数学苏教版自我小测：数学归纳法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．数列1，1＋3,1＋3＋5，1＋3＋5＋7，…的一个通项公式为________．2．用数学归纳法证明不等式2n＞n2成立时，n应取的第一个值为________．3．用数学归纳法证明不等式n3＋1≥4n＋1时，n所取的第一个值n0为__________．4．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n（n∈N*，且n＞1）”时,由n＝k（k＞1)不等式成立,推证n＝k＋1时,左边应增加的项数是________．5．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线条数f（n＋1）与f（n)之间的关系为．6．用数学归纳法证明2n＋1≥n2＋n＋2（n∈N)时，第一步的验证为____________________．7．已知x＞－1且x≠0,n∈N＊,且n≥2，求证：（1＋x）n＞1＋nx。8．用数学归纳法证明：1＋5＋9＋13＋…＋(4n－3）＝2n2－n.9．求证：an＋1＋（a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除,n∈N*。10．已知函数(x≥0）．设数列｛an｝满足a1＝1，an＋1＝f（an),数列｛bn}满足bn＝｜an－｜，用数学归纳法证明。

参考答案1答案：n22答案：53答案：24答案：2k解析：增加的项数为(2k＋1－1)－（2k－1)＝2k。5答案：f（n＋1）＝f（n）＋n－1解析：如图，设凸n＋1边形为A1A2…AnAn＋1，连结A1An，则凸n＋1边形的对角线是由凸n边形A1A2…An的对角线加上A1An，再加上从An＋1点出发的n－2条对角线，即f(n＋1）＝f(n)＋1＋n－2＝f（n）＋n－1.6答案:当n＝0时，20＋1＝2≥02＋0＋2＝2，结论成立7答案:证明：（1)当n＝2时,左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，∵x≠0，∴1＋2x＋x2＞1＋2x.∴左边＞右边，不等式成立.(2)假设当n＝k时，不等式成立，即（1＋x）k＞1＋kx成立，则当n＝k＋1时，左边＝（1＋x)k＋1＝（1＋x)k(1＋x）。∵x＞－1，∴1＋x＞0。∴（1＋x）k(1＋x)＞（1＋kx）(1＋x）＝1＋(k＋1)x＋kx2。∵x≠0,∴1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1）x。∴（1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x成立，即当n＝k＋1时不等式成立。由(1）(2）可知,不等式对于所有的n≥2的正整数都成立.8答案：证明：（1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立.(2）假设n＝k（k≥1)时，命题成立，即1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＝2k2－k.则当n＝k＋1时，1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＋（4k＋1)＝2k2－k＋（4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝2(k＋1)2－(k＋1）。∴当n＝k＋1时，命题成立.综上所述，原命题成立.9答案：证明:(1)当n＝1时,a1＋1＋（a＋1）2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立。（2)假设n＝k时,ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时,ak＋2＋（a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋（a＋1)2·（a＋1）2k－1＝a［ak＋1＋（a＋1)2k－1]＋（a＋1)2(a＋1)2k－1－a（a＋1）2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1）2k－1]＋（a2＋a＋1)（a＋1）2k－1。由归纳假设知，上式中的两部分均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立。根据(1）(2）知，对任意n∈N＊，命题成立.10答案：证明：当x≥0时，f(x）＝1＋＞1。因为a1＝1，所以an≥1(n∈N＊)。下面用数学归纳法证明不等式。(1)当n＝1时，b1＝－1，不等式成立。(2)