2024北京首都师大附中密云中学九年级（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京首都师大附中密云中学初三（上）期中数学本试卷共6页，100分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将只将答题卡交回．Ⅰ卷选择题（共16分）一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为()A.2 B.1 C.0 D.2.下列图形中是中心对称图形的是（）A.正方形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.正五边形3.将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（）A. B. C. D.4.若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（）A.36 B. C.9 D.5.某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A.180（1﹣x）2=461 B.180（1+x）2=461C.368（1﹣x）2=442 D.368（1+x）2=4426.不解方程，判断关于x的方程的根的情况为（）A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根7.已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（）A. B. C. D.8.已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：…0……10…有以下几个结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③关于x的方程的根为和；④当y＜0时，x的取值范围是＜x＜．其中正确的是（）A.①④ B.②④ C.②③ D.③④Ⅱ卷非选择题（共84分）二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分）9.方程的解是_________________．10.抛物线与轴交于点，则点的坐标为_____．11.关于的方程有两个不相等的实数根，则_____．12.把二次函数的表达式化为的形式_____．13.写出一个二次函数，其图像满足：①开口向上：②当时，随的增大而减小．这个二次函数的解析式可以是_______________．14.、是函数图像上的两个点，，的大小关系是_____．15.二次函数的图像如图所示，则_____0，_____0．16.如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，其余的三边，，用总长为40米的栅栏围成．设矩形的边米，面积为S平方米．（1）活动区面积S与之间的关系式为____________；（2）菜园最大面积是____________平方米．三、解答题（本题共68分，第17题题8分，18-23题，每小题5分，第24题题10分，第25-26题7分，第27题题6分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解下列方程（1）；（2）．18.已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为，求该函数的表达式．19.已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：（1）点A、B、C的坐标；（2）的面积．20.已知二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标、纵坐标的对应值…01234……-3-4-305…（1）求该二次函数的表达式；（2）直接写出该二次函数图象与轴的交点坐标.21.如图，在中，，，将绕点顺时针旋转30°得到交于点．若，求的长．22.已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于，求的取值范围．23.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，把绕点按顺时针方向旋转90°后得到．（每个方格的边长均为1个单位）（1）画出并直接写出：的坐标为______，的坐标为______；（2）判断直线与直线的位置关系为______．24.已知抛物线．（1）用配方法将化成的形式；（2）写出该抛物线的对称轴、顶点坐标；（3）抛物线与轴交点，（点在左侧），与轴交点，在给定的坐标系中画出这个抛物线，求的面积；（4）直接写出当自变量满足什么条件时，函数；（5）直接写出当自变量满足什么条件时，随的增大而增大．25.掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度(单位：m)与水平距离(单位：m)近似满足函数关系．某位同学进行了两次投掷．（1）第一次投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离x/m0246810竖直距离y/m根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离近似满足函数关系．记实心球第一次着地点到原点的距离为，第二次着地点到原点的距离为，则_____(填“＞”“＝”或“＜”)．26.在平面直角坐标系中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B．（1）求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象；（2）一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集．27.在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”．（1）如图，图形是矩形，其中点的坐标为0,3，点的坐标为，则_____．在点，，，中，矩形的“关联点”是_____；（2）如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围．

参考答案Ⅰ卷选择题（共16分）一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.【答案】C【分析】将代入方程，即可求解．【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程是解题的关键．2.【答案】A【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．【详解】解：A、是中心对称图形，本选项正确；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、不是中心对称图形，本选项错误．故选A．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转180度后与原图形重合．3.【答案】D【分析】本题考查了二次函数的平移．根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可．【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．故选：D．4.【答案】C【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可．【详解】解：∵方程有两个相等的实数根∴解得故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．5.【答案】B【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程．【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．6.【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据题意求出，最后根据计算结果判断方程根的情况．【详解】由题意得：∴方程有两个不相等的实数根故选：C．7.【答案】D【分析】根据函数图像可知，，，将代入即可解答．【详解】解：根据函数图像可知，，，将代入得，由图象知，此时．故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键．8.【答案】C【分析】根据表格信息，可得抛物线经过两点，结合抛物线的对称性，解得抛物线的对称轴，再由表格信息知抛物线与x轴的其中一个交点为，结合对称性解得抛物线与x轴的另一个交点，即可判断抛物线的开口方向及关于x的方程的两个根，结合图象可得当y＜0时，x的取值范围．【详解】由表格信息得，抛物线经过，结合抛物线的对称性可得抛物线对称轴为，故②正确；因为抛物线经过点，即抛物线与x轴的一个交点为，根据抛物线的对称性可得，抛物线与x轴的另一个交点为，抛物线开口向下，故①错误；故关于x的方程的根为和，故③正确；当y＜0时，抛物线在x轴的下方的图象有两部分，即或，故④错误，因此正确的有：②③，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．Ⅱ卷非选择题（共84分）二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分）9.【答案】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可得到答案．【详解】解：移项得：，方程两边同时开方得：，解得，故答案为：．10.【答案】【分析】本题考查了抛物线与坐标的交点，理解抛物线与坐标轴的交点坐标特征是解题关键．根据抛物线与与轴交于点，得到点的横坐标为0，代入抛物线解析中进行计算求解．【详解】解：抛物线与轴交于点，，．故答案为：．11.【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据方程有两个不相等的实数根，可以得到关于的不等式，解不等式求出的取值范围．【详解】解：方程有两个不相等的实数根，整理不等式得到解得：．故答案为：．12.【答案】【分析】本题考查将二次函数的一般式化为顶点式，解题的关键是掌握：由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，根据恒等，同时需要减去一次项系数的一半的平方．据此解答即可．【详解】解：∵，∴．故答案为：．13.【答案】（答案不唯一）【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．首先由①得到；由②得到对称轴，只要举出满足以上两个条件的的值即可得出所填答案．【详解】解：根据题意，这个二次函数的解析式可以是．故答案为：（答案不唯一）．14.【答案】##【分析】本题主要考查了比较函数值大小，熟练掌握二次函数图像的性质是解题关键．将点、代入函数，分别求得的值，比较即可获得答案．【详解】解：将点、代入函数，可得，，∵，∴．故答案为：．15.【答案】①.②.【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．根据二次函数图像的开口方向可知，结合函数图像的对称轴，可得；根据该二次函数的图像与轴有两个交点，易得．【详解】解：根据函数图像可知，该函数图像开口向下，∴，又∵函数图像的对称轴，∴，∵该二次函数的图像与轴有两个交点，∴当时，可得，此时．故答案为：，．16.【答案】①.②.200【分析】本题考查二次函数的应用，（1）表示出，由矩形面积公式可得函数关系式；（2）把面积S配成顶点式，由二次函数性质可得答案．【详解】解：（1）由题意得：，∴，∵，解得，∴活动区面积S与之间的关系式为；解：（2）由（1）得：活动区面积S与之间的关系式为，∵，∴当时，S取最大值200，∴菜园最大面积是200平方米；三、解答题（本题共68分，第17题题8分，18-23题，每小题5分，第24题题10分，第25-26题7分，第27题题6分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.【答案】（1），（2），【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键．（1）移项并把方程两边同时除以2后，利用直接开平方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【小问1详解】解：，∴，∴，∴或，∴，；【小问2详解】解：，∴，∴或，∴，．18.【答案】【分析】根据二次函数的顶点坐标设二次函数的解析式为，再把点代入求解即可．【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标为，∴设该函数的表达式为，∵二次函数的图象经过点，把点代入得，，解得，∴该函数的表达式为．【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，根据题目的条件，选择恰当的方法设出关系式是解题的关键．19.【答案】（1）；；（2）6【分析】（1）根据题意得出求出图象与x轴以及y轴交点坐标；（2）根据A，B，C的坐标求出，长，即可求出的值．【小问1详解】解：令，则，∴；令，则，解得：，，∴；．【小问2详解】解：∵，，∴，，∴．【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键熟练进行计算．20.【答案】（1）；（2）（3，0）和（-1，0）.【分析】（1）由已知的三点坐标得到二次函数的对称轴，然后设顶点式即可求出二次函数的解析式；

（2）由二次函数表达式即可得．【详解】（1）由抛物线经过三点（0，-3）、（2，-3）和（1，-4）可知，抛物线对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1，-4).设抛物线表达式为将(0,-3)点代入，解得∴二次函数的表达式为（2）二次函数图象与轴的交点坐标为（3，0）和（-1，0）.【点睛】本题考查的知识点是求二次函数的解析式，解题关键是熟记二次函数的性质.21.【答案】23【分析】根据旋转的性质可得，可得，，根据含30°角的直角三角形的性质，可得，根据勾股定理即可求解．【详解】解：由题意得：，∴，∵，∴，∵将绕点顺时针旋转30°得到，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．22.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．【小问1详解】解：∴方程总有两个实数根；【小问2详解】解：原方程可化为：或解得：，由题意可得：解得：【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．23.【答案】（1）图见解析，；（2）垂直【分析】本题考查了旋转的性质和旋转作图，点的坐标，掌握旋转的作图方法是解题关键．（1）按照旋转的定义进行旋转即可；由图即可得坐标．（2）由旋转性质：对应线段所在的直线所交的角等于旋转角度可得结论.【小问1详解】解：如图，将点绕点按顺时针方向旋转后得到，将点绕点按顺时针方向旋转后得到，连接，，即为所求．解：由（1）图可知点坐标为，点坐标为，故答案为：，．【小问2详解】由图可知：直线与直线的位置关系为垂直．24.【答案】（1）（2）对称轴为直线、顶点坐标为（3）作图见解析，的面积为（4）或（5）【分析】（1）由于二次项系数是，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，根据恒等，同时需要减去一次项系数的一半的平方即可；（2）根据（1）结论即可得出结论；（3）令得到关于的方程，求解后可得点和点的坐标，令可得到的值，可得点的坐标，然后画出该函数的图像，再根据三角形的面积公式即可求出的面积；（4）观察图像，图像在轴上方的部分，即可得出的取值范围；（5）观察图像，在对称轴的右侧的图像，随的增大而增大，即可得出的取值范围．【小问1详解】解：，∴；【小问2详解】由（1）知：，∴该抛物线的对称轴为直线、顶点坐标为；【小问3详解】∵抛物线，当时，得：，解得：或，∴，，当时，得：，∴C0,-3如图：∵，，C0,-3，∴，，∴，∴的面积为；【小问4详解】由图像知：当或时，；【小问5详解】由图像知：当时，随的增大而增大．【点睛】本题考查将抛物线表达式的一般式化为顶点式，抛物线与坐标轴的交点坐标，画函数图像，结合图像求不等式的解集，结合图像理解函数的增减性，根据网格求三角形的面积等知识点．利用数形结合的思想求解是解题的关键．25.【答案】（1），（2）＞【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值，并利用待定系数法得到抛物线解析式；（2）设着陆点的纵坐标为0，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标即为和，然后进行比较即可．【小问1详解】解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为，所以实心球竖直高度的最大值为，设抛物线的解