《自动控制原理》课件第二章

第二章控制系统的数学模型

2.1控制系统的时间域数学模型2.2控制系统的复数域数学模型2.3控制系统的结构图与信号流图2.4Matlab应用实例

2.1控制系统的时间域数学模型

2.1.1线性定常连续系统微分方程的建立

列写系统的微分方程，其目的在于通过该方程确定被控量与给定量或扰动量之间的函数关系，为分析或设计系统创造条件。

下面举例说明用分析法建立系统微分方程的方法和步骤。

例2-1

已知如图2-1所示的RLC电路系统，要求列写出该系统的微分方程。

解首先，确定该系统的输入量和输出量。由图2-1可知，当电压ui变化时，将引起电路中电流i和电压uo的变化。在这里，取ui为输入量，uo为输出量。图2-1RLC电路其次，可根据电路基本定律列写出如下微分方程：

最后，消去变量i，可得该电路的微分方程：(2-1)式(2-1)表达了RLC电路的输入量与输出量之间的关系。例2-2

设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图2-2所示，图中质量块的质量为M；弹簧的弹性系数为K，它产生的弹力与质量块的位移y(t)成正比；阻尼器的阻尼系数为B，它产生的阻尼力与质量块的速度成正比。当外力f(t)作用于质量块时，质量块将产生运动。在该系统中外力f(t)是输入量，质量块的位移y(t)是输出量，试建立该系统的微分方程。图2-2质量块-弹簧-阻尼器系统解在外力作用下，如果弹簧弹力和阻尼器阻力与f(t)不能平衡，则质量块将产生运动，其速度和位移均会发生变化。根据牛顿定理(惯性力+阻尼力+弹性力=外力)，有(2-2)例2-3

他励式直流电动机是控制系统中常见的执行机构或控制对象。图2-3给出了直流电动机电枢回路示意图，当电枢电压ud发生变化时，其转速n将产生相应的变化，试建立以ud为输入量、n为输出量的微分方程。图2-3直流电动机电枢回路

解根据图2-3可得电枢回路的微分方程为(2-3)式中，ed为电动机电枢反电动势；Rd为电动机电枢回路电阻；Ld为电动机电枢回路电感；id为电动机电枢回路电流。因为反电动势与电动机转速成正比，可取

ed=Cen式中，Ce为电动机电动势常数V/(r·min－1)。因此式(2-3)可改写为(2-4)当略去电动机的负载力矩和粘性摩擦力矩时，机械运动微分方程式为

(2-5)式中，M为电动机的转矩(N·m)；GD2为电动机的飞轮矩(N·m2)。当电动机的励磁不变时，电动机的转矩与电枢电流成正比，即电动机转矩为

M=Cmid

(2-6)式中，Cm为电动机转矩常数。上述三个方程为电动机动态过程的方程组，消去变量电枢电流和电动机转矩，并整理可得(2-7)令

为电动机电磁时间常数(s)，

为电动机机电时间常数(s)，则(2-7)式(2-7)即为直流电动机的微分方程。比较式(2-1)、式(2-2)、式(2-7)可见，虽然图2-1、图2-2和图2-3所示为不同的物理系统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系统。例如，图2-1所示的电路系统和图2-2所示的机械系统即为相似系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相似量。如式(2-1)中的变量ui、uo分别与式(2-3)中的变量f(t)、y(t)为对应的相似量。2.1.2线性定常微分方程求解及系统运动的模态

当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变化的特性。

若线性定常连续系统的微分方程模型的一般表示形式为

y(n)(t)+a1y(n－1)(t)+···+any(t)=b0u(m)(t)+b1u(m－1)(t)+…+bmu(t)

(2-8)

假设其初始条件已知，则微分方程的求解步骤如下：

(1)求出对应齐次方程的通解(即令输入为0)

(2-9)其中，Ci为实常数;yi(t)是特征方程D(s)=sn+a1sn－1+…+an－1s+an=0的n个根si(i=1，2，…，n)的基本解组。由于yt(t)是对应系统输入为零时的解，因此也称之为系统响应的自由分量或暂态分量。特征根的类型对应微分方程所描述的运动模态，也称为振型，如表2-1所示。每一种模态代表一种类型的运动形态，齐次微分方程的通解则是它们的线性组合。模态只取决于齐次微分方程的特征根，所以它与系统的输入量无关。另外，在系统中不论以哪个变量作为输出量，都不会影响特征方程，所以模态也与输出量的选择无关。

(2)求非齐次方程的一个特解。对于给定的输入函数，很容易利用待定系数法求得方程的一个特解ys(t)。ys(t)与系统输入函数有关，且与输入函数具有相同的形式，因此常将ys(t)称为系统响应的强迫分量或稳态分量。

(3)求出非齐次方程的一般解

y(t)=yt(t)+ys(t)

即：自由分量+强制分量，或暂态分量+稳态分量。

(4)代入初始条件求出方程的终解。代入n个初始条件，即y(0)、y′(0)、…、y(n－1)(0)，可解出n个实常数，从而最终求得y(t)。例2-4

在例2-1中，若已知L=1

H，C=1F，R=1Ω，且电容上的初始电压uo(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ui=1V，试求当电路突然接通电源时，电容电压uo(t)的变化规律。

解在例2-1中求得该电路系统微分方程为(2-10)分别对式(2-10)中各项求拉普拉斯变换并代入已知数据，经整理后有(2-11)由于电路是突然接通电源的，故可将ui(t)视为阶跃输入量，即ui(t)=1(t)，或Ui(s)=1/s。对式(2-11)中的Uo(s)求拉普拉斯反变换，便得到式(2-10)微分方程的解uo(t)，即(2-12)在式(2-12)中，前一项是由系统输入函数产生的输出分量，且与初始条件无关，故称为强迫分量或稳态分量；而后两项则是由初始条件产生的输出分量，且与输入函数无关，故称为自由分量或暂态分量，它们统称为系统的单位阶跃响应。

如果输入电压是单位脉冲函数δ(t)，相当于电路突然接通电源又立刻断开的情况，此时Ui(s)=1，电路系统的输出则称为单位脉冲响应，即为(2-13)于是，用拉普拉斯变换法求解线性定常微分方程的步骤可归结如下：

(1)考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉普拉斯变换，将微分方程转换为变量s的代数方程；

(2)由代数方程求出输出量拉普拉斯变换函数的表达式；

(3)对输出量拉普拉斯变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。2.1.3非线性数学模型的线性化

严格地说，实际物理元件或系统都是非线性的。例如，弹簧的刚度与其变形有关系，因此弹簧的弹性系数K实际上是其位移y(t)的函数，并非常量；电阻、电容、电感等参数值与周围环境(如温度、湿度、压力等)及电流有关，也并非常量；电动机本身的摩擦、死区等非线性因素会使其运动方程复杂化而成为非线性方程。当然，在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽略它们的影响，将这些元件视为线性元件，这就是通常使用的一种线性化方法。此外，还有一种线性化方法，称为切线法或小偏差法，这种线性化方法特别适合于具有连续变化的非线性特性函数，其实质是在一个很小的范围内，将非线性部分的特性用一段直线来代替，具体方法如下所述。设连续变化的非线性函数为y=f(x)，如图2-4所示。取某平衡状态A为工作点，对应有y0=f(x0)。当x=x0+Δx时，有y=

y0+Δy。设函数y=f(x)在(x0，y0)点连续可微，则将它在该点附近用泰勒级数展开为当增量x－x0很小时，略去其高次幂项，则有令Δy=y－y0=f(x)－f(x0)，Δx=x－x0，K=(df(x)/dx)|x0，则线性化方程可简记为Δy=KΔx。这样，便得到函数y=f(x)在工作点A附近的线性化方程为y=Kx。图2-4小偏差线性化示意图对于有两个自变量x1、x2的非线性函数f(x1，x2)，同样可在某工作点(x10，x20)附近用泰勒级数展开为

略去二阶以上导数项，并令Δy=y－f(x10，x20)，Δx1=x1－x10，Δx2=x2－x20，可得增量线性化方程为式中

这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的。事实上，自动控制系统在正常情况下都处于一个稳定的工作状态，即平衡状态，这时被控量与期望值保持一致，控制系统也不进行控制动作。一旦被控量偏离期望值产生偏差时，控制系统便开始动作，以便减小或消除这个偏差，因此，控制系统中被控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差”。在建立控制系统的数学模型时，通常是将系统的稳定工作状态作为起始状态，仅仅研究小偏差的运动情况，也就是只研究相对于平衡状态下，系统输入量和输出量的运动特性，这正是增量线性化方程所描述的系统特性。例2-5

设铁芯线圈电路如图2-5(a)所示，其磁通φ与线圈电流i之间关系如图2-5(b)所示。试列写以ur为输入量、i为输出量的电路微分方程。图2-5铁芯线圈电路及其特性

解设铁芯线圈磁通变化时产生的感应电势为根据基尔霍夫定律写出电路微分方程为(2-14)在工程应用中，如果电路的电压和电流只在某个平衡点(u0,i0)附近作微小变化，则可设ur相对于u0的增量是Δur,i相对于i0的增量是Δi，并设φ(i)在i0的邻域内连续可导，这样可将φ(i)在i0附近用泰勒级数展开为当Δi足够小时，略去高阶导数项，可得式中，

。令Δφ=φ(i)－φ(i0)，并略去增量符号Δ，便得到磁通φ与电流i之间的增量线性化方程为

φ(i)=Ki

(2-15)代入式(2-14)，有(2-16)式(2-16)便是铁芯线圈电路在平衡点(u0，i0)的增量线性化微分方程。若平衡点变动，则K值也相应改变。

2.2控制系统的复数域数学模型

2.2.1传递函数的定义和性质

传递函数是与系统的高阶微分方程紧密相关的另一种模型形式。设系统的高阶微分方程为

(2-17)式中，c(t)和r(t)分别为系统的输出量和输入量。设系统为零初始条件，即在t=0时输入量、输出量及其它们的各阶导数均为零，对式(2-17)两边同时取拉普拉斯变换并定义：为系统的传递函数。也就是说，系统的传递函数是在零初始条件下，系统输出量的拉普拉斯变换与系统输入量的拉普拉斯变换之比。利用系统的传递函数，可得输出量的拉普拉斯变换为

C(s)=G(s)R(s)

(2-18)

即系统输出量的拉普拉斯变换(C(s)，简记为C)为输入量的拉普拉斯变换(R(s)，简记为R)和传递函数(G(s)，简记为G)的乘积。

例2-6

试求例2-1中RLC电路系统的传递函数Uo(s)/Ui(s)。

解

RLC电路系统的微分方程如式(2-1)，即

在零初始条件下，对上述方程两边同时取拉普拉斯变换，由传递函数的定义得RLC电路系统的传递函数为(2-19)2.2.2典型环节的传递函数

1.比例环节

将输出量与输入量成正比、不失真也无时间滞后的环节称为比例环节，也称无惯性环节。输入量与输出量之间的表达式为

c(t)=Kr(t)

比例环节的传递函数为式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。

2.惯性环节

惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程:惯性环节的传递函数为式中，T为惯性环节的时间常数；K为惯性环节的增益或放大系数。

3.积分环节

输出量正比于输入量的积分的环节称为积分环节。积分环节的动态特性方程为积分环节的传递函数为式中，Ti为积分时间常数。

4.微分环节

理想微分环节的特征是输出量正比于输入量的微分，其动态方程为微分环节的传递函数为式中，Td为微分时间常数。

5.振荡环节

振荡环节的动态方程为

振荡环节的传递函数为或式中，ωn=1/T为无阻尼自然振荡角频率；ζ为阻尼比，且1＞ζ≥0。

6.延迟环节

延迟环节是指当输入信号加入后，输出信号要延迟一段时间τ后才重现输入信号的环节，其动态方程为

c(t)=r(t－τ)

延迟环节的传递函数为式中，τ为称延迟时间。需要指出，在实际生产中，有很多场合是存在迟延的，比如皮带或管道输送过程、管道反应和管道混合过程、多个设备串联以及测量装置系统等。迟延过大往往会使控制效果恶化，甚至使系统失去稳定。

2.3控制系统的结构图与信号流图

2.3.1控制系统的结构图

1.系统结构图的组成和绘制

控制系统结构图具有形象和直观的特点。系统结构图是系统中各元件功能和信号流向的图解，它清楚地表明了系统中各个环节间的相互关系。构成结构图的基本符号有四种，即信号线、引出点(或测量点)、比较点(或综合点)、方框(或环节)。

(1)信号线：信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁边标记信号的时间函数或像函数，如图2-6(a)所示。

(2)引出点：引出点表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同，如图2-6(b)所示。

(3)比较点：比较点表示对两个以上的信号进行加、减运算，“+”号表示相加，“-”号表示相减，通常“+”号可省略不写，如图2-6(c)所示。

(4)方框：方框表示对信号进行的数学变换，方框中写入元部件或环节的传递函数，方框的输出量等于方框的输入量与方框内传递函数的乘积，如图2-6(d)所示。因此方框可视为单向运算的算子。图2-6系统结构图的基本组成单元绘制系统结构图时，首先考虑负载效应，分别列写各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框表示；然后，根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方框连接，便得到了系统的结构图。从结构图上可以用方框进行数学运算，也可以直观了解各元部件的相互关系及其在系统中所起的作用。更重要的是，从系统结构图可以方便地求得系统的传递函数。

需要指出的是，虽然系统结构图是从系统各元部件的数学模型得到的，但结构图中的方框与实际系统的元部件并非一一对应。一个实际系统的元部件可以用一个方框或几个方框表示，而一个方框也可以代表几个元部件的组合或是一个子系统，还可以是一个大的复杂的系统。例2-7

已知一无源RC网络如图2-7所示。设系统初始条件为零，选取变量如图，试绘制该系统的结构图。图2-7无源RC网络解首先，根据电路定律写出其微分方程(运动方程)组为在零初始条件下，对以上各式两边取拉普拉斯变换，得然后，根据各元部件在系统中的工作关系，确定其输入量和输出量，并按照各自的运动方程分别画出每个元部件的方框图，如图2-8(a)～(e)所示。图2-8无源RC网络各环节方框图最后，用信号线按信号流动方向依次将各元部件的方框连接起来，便得到了系统的结构图，如图2-9所示。图2-9无源RC网络结构图例2-8

图2-10所示为电枢电压控制的直流他励电动机，试绘制该系统的结构图。图2-10直流他励电动机解由图可列写出描述该系统的运动方程为在零初始条件下，对以上各式两边取拉普拉斯变换得按照各自的运动方程分别画出每个元部件的方框图，如图2-11(a)～(d)所示。图2-11直流他励电动机各环节方框图最后，将同一变量的信号线连接起来，并将输入Ua(s)放在图形左端，输出Ω(s)放在右端，就得到了系统结构图，如图2-12所示。图2-12直流他励电动机系统结构图

2.结构图的等效变换和简化

为了进一步对系统进行分析和研究，需要对结构图作一定的变换，以便求出系统的闭环传递函数。一个复杂的系统结构图，其方框间的连接是错综复杂的，但方框间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。因此，结构图简化的一般方法是引出点或比较点的前、后移动，进行方框运算，将串联、并联和反馈连接的方框合并。结构图的变换应按等效原则进行。所谓等效，即对方框图的任一部分进行变换时，变换前、后输入和输出总的数学关系式应保持不变。

1)串联方框的简化

传递函数分别为G1(s)和G2(s)的两个方框，若G1(s)的输出量作为G2(s)的输入量，则称G1(s)与G2(s)为串联连接，如图2-13(a)所示。(注意：两个串联连接元件的方框图应考虑负载效应。)

由图2-13(a)有

U(s)=G1(s)R(s)，C(s)=G2(s)U(s)

消去U(s)，得

C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)

(2-20)

式中G(s)=G1(s)G2(s)，是串联方框的等效传递函数，可用图2-13(b)所示的方框表示。由此可知，两个方框串联连接的等效方框，等于各个方框传递函数的乘积。这个结论可推广到n个串联方框的情况。图2-13方框的基本连接及其简化

2)并联方框的简化

传递函数分别为G1(s)和G2(s)的两个方框，如果它们有相同的输入量，而输出量等于两个方框输出量的代数和，则称G1(s)与G2(s)为并联连接，如图2-13(c)所示。

由图2-13(c)有

C1(s)=G1(s)R(s)，C2(s)=G2(s)R(s)，C(s)=C1(s)±C2(s)

消去C1(s)和C2(s)，得

C(s)=［G1(s)±G2(s)］R(s)=G(s)R(s)

(2-21)

式中G(s)=G1(s)±G2(s)，是并联方框的等效传递函数，可用图2-13(d)所示的方框表示。

3)反馈连接方框的简化

若传递函数分别为G(s)和H(s)的两个方框，按如图2-13(e)所示的形式连接，则称其为反馈连接。其中“+”号为正反馈，表示输入信号与反馈信号相加；“-”号则表示相减，是负反馈。

由图2-13(e)有

C(s)=G(s)E(s)，B(s)=H(s)C(s)，E(s)=R(s)±B(s)

消去中间变量E(s)和B(s)，得

C(s)=G(s)［R(s)±H(s)C(s)］

于是有

(2-22)

4)比较点和引出点的移动

在系统结构图简化过程中，有时为了便于进行方框的串联、并联或反馈连接的运算，需要移动比较点或引出点的位置。这时，应注意在比较点和引出点移动前、后必须保持信号的等效性，而且比较点和引出点之间一般不宜交换位置。此外，“-”号可以在信号线上越过方框移动，但不能越过比较点和引出点。表2-2汇集了结构图简化的基本规律，可供查用。例2-9

试简化图2-14所示系统结构图，并求出系统传递函数C(s)/R(s)。图2-14例2-9系统结构图解在图中，若不移动比较点或引出点的位置就无法进行方框的等效运算。为此，首先应用表2-2中等效运算关系(8)，将G3(s)与G4(s)两个方框之间的引出点后移到G4(s)方框的输出端，如图2-15(a)。其次，将G3(s)、G4(s)和H3(s)组成的内反馈回路简化，如图2-15(b)所示，其等效传递函数为

然后，将G2(s)、G34(s)、H2(s)和1/G4(s)组成的内反馈回路简化，如图2-15(c)所示，其等效传递函数为最后，将G1(s)、G23(s)和H1(s)组成的反馈回路简化，便求出系统的传递函数为例2-9还有其他变换方法，例如，可以先将G4(s)之后的引出点前移到G4(s)方框的输入端，或将比较点移动到同一点再加以合并等，读者不妨一试。在进行结构图等效变换时，变换前、后应注意保持信号的等效性。例如，图2-14中H2(s)的输入信号是G3(s)的输出，当将该引出点后移时，H2(s)的输入信号就变为G4(s)的输出信号了。为保持H2(s)的输入信号不变，应将G4(s)的输出信号乘以1/G4(s)便可还原为G3(s)的输出信号，故有图2-15(a)所示的系统结构图。图2-15例2-9系统结构图简化图2-16例2-10系统结构图例2-10

试简化图2-16所示系统结构图，并求出系统传递函数C(s)/R(s)。解在图中，G1(s)与G2(s)之间有交叉的比较点和引出点不能直接进行方框运算，但也不可简单地互换位置。最简便的方法是按表2-2中等效运算关系(5)和(8)分别将比较点前移、引出点后移，如图2-17(a)；然后按等效运算关系(2)进一步将其简化为图2-17(b)；最后按等效运算关系(3)便可求出系统传递函数为图2-17例2-10系统结构图简化2.3.2控制系统的信号流图

1.信号流图的组成和性质

信号流图是表示线性方程组变量间关系的一种图示方法，将信号流图用于控制理论中，可不必求解方程就得到各变量之间的关系，既直观又形象。当系统方框图比较复杂时，可以将它转化为信号流图，并可据此采用梅逊(Mason)公式求出系统的传递函数。

信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。图中的节点代表方程式中的变量，用一小圆圈表示；支路是连接两个节点的定向线段，用支路增益表示方程式中两个变量的因果关系，因此支路相当于乘法器。图2-18(a)所示是两个节点一条支路的信号流图，其中两个节点分别代表电流I和电压U，支路增益是电阻R。该图表明，电流I沿支路传递并增大R倍而得到电压U，即U=IR，这是众所周知的欧姆定律，它决定了通过电阻R的电流与电压间的定量关系，如图2-18(b)所示。图2-19是由五个节点和八条支路组成的信号流图，图中五个节点分别代表x1、x2、x3、x4和x5五个变量，每条支路增益分别是a、b、c、d、e、f、g和1，由图可以写出描述五个变量因果关系的一组代数方程式：

x1=x1，x2=x1+ex3，x3=ax2+fx4，x4=bx3，x5=dx2+cx4+gx5图2-18欧姆定律与信号流图图2-19典型的信号流图

2.信号流图的绘制

信号流图可以根据微分方程绘制，也可以从系统结构图按照对应关系得到。

任何线性方程都可以用信号流图表示，但对含有微分或积分的线性方程，一般应通过拉普拉斯变换，将微分方程或积分方程变化为s的代数方程后再画信号流图。绘制信号流图时，首先要对系统的每个变量指定一个节点，并按照系统中每个变量的因果关系，从左向右顺序排列；然后用标明支路增益的支路根据数学方程式将各节点变量正确连接，便可得到系统的信号流图。例2-11

试绘制图2-20所示的RC电路的信号流图。设电容初始电压为u1(0)。

解由基尔霍夫定律，列写该电路的微分方程：

式中，ui(t)是输入电压；uo(t)是输出电压；u1(t)是电容器端电压。考虑题中设电容初始电压为u1(0)，对上述微分方程式进行拉普拉斯变换，则有图2-20RC电路图按照因果关系，将各变量重新排列得到下述方程：对变量Ui(s)、Ui(s)－Uo(s)、I1(s)、I2(s)、I(s)、Uo(s)及u1(0)分别设置七个节点，并自左至右顺序排列；然后按照方程中各变量的因果关系，用相应增益的支路将各节点连接起来，便得到该电路的信号流图，如图2-21所示。图2-21例2-11的信号流图图2-22例2-12系统的结构图

例2-12

试绘制图2-22所示系统结构图对应的信号流图。解首先，在系统结构图的信号线上标注各变量，如图2-23(a)所示。其次，将各节点按原来顺序自左向右排列，将连接各节点的支路与结构图中的方框相对应，即将结构图中的方框用具有相应增益的支路代替，并连接有关节点，便得到系统的信号流图，如图2-23(b)所示。图2-23例2-12系统的信号流图

3.梅森增益公式及其应用

从一个复杂的系统信号流图上，经过简化可以求出系统的传递函数，但这个过程有时是非常麻烦的。控制工程中常应用梅森(Mason)增益公式直接求取从源节点到阱节点的传递函数，而不需要简化信号流图，这就为信号流图的应用提供了方便。当然，由于系统结构图和信号流图之间有对应关系，因此，梅森增益公式同样也可直接用于系统结构图。

对具有任意条前向通路及任意个单独回路和不接触回路的复杂信号流图，求取从任意源节点到任意阱节点之间传递函数的梅森增益公式记为

(2-24)例2-13

试用梅森增益公式求例2-9所示系统的传递函数(C(s)/R(s)。

解在系统结构图中使用梅森增益公式时，应特别注意区分不接触回路。为了便于观察，将与图2-14所示的系统结构图对应的信号流图绘制出来，如图2-24所示。图2-24与图2-14对应的系统信号流图由图2-24可见，从源节点R到阱节点C有一条前向通路，其总增益p1=G1G2G3G4；有三个单独回路，回路增益分别为L1=－G2G3H2，L2=－G3G4H3，L3=－G1G2G3G4H1；没有不接触回路，且前向通路与所有回路均接触，故余因子式Δ1=1。因此，由梅森增益公式求得系统的传递函数为显然，上述结果与在例2-9中用结构图变换所得的结果相同。图2-25例2-14的信号流图

例2-14

试求图2-25所示信号流图中的传递函数C(s)/R(s)。解在本例中，单独回路有四个，则两个互不接触的回路有四组，则三个互不接触的回路有一组，则因此信号流图的特征式为从源节点R到阱节点C的前向通路共有四条，其前向通路总增益以及余因子式分别为

p1=G1G2G3K，Δ1=1

p2=G2G3K，Δ2=1+G1

p3=G1G3K，Δ3=1+G2

p4=－G1G2G3K，Δ4=1

由梅森增益公式得到系统的传递函数为2.3.3控制系统的传递函数

反馈控制系统在工作过程中通常会受到给定输入和扰动输入的作用，系统的输出响应是由这两类输入共同作用的结果。由传递函数的定义可知，我们得不出一个既考虑给定输入又考虑干扰输入的传递函数，但是，对于线性定常系统，却可以通过给定输入与其相应输出间的传递函数和扰动输入与其相应输出间的传递函数来分别计算它们单独作用时的输出，然后利用叠加原理就可以得到既考虑给定输入又考虑扰动输入的输出响应。此外，在控制系统的分析和设计中，还常用到在输入信号或扰动作用下，以误差信号作为输出量的闭环偏差传递函数。下面我们根据典型反馈控制系统来讨论系统的几种传递函数的概念。一个典型的反馈控制系统的结构图和信号流图如图2-26所示。图中R(s)和N(s)都是施加于系统的外作用，(其中R(s)是系统的给定输入作用，简称输入信号；N(s)是扰动作用)，C(s)是系统的输出信号，E(s)是系统的误差信号，B(s)是系统的反馈信号。图2-26典型反馈控制系统的结构图和信号流图

1.控制系统的开环传递函数(这里暂不考虑扰动作用)

开环传递函数并不是开环系统的传递函数，而是指闭环系统的开环传递函数，它等效为主反馈断开时，从输入信号R(s)到反馈信号B(s)之间的传递函数。即开环传递函数等于前向通路传递函数与反馈通路传递函数的乘积，可由下式表示：

Gk(s)=G1(s)G2(s)H(s)

(2-25)

对于单位反馈系统，反馈通路传递函数H(s)=1，此时，该系统的开环传递函数就等于前向通路传递函数。

2.控制系统的闭环传递函数

对于图2-26所示典型反馈控制系统来说，其闭环传递函数分为两种：其一为输入作用下的闭环传递函数；其二为扰动作用下的闭环传递函数。

应用叠加原理，令N(s)=0，可直接求得输入信号R(s)到输出信号C(s)之间的闭环传递函数为(2-26)由式(2-26)可进一步求得在输入信号作用下系统的输出量C(s)为(2-27)再应用叠加原理，令R(s)=0，可直接求得扰动作用N(s)到输出信号C(s)之间的闭环传递函数为

(2-28)同样，可求得系统在扰动作用下的输出量C(s)为(2-29)显然，当输入信号R(s)和扰动作用N(s)同时作用于系统时，系统的输出量C(s)应为上式如果满足|G1(s)G2(s)H(s)|＞＞1和|G1(s)H(s)|＞＞1的条件，则可简化为(2-30)上式表明，在一定条件下，系统的输出只取决于反馈通路传递函数H(s)及输入信号R(s)，既与前向通路传递函数无关，也不受扰动作用的影响。特别是当H(s)=1时，C(s)≈R(s)，从而实现了输出信号对输入信号的完全复现，且对扰动具有较强的抑制能力。

3.闭环系统的误差传递函数

闭环系统在输入信号和扰动信号作用时，以误差信号E(s)作为输出量时的传递函数称为误差传递函数。它们可由图2-26很容易求得，分别为(2-31)(2-32)最后要指出的是，对于图2-26所示的典型反馈控制系统，其各种闭环传递函数的分母形式均相同，这是因为它们都是同一个信号流图的特征式，即Δ=1+G1(s)G2(s)H(s)，式中G1(s)G2(s)H(s)是回路增益，正好就是系统的开环传递函数。此外，对于图2-26所示的线性系统，应用叠加原理可以研究该系统在各种情况下的输出量C(s)或误差E(s)，然后进行叠加，求出∑C(s)或∑E(s)。但是，决不允许将各种闭环传递函数进行叠加后求其输出响应。

2.4Matlab应用实例

2.4.1传递函数的Matlab表示及相互转换

1.传递函数模型

单输入/单输出线性连续系统的传递函数为，m≤n

Matlab中多项式用行矢量表示，行矢量元素依次为降幂排列的多项式各项的系数。

num=［b0，b1，b2，…，bm］；分子多项式系数矢量

den=［a0，a1，a2，…，an］；分母多项式系数矢量则线性连续系统的传递函数在Matlab中可表示为

sys=tf(num，den)对于复杂的表达式，可调用多项式乘法函数conv()，如可由下列语句来描述＞＞num=conv(［1，1］，conv(［1，2，6］，［1，2，6］))；＞＞den=conv(［1，0，0］，conv(［1，3］，［1，2，3，4］))；＞＞G=tf(num，den)其运行结果得到传递函数的表达式为

2.控制系统的零、极点模型

传递函数可以是时间常数形式，也可以是零、极点形式，而零、极点形式是分别对原系统传递函数的分子和分母进行因式分解得到的。Matlab控制系统工具箱提供了零、极点模型与时间常数模型之间的转换函数，其调用格式分别为

［z，p，k］=tf2zp(num，den)

［num，den］=zp2tf(z，p，k)

其中第一个函数可将传递函数模型转换成零、极点表示形式，而第二个函数可将零、极点表示方式转换成传递函数模型。例如

用Matlab语句表示为

＞＞num=［12,24,12,20］；den=［2,4,6,2,2］；

＞＞［z，p，k］=tf2zp(num，den)

z=－1.9294

p=－0.9567＋1.2272i

－0.0353＋0.9287i

－0.9567－1.2272i

－0.0353－0.9287i

－0.0433＋0.6412i

－0.0433－0.6412i

k=6

即变换后的零、极点模型为

可以验证Matlab的转换函数，通过调用zp2tf()函数，将得到原传递函数模型为

>>［num，den］=zp2tf(z，p，k)

num=