2024北京十五中高一（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京十五中高一（上）期中数学2024.11本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡和答题纸上，在试卷上作答无效．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集或，则集合（）A. B. C.或 D.2.方程组的解集是（）A. B.C. D.3.命题“”的否定是（）A. B.C. D.4.下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则5.函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（）A.（2，+∞） B.（1，2） C.（0，1） D.（﹣1，0）6.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7.设奇函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.8.已知函数，则下列图象错误的是（）A. B.C. D.9.在函数①，②，③，④中，以2为最小值的函数的序号为（）A.①② B.②③ C.②④ D.③④10.设函数，给出下列四个命题：①当时，为奇函数；②函数的图像关于点对称；③当时，存在，使得有两个不同的零点；④存在，使得函数有三个不同的零点．其中，真命题的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数的定义域是______．12.不等式的解集是________．13.已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______．14.已知函数，且当时，总有，则实数的取值范围是______．15.设函数若,则的单调递增区间是___________;若的值域为,则的取值范围是_____________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知全集，集合，其中．（1）化简集合A，并求集合；（2）若，求集合；（3）若，都有或，求实数的取值范围．17.已知函数，满足下列两个条件条件①：；条件②：；（1）求，的值；（2）已知函数有两个不同的正数零点．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若，求的值．18.已知函数．（1）判断函数是否具有奇偶性，并证明；（2）当时，判断在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；（3）当时，求函数的值域．19.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）设该地上班族总人数为，求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求的最小值，指明相应的的值．20.已知二次函数，且．（1）求实数的值，并求函数在区间上的最小值．（2）求关于的不等式的解集．21.如果是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，都有，则称该函数是“函数”．（1）分别判断下列函数：①；②；③是否为“函数”？（直接写出结论）（2）若函数是“函数”，求实数的取值范围；（3）设“函数”在R上单调递增，求所有可能的集合A与．

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】B【分析】根据题意利用补集和交集运算求解即可.【详解】因为全集或，则，所以.故选：B.2.【答案】C【分析】直接求出方程组的解，再用列举法表示即可.【详解】由，消去得，解得，所以方程组的解为或，所以方程组的解集.故选：C3.【答案】C【分析】根据全称命题的否定式特称命题分析判断.【详解】命题“”的否定是“”.故选：C.4.【答案】D【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：根据不等式的性质分析判断.【详解】对于选项A：例如，则，故A正确；对于选项B：例如则，故B错误；对于选项C：例如，满足，但，故C错误；对于选项D：若，则，可得a⋅1ab>b⋅1ab故选：D.5.【答案】B【分析】求出，即得解.【详解】由题得，所以，因为函数是R上的连续函数，故选B【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.【答案】B【分析】由题可得恒成立，由即可求出.【详解】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．故选：B．7.【答案】D【分析】根据单调性和奇偶性分析的符号，进而解不等式即可.【详解】因为在上为减函数，且，当时，；当时，；又因为为奇函数，可得当时，；当时，；若，则或，可得或，所以不等式的解集为.故选：D.8.【答案】D【分析】确定的图象，然后根据图象变换确定各选项．【详解】当时，，表示一条线段，且线段经过和两点．当时，，表示一段曲线．函数的图象如图所示．的图象可由的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；的图象可由的图象关于轴对称后得到，故B正确；由于的值域为，故，故的图象与的图象完全相同，故C正确；很明显D中的图象不正确．故选：D．9.【答案】B【分析】对于①：举反例说明即可；对于②③：利用基本不等式分析判断；对于④：换元令，结合对勾函数单调性分析判断.【详解】对于①：例如，则，可知的最小值不为2，故①错误；对于②：因为，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为2，故②正确；对于③：因为，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为2，故③正确；对于④：令，则，可知在上单调递增，当时，取到最小值，所以的最小值不为2，故④错误；故选：B10.【答案】C【分析】对于①：根据奇函数定义分析判断即可；对于②：根据中心对称的定义分析判断；对于③：整理可得，构建，结合函数图像分析判断；对于④：取，代入解方程即可得零点个数.【详解】由题意可知：的定义域为R，对于①：当时，，则，所以为奇函数，故①正确；对于②：因为，所以函数的图像关于点对称，故②正确；对于③：若，令，可得，构建，可得其图像如图所示，可知y=gx在R上单调递增，且y=gx的值域为则y=gx与恒有一个交点，即有且仅有1个零点，故③错误；对于④：例如，则，令，解得x=0或，所以存在，使得函数有三个不同的零点，故④正确；综上所述：真命题的个数为3.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】【分析】根据分式、根式的意义列式求解即可.【详解】令，解得且，所以函数的定义域是.故答案为：.12.【答案】【分析】把分式不等式等价转化为一元二次不等式，由此求得原不等式的解集．【详解】解：不等式等价于，解得，故答案为：．13.【答案】【分析】分析可知是的真子集，结合包含关系运算求解即可.【详解】由，可得，由，可得，因为“”是“”的充分不必要条件，可知是的真子集，则，且等号不同时成立，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.14.【答案】【分析】分析可知在上单调递增，根据分段函数单调性列式求解即可.【详解】由题意可知：在上单调递增，则，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.15.【答案】①.②.【分析】(1)将代入解析式,分析各段单调性,即可得出结果;(2)先求出上的值域,由的值域为,只需在上的值域包含,分析该二次函数的开口方向,对称轴及值域即可求出的取值范围.【详解】解:由题知当时,,故在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,故的单调递增区间是;由于在上的值域为,若的值域为,只需在上的值域包含即可,故需,即,此时在上的值域为,故需,即,综上:.故答案为:;三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.【答案】（1）化简见解析，（2）或（3）【分析】（1）根据一元二次不等式求集合A，进而可得其补集；（2）可得，进而可得交集；（3）分析可知，结合交集运算求解.【小问1详解】由，解得或，可得或，所以.【小问2详解】若，则，所以或.【小问3详解】由题意可知：，且或，，可得，所以实数的取值范围为.17.【答案】（1），（2）；【分析】（1）由条件①可得：；由条件②可得：关于直线对称，结合对称性可得；（2）（i）分析可知有两根不相等的正实数根，利用韦达定理结合判别式求的取值范围；（ⅱ）根据题意利用韦达定理运算求解即可.【小问1详解】由条件①可得：；由条件②可得：关于直线对称，则，解得；所以，.【小问2详解】（i）由（1）可知：，则，若函数有两个不同的正数零点，即有两根不相等的正实数根，则Δ=解得，所以实数的取值范围为；（ⅱ）因为，所以，解得.18.【答案】（1）为定义在上的奇函数，证明见详解（2）在区间0,1上单调递增，证明见详解（3）【分析】（1）根据题意结合奇偶性的定义分析证明；（2）根据题意结合单调性的定义分析证明；（3）可证在区间1,+∞上单调递增，结合（2）可得：，再结合奇函数性质求值域.【小问1详解】为定义在上的奇函数，证明如下：由题意可知：的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以为定义在上的奇函数.【小问2详解】若，则在区间0,1上单调递增，证明如下：任取，且，则，因为，则，可得，即，所以在区间0,1上单调递增.【小问3详解】当时，则，当时，，由（2）可知：在区间上单调递增，任取，且，则，因为，则，可得，即，所以在区间1,+∞上单调递减.则，且，由（1）可知：为定义在上的奇函数，可得当时，；综上所述：函数的值域为.19.【答案】（1）（2）当时，有最小值分钟【分析】（1）解不等式即可；（2）分、两种情况求出分段函数的表达式，再求各段上的最小值，最后得出在整个定义域上最小值.【小问1详解】由已知可得fx当时，不符合题意；当时，由不等式组30<x<1002x+1800x-90>40所以当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.【小问2详解】当时，；当时，，所以，当时，函数单调递减，此时；当，函数在上单调递减、在上单调递增，此时；且，可知当时，有最小值分钟.20.【答案】（1）；（2）答案见详解【分析】（1）分析可知二次函数在处取到最小值，即可得，结合二次函数单调性求；（2）整理可得，分类讨论最高项系数以及两根大小解不等式.【小问1详解】由题意可知：二次函数在处取到最小值，则，即，可得，因为在上单调递减，在上单调递增，若，即时，在上单调递减，所以的最小值为；若，即时，在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为；若时，在上单调递增，所以的最小值为；综上所述：【小问2详解】因为，即，可得，（i）若，则，解得，原不等式解集为；（ⅱ）若，令，解得或，原不等式解集为；（ⅲ）若，令，解得或，①当，即时，原不等式解集为；②当，即时，原不等式解集为；③当，即时，原不等式解集为；综上所述：若，原不等式解集为；若，原不等式解集为；若时，原不等式解集为；若时，原不等式解集为；若时，原不等式解集为.21.【答案】（1）①③为“函数”，②不为“函数”（2）（3），【分析】（1）根据“函数”的定义结合方程思想逐项分析求解即可；（2）分析可知原题意等价于无解，即可得结果；（3）根据单调性以及“函数”的定义可知，，并代入检验.【小问1详解】对于①：令，即，可得不成立，即恒成立，所以为“函数”；对于②：令，即，整理可得，解得，即不恒成立，所以不为“函数”；对于③：令，即，可得不成立，即恒成立