数学课堂导学案：正切函数的图象与性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1。正切函数的图象和性质.【例1】已知函数y=tan，(1）作此函数在一个周期开区间上的简图；（2）求出此函数的定义域、周期和单调区间；（3）写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标.思路分析:解决本题的关键是利用换元法(令—=z）将问题转化到正切函数y=tanZ的图象和性质上处理，在这里体现出了化归这一重要的数学思想方法.解：（1)列表:x—…-…--…0…tan（—）-∞…-101…+∞描点作线画图：（2）∵—≠+kπ,k∈Z。∴x≠+2kπ，从而函数的定义域是{x∈R｜x≠π+2kπ，k∈Z}.函数的周期是T==2π。又∵-+kπ＜-＜+kπ，k∈Z,∴—+2kπ＜x＜π+2kπ.故函数的单调增区间是（-+2kπ，π+2kπ），k∈Z；无减区间.（3)由—=+kπ，k∈Z得x=,故函数图象的渐近线为x=π+2kπ，k∈Z；再由-=，k∈Z，得x=+kπ，故函数图象的对称中心为（+kπ，0）,k∈Z.2.正切函数图象与性质的应用【例2】求满足下面条件的x的集合tan(2x-)+3＞0。思路分析:本题可将2x-看作一个整体，利用y=tanx的图象及单调性求解.解：原不等式可化为tan（2x-）＞，设z=2x-.如下图，在（-，)上满足tanz＞的角的范围是-＜z＜,所以在整个定义域上有-+kπ＜z＜+kπ,k∈Z,即-+kπ＜2x-＜+kπ,k∈Z.解得＜x＜+，k∈Z。所以原不等式的解集是{x｜＜x＜+,k∈Z｝。温馨提示本题是运用整体换元思想与数形结合思想解决的.首先将2x—看作一个变量Z,然后结合正切函数的图象得到Z的范围，最后用2x-替换Z，解得x即可.3。对正切函数的定义域及其单调区间的理解.【例3】若A=｛x｜tanx＞0｝，B=｛x｜≥0｝,试求A∩B.解：由B得∴tanx≥。∴A∩B=｛x｜tanx≥｝,而正切函数在每一个区间（kπ-,kπ+)（k∈Z)上是增函数,所以tanx≥的解为kπ+≤x＜kπ+，k∈Z，故A∩B=｛x｜kπ+≤x＜kπ+，k∈Z}.温馨提示由tanx≥易解得x≥kπ+，k∈Z。此种解法认为正切函数是增函数,是错误的。正切函数应在每一区间(kπ—,kπ+)，k∈Z上是增函数。各个击破类题演练1求下列函数的定义域（1)y=tan（2x-）;（2)y=.解:（1）函数的自变量x应满足:2x—≠kπ+,k∈Z，即x≠+(k∈Z).所以，函数的定义域为{x｜x≠+，k∈Z｝。(2）要使函数y=有意义，则有即x≠kπ-，且x≠kπ+(k∈Z）.∴函数的定义域为，｛x|x∈R且x≠kπ—，x≠kπ+，k∈Z｝.变式提升1y=|tanx｜的最小正周期为（）A。B。πC.2πD.解析：作出y=｜tanx｜的图象，如下图所示。故y=｜tanx|的周期为π.答案：B温馨提示（1）y=|sinx｜，y=｜cosx|的周期都是y=sinx,y=cosx的周期缩短了一半，而y=｜tanx|的周期与y=tanx的周期相同，同学们不要盲目地由y=｜sinx｜,y=｜cosx｜的周期是由原函数的周期缩短了一半推到y=|tanx｜的周期是。(2)注意正切函数的定义域、单调性.尽管y=tanx在每一个开区间(kπ-,kπ+）（k∈Z)内都是增函数，但在整个定义域内不是增函数。类题演练2求函数y=的定义域.解：∴tanx≤3，如右图∴kπ-＜x≤kπ+(k∈Z）。∴函数的定义域为｛x|kπ-＜x≤kπ+,k∈Z｝.变式提升2在区间（-，）范围内，函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为()A.1B.2C.3解：在同一坐标系中，首先作出y=sinx与y=tanx，在（—，）内的图象,须明确x∈（0，)时，有sinx＜x＜tanx（利用单位圆中的正弦线,正切线就可证明），然后利用对称性作用x∈（-，)的两函数的图象如下图，由图象可知它们有三个交点.∴应选C.答案：C类题演练3以下三个描述不正确的是（）①正切函数为定义域上增函数②正切函数存在闭区间[a，b］,使y=tanx为其上增函数③正切函数存在闭区间［a,b],使y=tanx为其上减函数A。0个B。1个C.2个D。3个解析:只有②正确.答案:C变式提升3比较tan1，tan2,tan3,tan4的大小.解：tan2=tan（2-π），tan3=tan(3—π），ta