2024北京五十五中高一（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京五十五中高一（上）期中数学本试卷共4页，共150分，考试时长100分钟第一部分（选择题共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，把答案填在答题纸上）1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.设命题，，则为A. B.C. D.3.若函数y=fx的定义域为，值域为，那么函数y=fx的图象可能是（）A.B.C.D.4.设，，则（）A. B.C. D.5.已知函数，则值为（）A.7 B.9 C.11 D.156.如果偶函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（）A.减函数且最小值是4 B.减函数且最大值是4C.增函数且最小值是4 D.增函数且最大值是47.设函数的定义域为，则“在区间上单调递增”是“在区间上的最大值为”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.若一元二次不等式的解集为，则的最小值为（）A. B. C.2 D.49.已知函数的图象与直线恰有2个公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.10.用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（）A.6 B.5 C.4 D.3第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸上）11.函数的定义域为______．12.已知集合，，若满足，则实数a的值为______．13.已知函数，对一切实数，恒成立，则的一个值可以为________．14.定义为，，中的最大值，设，则的最小值为________．15.函数，给出下列四个结论①的值域是；②任意且，都有；③任意且，都有；④规定，其中，则．其中，所有正确结论的序号是______________．三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16.已知集合，．（1）当时，求和；（2）若，求m的取值范围．17.已知函数（1）判断函数的奇偶性并用定义证明；（2）用分段函数的形式表示函数的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数的图象18.已知函数的图像经过点.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性并证明；（3）当时，的最小值为3，求的值.19.已知二次函数的最小值为1，且．（1）求的解析式；（2）解关于的不等式：，其中；（3）当时，恒成立，试确定实数的取值范围．20.已知某公司生产某款产品的年固定成本为40万元，每生产1件产品还需另外投入16万元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知（1）求利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式：（2）当年产量为多少万件时？公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润.21.已知集合，且集合具有以下性质：①中的元素有正整数，也有负整数；②中的元素有奇数，也有偶数；③若，则；④,回答下列问题.（1）若，求证：；（2）判断集合是有限集还是无限集，并说明理由；（3）判断0和2与集合的关系，并说明理由.

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，把答案填在答题纸上）1.【答案】C【分析】求出,再求解与的交集.【详解】根据题意可得，则.故选：C2.【答案】B【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题即：故选3.【答案】C【分析】根据各选项一一判断其定义域与值域，即可得解.【详解】对于A：函数的定义域为，但是值域不是，故A错误；对于B：函数的定义域不是，值域为，故B错误；对于C：函数的定义域为，值域为，故C正确；对于D：不满足函数的定义，不是一个函数的图象，故D错误.故选：C4.【答案】C【分析】由，可得，A错；利用作差法判断B错；利用基本不等式可得C正确；由，而，可得D错．【详解】，，故A错；，，即，可得，，故B错；，，且，则，故C正确；，，而，则，故D错.故选：C5.【答案】D【分析】令，结合题意即可求解.【详解】令，得，所以.故选：.6.【答案】C【分析】由偶函数在对称区间上的单调性相反求解即可.【详解】偶函数在上是减函数且最小值是4，所以，则在上是增函数且最小值为，故选：C7.【答案】A【分析】根据函数的单调性、最值以及充分和必要条件等知识确定正确答案.【详解】若“在区间上单调递增”，则“在区间上的最大值为”；若“在区间上的最大值为”，则在区间上不一定单调.所以“在区间上单调递增”是“在区间上的最大值为”的充分不必要条件.故选：A8.【答案】D【分析】根据不等式的解集求得与a的关系，结合基本不等式即可求得答案.【详解】一元二次不等式的解集为，即为的两实数根，故-1+2=-ba-1×2=则，当且仅当时，即时取等号，即的最小值为4.故选：D9.【答案】A【分析】将原问题等价转换为令，有两个零点，注意到或，从而对分类讨论即可求解.【详解】令，则，由题意有两个零点，或，当时，，当时，，当时，，当时，，或，当时，，或，当时，，或，当时，，或，综上所述，满足题意的的取值范围为.故选：A.10.【答案】B【分析】先求得的可能取值，然后对进行分类讨论来求得，进而求得.【详解】，要使，则或.当时，，满足.当时，首先有两个不同的解或，其次，对于，，当时，或，当时，，，此时，满足.当时，，，此时，满足.当，即时，无解，不符合题意.当，即或时，的解为或，不是的解，由，解得，当时，，满足，当时，，满足，当时，，不符合题意.综上所述，.故选：B【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸上）11.【答案】【分析】根据函数的解析式，列不等式求函数的定义域.【详解】函数的定义域需满足，解得：且，所以函数的定义域是.故答案为：12.【答案】－3【分析】根据交集定义，若，则且，从而讨论集合的情况，确定实数a的值.【详解】由题意可得，且，当时，解得，此时，，，不符合题意，舍去；当时，解得，当时，，，中元素不满足互异性，不符合题意，舍去，当时，，，，符合题意，综上所述，，故答案为：－3.13.【答案】-1（答案不唯一）【分析】讨论m的取值，解相应不等式，求出符合题意的m的范围，即可求得答案.【详解】当时，fx=-x<0,∴x>0当时，对一切实数，恒成立，需满足，解得，故的一个值可以为，故答案为：（答案不唯一）14.【答案】4【分析】根据题意画出函数的图象，再根据图象即可得到函数的最小值.【详解】分别画出的图象，则函数的图象为图中实线部分，如图，函数的最低点为，由，解得或，即，所以的最小值为4.故答案为：4.15.【答案】①②④【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可；【详解】①：当时，，当时，该函数单调递增，所以有，当时，因为，所以，因此当时，；当时，，此时函数单调递增，所以有，，所以有，所以的值域是，故①正确；②：不妨设，由，所以该函数是实数集上的增函数，由①可知：该函数在时，单调递增，且，当时，单调递增，且，所以该函数是实数集上的增函数，符合题意，故②正确；③：当任意且时，令，，，显然，因此不成立，故③不正确；④：当时，，，，，，于是有，因此，故④正确，故答案为：①②④【点睛】关键点睛：利用分式型函数的性质是解题的关键.三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16.【答案】（1）；（2）或【分析】（1）求出集合后根据集合的运算法则计算；（2）根据集合运算得出集合间包含关系，再由包含关系求参数范围．【小问1详解】当时，，因为，所以；【小问2详解】因为，所以或，因为，所以，因为，所以或，得或，所以m的取值范围为或．17.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2），图象见解析【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明.（2）根据绝对值的知识化简的解析式，并画出图象.【小问1详解】是奇函数，证明如下：函数的定义域是，，所以是奇函数.【小问2详解】依题意，由此画出的图象如下图所示：18.【答案】（1）（2）在上单调递减；证明见解析（3）1【分析】（1）代入已知点坐标求得参数值得函数解析式；（2）根据单调性定义证明；（3）结合单调性得最小值从而可求解．【小问1详解】由题意知函数的图像经过点，故，解得，故；【小问2详解】函数在上单调递减；证明：设，且，则，因为，故，即，故函数在上单调递减.【小问3详解】由（2）知在是减函数，因此，解得或，又，所以．19.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据题意，设，根据，求得，即可得到函数的解析式；（2）原不等式等价于x2+a-2x>0（3）依题意可得不等式在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】由题意，函数是二次函数，且，可得函数的对称轴为，又由最小值为，可设，又，即，解得，所以函数的解析式为.【小问2详解】fx因为，所以，所以x2+a-2所以若，则关于的不等式：fx+2ax-3>0的解集为.【小问3详解】因为当时，fx>2x+2m+1恒即当时，恒成立，即当时，恒成立，设函数，，则在区间上单调递减，∴在区间上的最小值为，∴，故实数的取值范围为：.20.【答案】（1）；（2）当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，分两种情况讨论得到分段函数的解析式；（2）求出分段函数的每一段的最大值，再比较最大值即得解.【小问1详解】由题得利润等于收入减去成本.当时，；当时，.【小问2详解】当时，时，；当时，，当且仅当，即时，，时，的最大值为6104万元，即当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.21.【答案】（1）证明见解析（2）无限集，理由见解析（3）0是中元素，2不是中元素，理由见解析【分析】（1）根据条件③即可证明；（2）根据（1）的证明过程及条件③即可得到结论；（3）根据条件取中的两个元素即可判断；结合①②中的条件，分情况假设，推出，与④矛盾，假设不