＝tan(45°＋3×360°)＝tan45°＝1,cos360°＝cos0°＝1,∴原式＝a2＋b2＋a2－b2－2ab＝2a2－2ab。反思求三角函数式的值时,一般先用诱导公式（二）把负角的三角函数值转化为正角的三角函数值，再用诱导公式(一）将其转化为[0，2π)内的角的三角函数值．题型二利用诱导公式证明三角恒等式【例题2】求证:tan(2π－α)sin（－2π－α）cos（6π－α）＝sin2α。分析：解答本题可直接利用诱导公式把等式左边的式子进行化简,直到推出右边．证明:原式左边＝tan(－α)·sin（－α）·cos(－α）＝（－tanα）·（－sinα）·cosα＝sin2α＝右边．故原等式成立．反思利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用．题型三给值求值问题【例题3】已知tan（2012π－α)＝eq\f(1,3），求下列各式的值．(1）eq\f（4sinα－2cosα，5cosα＋3sinα)；(2）eq\f（2sin2α＋cos2α，sin2α－cos2α）；（3)2sin2α－eq\f（3，2)sinαcosα＋5cos2α.解：由tan（2012π－α）＝eq\f(1,3)，得tanα＝－eq\f（1，3），且cosα≠0。（1）原式＝eq\f（4tanα－2,5＋3tanα)＝eq\f(4×\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(1，3)）)－2,5＋3×\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))）)＝eq\f(－\f(10,3),4)＝－eq\f(5,6）。（2）原式＝eq\f（2tan2α＋1，tan2α－1）＝eq\f（2×\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1,3）))2＋1，\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（1，3)))2－1）＝－eq\f(11，8）。(3）原式＝eq\f（2sin2α－\f(3,2)sinαcosα＋5cos2α，sin2α＋cos2α）＝eq\f(2tan2α－\f（3，2）tanα＋5，tan2α＋1）＝eq\f（2×\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1,3）））2－\f（3，2)×\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1，3））)＋5,\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1，3)））2＋1)＝eq\f(103,20）.反思已知tanα，求关于sinα，cosα的一次、二次齐次分式时，通常采用将分式的分子、分母同除以cosα，cos2α的方法化归为关于tanα的函数式，然后求解；求关于sinα，cosα的二次齐次整式时，常将整式通过除以“1”（用sin2α＋cos2α替代1）转化为二次齐次分式,然后求解．题型四易错辨析【例题4】化简eq\f(\r(1＋2sin－θcos2π－θ)，sin－6π＋θ－cos－θ＋4π).错解：原式＝eq\f（\r（1－2sinθcosθ），sinθ－cosθ)＝eq\f（\r(sinθ－cosθ2),sinθ－cosθ）＝eq\f(sinθ－cosθ，sinθ－cosθ)＝1。错因分析:没有对sinθ－cosθ的正负进行分析，而认为eq\r(sinθ－cosθ2）＝sinθ－cosθ，其实eq\r(sinθ－cosθ2）＝|sinθ－cosθ|，如果继续化简，则需分类讨论．正解:原式＝eq\f（\r(1－2sinθcosθ),sinθ－cosθ）＝eq\f（\r（sinθ－cosθ2），sinθ－cosθ）＝eq\f（|sinθ－cosθ｜,sinθ－cosθ)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1,2kπ＋\f(π，4）<θ<2kπ＋\f（5π,4)，k∈Z，，－1，2kπ－\f(3π，4)<θ〈2kπ＋\f(π,4)，k∈Z.）)1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是(）A．α一定是锐角B．0≤α＜2πC．α一定是正角D．α是使公式有意义的任意角答案：D2．cos315°＋tan420°＋sin（－60°)＋tan(－60°）的值是（)A．eq\f(\r（2)－\r(3），2）B．eq\f(\r(2）＋\r(3），2)C．eq\f(3\r（2)－\r(3)，6)D．eq\f（3\r（2)＋\r（3），6)解析：原式＝cos（360°－45°）＋tan（360°＋60°)－sin60°－tan60°＝cos45°＋tan60°－sin60°－tan60°＝cos45°－sin60°＝eq\f(\r(2）,2）－eq\f(\r(3），2)＝eq\f(\r（2)－\r（3）,2）.答案：A3．已知函数f（x)＝asin(πx＋α）＋bcos（πx＋β），其中a，b,α，β都是非零实数,且满足f(2010)＝－1，则f（2012)等于()A．－1B．0C．1D．2解析：由已知，f（2010）＝asin（2010π＋α）＋bcos(2010π＋β）＝asinα＋bcosβ＝－1,则f(2012）＝asin（2012π＋α)＋bcos(2012π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－1。答案:A4．已知sin(2π＋α)＝log8eq\f(1，4），且α∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(π,2)，0)),则tan（2π－α)的值为（）A．－eq\f（2\r(5），5)B．eq\f（2\r（5）,5）C．±eq\f（2\r(5)，5）D．eq\f(\r（5）,2）解析：因为sin（2π＋α)＝log8eq\f（1,4)＝－eq\f（2，3）,所以sinα＝－eq\f(2,3）。而α∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（π,2),0)），所以cosα＝eq\r（1－sin2α）＝eq\f（\r（5），3）,所以tanα＝eq\f（sinα,cosα）＝－eq\f(2\r(5），5）。所以tan(2π－α）＝－tanα＝eq\f（2\r（5），5)。答案：B5．cos(－1380°）＝__________。解析：cos(－1380°）＝cos（－4×360°＋60°)＝cos60°＝e