2024-2025学年上海交大附中高一（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海交大附中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在“①难解的题目；②方程x2+1=0在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是(

)A.②③ B.①③ C.②④ D.①②④2.已知幂函数y=(m3−m+1)x2+3m−2m2是奇函数，且在A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.已知互不相等的正数a、b、c满足a2+c2A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b4.对任意x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，下列性质错误的是(

)A.存在x∈R，使得[5x]=5[x]+2

B.任意x∈R，使得[x]+[x+12]=[2x]

C.任意x、y∈R，满足[x]=[y]，则|x−y|<1

D.任意x、二、填空题：本题共12小题，共54分。5.在实数范围内，1681的四次方根是______．6.已知{0,x}⊂{0,4,x}，则x7.比较下列两数的大小关系，0.2400______0.3500的大小(填>、<或=符号)．8.关于x的不等式ax−1x−a≤0的解集为A.若3∈A，4∉A，则a的取值范围是______．9.函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域是R10.已知f(x)=x+3x−2，g(x)=f(x),x≥0f(−x),x<0，则方程11.在区间[−2,2]上恰有一个x满足方程2mx2−x−1=0，则m12.已知a是常数，命题p：存在实数x，使得a⋅2x+21−x−2<0.13.函数y=k=13(k⋅|x+(−1)14.已知x>0，则x⋅x215.已知f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)，记集合A={x|f(x)≤0}，B={x|f(f(x)+1)≤0}.若A=B≠⌀，则a16.已知f(x)=1x+1x−2+1x−4+1，g(x)=3⋅2x−102x−2+1.函数y=f(x)的图像是一个中心对称图形.若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像交点分别为(x三、解答题：本题共6小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

解下列关于x的不等式：

(1)log57|3x+5|≤log18.(本小题14分)

已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx

(x∈R)是偶函数．

(1)求k的值；

(2)19.(本小题14分)

某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中x%(0<x<100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f(x)=30,0<x≤302x+1800x−80,30<x<100(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为50分钟．

试根据上述分析结果回答下列问题：

(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2)求该地上班族S20.(本小题18分)

问题：正实数a、b满足a+b=1，求1a+2b的最小值.其中一种解法是：1a+2b=(1a+2b)(a+b)=1+ba+2ab+2≥3+22，当且仅当ba=2ab且a+b=1时，即a=2−1且b=2−2时取等号，故而1a+2b的最小值是3+22．

21.(本小题18分)

已知函数y=f(x)的定义域为R，现有下面两种对y=f(x)变换的操作：

φ变换：y=f(x)→y=f(x)−f(x−t)，其中t>0．

ω变换：y=f(x)→y=|f(x+t)−f(x)|，其中t>0．

(1)若f(x)=3x，t=1，对y=f(x)进行φ变换后得到函数y=g(x)，解方程g(x)=2．

(2)若f(x)=x2，对y=f(x)进行ω变换后得到函数y=ℎ(x)，解不等式f(x)≥ℎ(x)．

(3)若函数y=f(x)在(−∞,0)上是严格增函数，对函数y=f(x)先作φ变换，再作ω变换，得到函数y=ℎ1(x)，对函数y=f(x)先作ω变换，再作φ变换，得到函数y=ℎ2(x).22.(本小题12分)

已知函数y=f(x)在R上连续，且f(x)⋅f(x+1)⋅f(x+2)=f(x)+f(x+1)+f(x+2)>0恒成立，则f(x)=3参考答案1.A

2.A

3.B

4.D

5.±23

6.1或4

7.<

8.(19.[0,4)

10.3

11.[−112.[113.{x|1≤x≤3}

14.615.[−2,2]

16.12

17.解：(1)因为对数函数f(x)=log57x为(0,+∞)上的减函数，

由log57|3x+5|≤log57(6−x)可得|3x+5|≥6−x6−x>0，解得x≤−112或14≤x<6，

故原不等式的解集为(−∞,−112]∪[118.解：(1)由函数f(x)=log4(4x+1)+kx(x∈R)是偶函数．

可知f(x)=f(−x)

∴log4(4x+1)+kx=log4(4−x+1)−kx

即log44x+14−x+1=−2kx

19.解：(1)当0<x≤30时，f(x)=30<50恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；

当30<x<100时，若50<f(x)，即2x+1800x−80>50，解得x<20(舍)或x>45；

所以当45<x<100时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间

(2)设该地上班族总人数为n，则自驾人数为n·x%，乘公交人数为n·(1−x%)．

因此人均通勤时间整理得：g(x)=50−x5,0<x≤30150(x−32.5)2+46.875,30<x<100，

因为g(x)在(0,30]和(30,32.5]为减函数，在(32.5,100]20.解：(1)因为a+b=1，a>0，b>0，

所以a+1+b+2=4，

所以12a+b+4b+2=1a+a+b+4b+2=1a+1+4b+2，

所以12a+b+4b+2=14[(a+1)+(b+2)](1a+1+4b+2)，

=14[5+4(a+1)b+2+b+2a+1]≥14(5+4)=94，

当且仅当4(a+1)b+2=b+2a+1a+b=1，即a=13b=23时等号成立，

故12a+b+4b+2取得最小值94．

(2)①因为x2a2−y2b2=1，

所以a2−b2=(a2−b221.解：(1)由f(x)=3x，t=1，对y=f(x)进行φ变换后，

得y=g(x)=f(x)−f(x−1)=3x−3x−1=2×3x−1=2，

即3x−1=1，解得x=0；

(2)由f(x)=x2，对y=f(x)进行ω变换后得到函数y=ℎ(x)=|f(x+t)−f(x)|

=|(x+t)2−x2|=|2xt+t2|，

又f(x)≥ℎ(x)，即x2≥|2xt+t2|，t>0，

则当2xt+t2≥0，即x≥−t2时，x2≥2xt+t2，

解得x≤(1−2)t或x≥(1+2)t，即−t2≤x≤(1−2)t或x≥(1+2)t；

当2xt+t2<0，即x<−t2时，x2≥−2xt−t2，即(x+t)2≥0，不等式恒成立，即x<−t2；

综上所述，x的范围为{x|x≤(1−2)t或x≥(2+1)t}；

(3)证明：由题意对函数y=f(x)先作φ变换可得u(x)=f(x)−f(x−t)，

再作ω变换，得到函数ℎ1(x)=|u(x+t)−u(x)|=|[f(x+t)−f(x)]−[f(x)−f(x−t)]|，

对函数y=f(x)先作ω变换可得v(x)=|f(x+t)−f(x)|，

再作22.解：根据题意，函数y=f(x)在R上连续，且满足f(x)⋅f(x+1)⋅f(x+2)=f(x)+f(x+1)+f(x+2)①，

则有f(x+1)⋅f(x+2)⋅f(x+3)=f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)②，

①−②可得：f(x+1)⋅f(x+2)⋅[f(x+3)−f(x)]=f(x+3)−f(x)，

变形可得：[f(x+1)⋅f(x+2)−1]⋅[f(x+3)−f(x)]=0，

则有f(x+1)⋅f(x+2)−1=0或者f(x+3)−f(x)=0，

当f(x+1)⋅f(x+2)−1=0时，f(x)⋅f(x+1)⋅f(x+2)=f(x)+f(x+1)+f(x+2)=f(x+2)，

此时f(x)+f(x+1)=0，

与f(x+1)⋅f(x+2)−1=0不会同时成立，故f(x+1)⋅f(x+2)−1≠0，

所