数学课堂导学案：平面向量的实际背景及基本概念

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1.向量的有关概念【例1】判断下列命题是否正确。①向量和向量长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④向量0=0；⑤向量大于向量.其中正确命题的个数是（）A。0B.1C。2解析:①真命题.因为向量和向量是方向相反，模长相等的两个向量。②假命题。因为平行向量包括方向相同和方向相反两种情况。③假命题。向量是用有向线段来表示的，但不能把两者等同起来。④假命题.0是一个向量,而0是一个数量,应|0｜=0。⑤假命题。因为向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别，向量的模可以比较大小.故应选B。答案:B温馨提示只有真正理解向量的概念、向量模的意义，才能解决类似的概念辨析题.【例2】某人从A点出发向西走了10m到达B点;然后改变方按西偏北60°走了15m到达C点；最后又向东走了10m到达D点.(1）作出向量、、(用1m长的线段代表100m长)；（2）求||.解：(1）向量、、如右上图所示。（2）因为=-，故四边形ABCD为平行四边形,所以||=｜|=15m.温馨提示(1）要画出向量,首先要确定向量的起点和终点，或先确定向量的起点，再确定向量的方向，再根据向量的模确定向量的终点。（2）要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型.“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在日后的学习中不断积累经验.2。平行向量的概念【例3】判断下列命题是否正确:（1）若a∥b，则a与b的方向相同或相反；（2）四边形ABCD是平行四边形，则=，反之也成立。（3）｜a｜=|b｜,a，b不一定平行；a∥b，｜a｜不一定等于｜b｜；（4）共线的向量,若起点不同,则终点一定不同。解：（1）错。若a、b中有一零向量，其方向不定.（2）正确。=∥且||=｜｜四边形ABCD是平行四边形。（3）正确.模相等不一定平行,平行不一定模相等。（4）错。如下图，与共线,虽起点不同，但终点却相同.温馨提示(1）共线向量也叫平行向量，指向量的基线互相平行或重合。(2）零向量与任何向量共线.（3）共线向量不一定相等，但相等向量一定共线.3。对向量有关概念再理解【例4】给出下列六个命题:①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若｜a｜=｜b｜,则a=b；③若=,则四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有=;⑤若m=n，n=k，则m=k;⑥若a∥b，b∥c，则a∥c。其中不正确的命题的个数为（)A.2B。3C。4解析：①两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等,却不一定有起点相同，终点相同，故①不正确。根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同.②｜a｜=｜b｜,只能说a与b模相等，方向不一定相同.∴a与b不一定相等，故②不正确。③也不正确，因为A、B、C、D可能落在同一条直线上。④显然：与方向相同，模也相等.∴④正确.⑤显然正确，说明向量相等具有传递性.⑥零向量方向不确定，它与任一向量都平行,故⑥中若b=0，则a与c就不一定平行了，因此⑥也不正确。故应选C答案:C各个击破类题演练1指出下列概念是不是向量：（1)作用在物体上的大小为5牛顿；方向为东北的力.(2）物体B沿东南方向产生了10m的位移.（3）温度计上表示零上、零下的温度.解：（1)是向量，因为力是既有大小又有方向的量，但不是自由向量，因为确定力的要素除大小、方向外,还有作用点。（2）是向量，因为位移由大小、方向决定。（3）不是，因为温度可以用带正、负号的实数表示.变式提升1下列命题：①向量可以比较大小；②向量的模可以比较大小；③若a=b，则一定有｜a｜=|b｜，且a与b方向相同；④对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的，其中正确的有（)A。1个B.2个C.3个D。4个解析：②③④正确答案：C类题演练2一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点,然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C点，最后又改变方向,向东行驶了100千米达到D点。（1）作出向量,，;（2)求|｜.解：（1)如右图所示.（2)由题意,易知=-，∴四边形ABCD为平行四边形.∴||=||=200（千米）.变式提升2如右图,已知==,求证：△ABC≌△A′B′C′.证明：（1）∵=，∴四边形AA′B′B是平行四边形,∴｜｜=｜｜.同理由=，=，得||=｜|,｜|=｜|，即两个三角形的三边分别对应相等，∴△ABC≌△A′B′C′。类题演练3给出下列命题：①若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等；②a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；③把平面内所有单位向量的起点移到同一个点，则各向量的终点的集合是单位圆.其中正确命题的个数是(）A。0个B。1个C.2个D。3个解析:只有命题③正确.因为把平面内所有单位向量的起点移到同一个点后，所有向量的终点到这个点的距离等于1，即这些向量的终点都在单位圆上，其次以这个单位圆上任一点为终点，这个单位圆圆心为起点的向量的长度都是1,这些向量都是单位向量。答案：B变式提升3把平行于直线l的所有向量的起点平移到直线l上的点P，则各向量的终点组成的图形是________________.答案:直线l类题演练4下列说法中错误的是（）A。零向量是没有方向的B.零向量的长度为0C。零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的答案:A变式提升4下面有四个命题：①向量的模是一个正实数；②两个向量相等，则两个向量一定平行；③若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等；④温