数学课堂导学案：同角三角函数的基本关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1.同角三角函数基本关系式【例1】已知cosθ=-，求sinθ、tanθ.思路分析：先确定θ的象限，再求与cosθ具有平方关系的sinθ的值，然后利用商数关系求出tanθ。解：∵cosθ=-＜0,∴θ为第二、三象限角。当θ为第二象限角时，sinθ=,tanθ=。当θ为第三象限角时，sinθ==,tanθ=。温馨提示已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要注意：(1）角所在的象限；（2）用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限决定;（3）用商数关系时,不要另加符号，只需用公式tanα=代入sinα、cosα的值即可求得tanα.2．同角三角函数基本关系的应用【例2】已知cosα=m(｜m|≤1）,求sinα、tanα的值.思路分析：因α的范围未定，故应分类讨论。解:(1)当m=0时，α的终边落在y轴上。若α的终边落在y轴的正半轴时，sinα=1,tanα不存在；若α角的终边落在y轴的负半轴时,sinα=—1,tanα不存在。（2)当m=±1时，α的终边落在x轴上，此时，sinα=0,tanα=0。(3）当|m|＜1且m≠0时。sin2α=1—cos2α=1—m2。①当α在第一、二象限时,sinα=，从而tanα=.②当α在第三、四象限时，sinα=—，从而tanα=。温馨提示(1)确定角α的范围是为了确定三角函数值的符号。若要对角的范围进行讨论,终边在坐标轴上的情况要单独讨论。(2)此类型题目可分为三种情况。①已知一个角的某个三角函数值,又已知角所在的象限，有一解.②已知一个角的某个三角函数值，没告知角所在的象限有两解.③已知角的一个三角函数值用字母表示时，α分类讨论的根据主要是按所求的那些三角函数来区分象限.3。同角三角函数基本关系式成立的条件【例3】已知：sinθ=,cosθ=，其中≤θ≤π，求m的值.错解：∵sin2θ+cos2θ=1，∴=1。解得m1=0，m2=8,这就是所求的m的值.错因分析：本题对θ还有限制≤θ≤π,因此sinθ和cosθ的正负就有限制，对m的取值必然产生影响。正解：因≤θ≤π,则sinθ≥0，cosθ≤0。显然，当m=0时不符合条件，故m=8.温馨提示(1）运用商数关系时，注意公式的适用范围;（2)运用平方关系时，注意符号的选择。各个击破类题演练1已知sinα=,α∈（0,π)，则tanα的值等于（）A。B。C.±D。±解析：由sinα=，α∈(0,π）,∴cosα=±,∴tanα=±。答案:D变式提升1已知3sinα-2cosα=0，求下列各式的值.（1）(2)sin2α—2sinαcosα+4cos2α。(1)解：∵3sinα—2cosα=0,∴tanα=.=。(2）sin2α—2sinαcosα+4cos2α==类题演练2已知5sinθ+12cosθ=0，求的值.解：由5sinθ+12cosθ=0,得tanθ=＜0,故θ角在第二或第四象限。当θ在第二象限时，cosθ=；当θ在第四象限时，cosθ=。则原式=或。变式提升2已知sinθ+cosθ=,θ∈（0，π）,求值(1）tanθ；（2）sinθ-cosθ；（3）sin3θ+cos3θ。解：∵sinθ+cosθ=θ∈(0，π）,平方,得sinθcosθ=＜0,∴sinθ＞0，cosθ＜0,∴sinθ，cosθ是方程x2—15x=0的两根.解方程得：x1=,x2=-,∴sinθ=，cosθ=-,∴（1）tanθ=,(2）sinθ—cosθ=,(3)sin3θ+cos3θ=.类题演练3若α为第二象限角,则tanα＜0，∴tanα=以上命题是真命题吗？解析：同角三角函数基本关系式对定义域内的任意角都成立。α在第二象限时,sinα＞0,cosα＜0故tanα=.答案：不是变式提升3已知：tanθ=2.求证：=lg2—lgcos2θ.证明：由于tanθ=2，∴=2。即sin2θ=4cos2θ,∴