人教版七年级数学下册分类集训专题111期中期末专项复习之相交线与平行线十八大(原卷版+解析)

专题1L1相交线与平行线十八大必考点

【人教版】

【考点1同位角、内错角、同旁内角的判断】....................................................1

【考点2三线八角中的截线问题】..............................................................2

【考点3根据平行线的判定与性质进行证明】....................................................3

【考点4直线旋转中的平行线的判定】...........................................................5

【考点5与垂线有关的角度计算或证明】.........................................................6

【考点6利用平行线的判定与性质计算角度】....................................................8

【考点7平行线的性质在生活中的应用】.........................................................9

【考点8利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】.........................................11

【考点9平行线的运用（单一辅助线）】........................................................12

【考点10平行线的运用（多条辅助线）】........................................................14

【考点11平行线在折叠问题的运用】............................................................16

【考点12平行线在三角尺中的运用】...........................................................17

【考点13平行线中的规律问题】...............................................................19

【考点|4平行线中的转角问题】...............................................................21

【题型15生活中的平移现象】..................................................................22

【题型16图形的平移】........................................................................23

【题型17利用平移的性质求解】...............................................................24

【题型18利用平移解决实际问题】.............................................................25

【考点1同位角、内错角、同旁内角的判断】

【例1】（2022•河南新乡•七年级期末）如图所示，下列说法不正确的是（）

A.团1和团2是同旁内角B.m1和（33是对顶角

C.明和（34是同位角D.团1和04是内错角

【变式1-1］（2022•青海•中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大

拇指代表被裁直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（）

A.同旁内角、同位角、内错角

B.同位角、内错角、对顶角

C.对顶角、同位角、同旁内角

D.同位角、内错角、同旁内角

【变式1-2］（2022•河北保定•七年级期末）如图所示，下列说法错误的是（

A.（3C与131是内错角

B.团2与03是内错角

C.国A与田B是同旁内角

D.鼬与相是同位角

【变式1・3】（2022・河南•商水县希望初级中学七年级期末）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁

内角有c对，则a+b-c的值是

【考点2三线八角中的截线问题】

【例2】（2022•四川省广元市宝轮中学七年级期末）如图，已知（31和02是内错角，则下列表述正确的是（）

D

E

A.团1和回2是由.直线AD、AC被CE所截形成的

B.（31和（32是由直线AD、4。被8。所载形成的

C.阻和（32是由直线。4、OB被。石所载形成的

D.01和团2是由直线D4、08被AC所截形成的

【变式2・1】（2022•山东济宁•七年级期末）如图，乙4BD与，8。。是（）形成的内错角

A.直线4D、BC被直线BD所截B.直线4B、CD被直线BD所截

C.直线4B、CD被直线4C所截D.直线4。、8C被直线4c所截

【变式2-2］（2022•甘肃•陇西县巩昌中学七年级期末）如图，（32与明是直线、一被第一条直线

所截形成的

【变式2-3］（2022•全国•七年级）如图所示，从标有数字的角中找出:

⑴直线CD和AB被直线4C所载构成的内错角.

⑵直线和AC被直线所截构成的同位角.

⑶直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角.

【考点3根据平行线的判定与性质进行证明】

【例3】（2022•浙江台州•七年级期末）如图，已知：乙1=42,〃=〃）.求证：=

证明：0^1=z2（已知），

0II（）.

回乙4=/.BED（）.

（2乙4=4D（已知），

SZ.BED=ZD（等量代换）.

0||（）.

团,8=乙C（）.

【变式3-1］（2022•黑龙江•逊克县教师进修学校七年级期末）如图所示，ABWCD,直线E尸分别交AB,CD

于点G,H,HN是配）HG的平分线.

⑴如果GM是回8GE的平分线，（如图①）试判断并证明GM和HN的位置关系;

证明：04明ICD,

酿6GE=（两直线平行，同位角相等.）

（3GM是I3BGE的平分线，

0==之乙BGE

-------------------------------2

田HN是（3OHG的平分线

（3==-/.DHG

-------------------------------2

团团MGE=®NHG（等量代换）

回GMRHN的位置关系是,（）.

⑵如昊GM是财GH的平分线，（如图②）（1）中的结论还成立吗？（不必证明）

⑶如昊GM是团BGH的平分线，（如图③）（1）中的结论还成立吗？如果不成立，GM与A/N又有怎样的

位置关系？请直接写出你的猜想不必证明.

【变式3・2】（2022•辽宁葫芦岛•七年级期末）如图已如：AB\\CD,CD\\EF,AE平分即MUAC^CE,有以

下结论：®AB^EF；@201-04=90°；③2团3-回2=180。；④阳白4=135。，其中，正确的结论有.（填序

号）

【变式3-3］（2022•广东•广州市第四中学七年级期末）如图1,在四边形A8CO中，ADIIBC,SA=0C.

⑴求证：0B=0£＞；

（2）如图2,点七在线段上，点G在线段AD的延长线上，连接BG,财七6=213G,求证：8G是团E8C的

平分线；

（3）如图3,在（2）的条件下，点上在线段AD的延长线上，回EOC的平分线。〃交BG于点H,若（MBE=66。,

求（38"。的度数.

【考点4直线旋转中的平行线的判定】

【例4】（2022•河南洛阳•七年级期末）如图所示是跷跷板示意图，横板48绕中点。上下转动，立柱OC与

地面垂直，当横板AB的A端着地时，测得404。=28。，则在玩跷跷板时，小明坐在A点处，他上下最大可

以转动的角度为（）

B

A.28°B.56°C.62°D.84°

【变式4-1］（2022•山东临沂•七年级期末）如图将木条小b与c钉在一起，乙1=75。，要使木条a与b平

行，木条。顺时针旋转了35。，回2是（）

A.25°B.35°C.40°D.50°

【变式4・2】（2022•云南昆明•七年级期末）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC,DF

在同一条直线上，现将三角板OE尸绕点。顺时针旋转，当E尸第一次与A8平行时，土CDF的度数是（

A.15°B.30°C.45°D.75°

【变式4-3］（2022・湖南永州•七年级期末）如图，直线川I%，现将一个含30。角的直角三角板的锐角顶点B放

在直线L上，将三角板绕点B旋转，使直角顶点C落在A与，2之间的区域，边AC与直角。相交于点。，若41=

35°,则图中的乙2的值为（）

A.65°B.75°C.85°D.80°

【考点5与垂线有关的角度计算或证明】

【例5】（2022•湖南•测试•编辑教研五七年级期末）如图，已知用1=睡，02=03,FG幽C于G,你能说明8。

与4c互相垂直吗？

【变式5-1］（2022•安徽合肥•七年级期末）请补充完整下列推理过程及证明过程中的依据.

如图，已知0G〃B4,EF1BC,41=42.试证明：AD1BC.

解：因为DG〃BA（已知），

所以=.

因为/I=Z2（已知），

所以（等量代换），

所以£77/（）.

所以（两直线平行，同位角相等）

因为EF1BC（已知），

所以NE/B=90°（）.

所以乙4D9=90。（等量代换），

所以（垂直的定义）.

【变式5-2］（2022•江苏盐城•七年级期末）如图，AB1AC,垂足为4Nl=30。，zS=60°.

（1）AD与BC平行吗？为什么？

（2）根据题中的条件，能判断48与CO平行吗？如果能，请说明理由：如果不能，添加一个条件，使它们

平行：不必说明理由）.

【变式5・3】（2022•全国•七年级）己知：直线MN、PQ被AB所截，且MA0PQ,点C是线段A8上一定点,

点。是射线4N上一动点，连接CD

图1

⑴在图1中过点。作C£0CO,与射线交于七点.

①依题意补全图形；

②求证：0AOC+团8EC=90。；

⑵如图2所示，点尸是射线BQ上一动点，连接。凡0DCF=a,分别作团NDC与配下。的角平分线交于点G,

请用含有a的代数式来表示皿）GF,并说明理由.

【考点6利用平行线的判定与性质计算角度】

【例6】（2022•福建福州•七年级期末）如图，在△ABC中，点。，E分别在A8,AC上，点F,G在上,

E尸与0G交于点O,41+乙2=180。，LB=Z.3.

⑴判断OE与的位置关系，并证明；

⑵若乙4ED+NE尸C=118。，求乙4的度数.

【变式6-1］（2022•河南漂河•七年级期末）已知：如图，EL4=a4DE,0C=0E.

（1）若0EOC=3（3C,求团。的度数;

⑵判断BE与CO的位置关系，并证明你的猜想.

【变式6-2］（2022.广东湛江•七年级期末［如图所示，已知射线。叫04AC=Z.OAB=110°,£、r在上,

且满足匕尸08=，4。8,0£平分“0F,根据上述条件，解答下列问题：

（1）证明：0CII4B；

⑵求，E08的度数；

⑶若立行移动AB,那么NO8C:4OFC的值是否随之变化？若不变，求出这个比值；若变化,请说明理由.

【变式6-3］（2022•北京密云•七年级期末）已知：点C是幽OB的04边上一点（点C不与点O重合），

点。是0AO8内部一点，射线CO不与03相交.

图1图2

（1）如图1,0408=90。，团000=120。，过点0作射线0E,使得OE〃C»（其中点E在0AO8内部）.

①依据题意，补全图1：

②直接写出团BOE的度数.

（2）如图2,点尸是射线0B上一点，且点尸不与点O重合，当乙403=履0。＜。工180。）时，过点尸作射线

FH,使得"/〃C。（其中点”在0AOB的外部），用含a的代数式表示I3OC。与鲂"/的数量关系，并证明.

【考点7平行线的性质在生活中的应用】

【例7】（2022•湖北武汉•七年级期末）如图线段AB和CD表示两面镜子，且直线AB回直线CD,光线EF经

过镜子AB反射到镜子CD,最后反射到光线GH.光线反射时，回1=团2,03=04,下列结论：①直线EF平行于

直线GH；②回FGH的角平分线所在的直线垂直于直线AB：③回BFE的角平分线所在的直线垂直于团4的角平

分线所在的直线；④当CD绕点G顺时针旋转90时，直线EF与直线GH不一定平行，其中正确的是（）

AJ.①②③④rB.①②③C.②③D.①③

【变式7-1］（2022•江苏宿迁•七年级期末）实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和

被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图有两块互相垂直的平面镜MMNP,一束光线4B射在其中一

块MN上，经另外一块NP反射，两束光线会平行吗？若不平行，请说明理由，若平行，请给予证明

【变式7-2］（2022•浙江杭州•七年级期末）（1）若组成N1和N2的两条边互相平行，且41是N2的2倍小15。,

求的度数.

（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于48,EF与上拉杆CF形成的"=145。，主柱4D

垂直于地面，通过调整CF和后拉杆的位置来调整篮筐的高度.当4CDB=25。时，点H,D,8在同一直

线上，求NH的度数.

【变式7-3］（2022・湖南•师大附中梅溪湖中学七年级期末）梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（4B0CD）如

图所示，在湖道两岸安装探照灯P和。，若灯P射线自力逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自Q。

逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视.设灯P转动的速度是10度/秒,

灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心.

（1）若把灯P自力转至PB,或者灯Q自。。转至ac称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的

时间：

（2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求团PMQ；

（3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？

（备用图）

【考点8利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】

【例6】（2022•河北唐山•七年级期末）己如二角形ABC,交直线48于点K,0尸||43交直线AC于点£>.

图1备用图

⑴如图1,若点、F在边BC上,直接写出NB4c与NEFD的数量关系；

⑵若点尸在边BC的延长线上，（1）中的数量关系还成立吗？若成立，给子证明；若不成立，又有怎样的

数量关系，请在备用图中画出图形并说明理由.

【变式8-1］（2022•湖北襄阳•七年级期末）如图，已知AMIIBN,尸是射线AM上一动点（不与点A重合），

BC,8。分别平分0AB尸与团PBN,分别交射线AM于点C,D.

⑴若U=50。，求4C3D的度数；

⑵在点P的运动过程中，团加4与团8D4的数量关系是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请

求山自与团瓦乂的数量关系：

⑶当点P运动到使财C6=a4B。时，探究西8c与配）BN的数量关系，并证明你的结论.

【变式8・2】（2022•安徽合肥•七年级期末）已知：直线4例£。,经过直线42上的定点P的直线EP交CD于点

。，点M,N为直线CO上的两点，且点M在点。右侧，点N的左侧时，连接PM,PN,满足乙MPN=々MNP.

⑵如图2,射线PQ为乙MPE的角平分线，用等式表示乙NPQ与乙P0M之间的数量关系，并证明.

【变式8-3］（2022•湖北孝感•七年级期末）在三角形ABC中，点O在线段AC上，DEIIBC交AB于点区

点尸在线段4B上（点尸不与点4,E,B重合），连接DF,过点。作FG1FD交射线CB于点G.

⑴如图1,点尸在线段8E上，

①用等式表示缶EZ）尸与团BG尸的数量关系，并说明理由；

②如图，求证：/.ABC+/-BFG-/-EDF=90°；

⑵当点尸在线段AE上时，依题意,在图2中补全图形，请直接用等式表示E1ED产与（3BG产的数量关系，不

需证明.

【考点9平行线的运用（单一辅助线）】

【例9】（2022•四川德阳•七年级期末）已知：AB||CD,点P、Q分别在A3、CD上，在两直线间取一点£

图3

(1)如图1,求证：LE=LAPE+LCQEx

⑵将线段EQ沿OC平移至R7,4CG尸的平分线和乙4PE的平分线交于直线AB、C。内部一点”.

①如图2,若/E=90。，求NH的度数；

②如图3,若点/在直线AB、CO内部，且P/平分4BPE,连接H/,若〃一乙H=m。,zE=n°,请直接

写出小与〃的数量关系，不必证明.

【变式9-1](2022•广东梅州•八年级期末)已知：^AOB=a(0°<a<90°),一块三角板CQ七中，0CED

=90。，0CDE=30%将三角板CQE如图所示放置，使顶点C落在。8边上，经过点。作直线MNH08交

OA边于点M，且点M在点。的左侧.

图2

⑴如图1,若C£0OA,EF^MN,团V0E=45。，求a的度数;

⑵若IWOC的平分线。尸交。8边于点兄如图2,当。朋OA,且a=60。时，证明：CE3OA.

【变式9・2】(2022•陕西西安•八年级期末)在综合与实践课上，同学们以“•个含30。的直角三角尺和两条

平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a,b,且allb和直角三角形ABC,乙BCA=90°,^BAC=30°.

(1)在图1中,01=46°,求眨的度数;

⑵如图2,创新小组的同学把直线。向上平移,并把国2的位置改变，发现匕2-41=120。，说明理由;

⑶竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3,当AC平分团84M时，此时

发现电与团2又存在新的数量关系，请写出团1与国2的数量关系并证明.

【变式9・3】（2022.辽宁葫芦岛.七年级期末）如图1.点4在直线上，点8在直线ST上，点。在MM

ST之间，且满足@M4C+a4C8+aS8C=360。.

⑴证明：MNHST；

⑵如图2,若1aAe8=60。，ADWCB,点E在线段8C上，连接AE,^DAE=2XBT,试判断团C4E与E）C4N

的数量关系，并说明理由；

⑶如图3,若0AC8=45。，点E在线段BC上，连接AE,若酎必E=4回C87,直接写出回C4E：团CAN的值.

【考点10平行线的运用（多条辅助线）】

【例10】（2022•云南普洱•七年级期末）已知三角板A8C中，^BAC=60°,（38=30°,回。=90°,长方形DEFG

中，DEIIGF.如图（1）,若将三角板48c的顶点4放在长方形的边G尸上，BC与OE相交于点M,AB^DE

于点N.

⑴请你直接写出：0CAF=。，0EA/C=。.

⑵若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与OE不垂直），请你猜想田EMC与E1C4产的数量关系？并

说明理由.

⑶请你总结（1）,（2）解决问题的思路，在图（2）中探究回BAG与的数量关系？并说明理由.

【变式10-1】（2022•湖北武汉•七年级期末）直线A3IICE,8E-EC是一条折线段，5P平分乙4BE.

图1图2

(1)如图1,若BPIICE,求证：ZSFC4-ZDCF=180°；

(2)。。平分N0CE,直线5P,CQ交于点、F.

①如图2,写出NBEC和NBFC的数量关系，并证明；

②当点E在直线AB,CO之间时，若43£。=40。，直接写出4BFC的大小.

【变式10-2】(2022•广东•新丰县教育局教研室七年级期末)细观察，找规律.

(1)下列各图中的与平行.

②图②中的乙11+4&+々13=度.

③图③中的上力】+£A2+々I3+^4=度・

④图④中的4Al+2力2+4人3+4^4+45=度.

⑤第⑩个图中的乙41+乙42+^3+…+乙411=度.

⑥第n个图中的N&+Z-A2+Z-A3+…+44n+1=度.

(2)下列各图中4B〃CD.

①图甲中乙8、乙C、NBEC的数量关系是

②图乙中乙氏乙E,NG,乙F,乙。的数量关系是.

③图丙中/B,zF,zF,AG,Z.H,zM./C的数量关系是.

【变式10・3】（2022•北京师范大学附属实验中学分校七年级期末）已知，如图1,射线PE分别与直线A以

CD相交于E、尸两点，附尸。的平分线与直线AB相交于点M,射线PM交CD于点M设团PFM=a。，^EMF

=B。，且＜80-2。+|夕-40|=0

⑵如图2,若点G、”分别在射线M4和线段M尸上，R^MGH=^PNF,试找出囹/MN与团G”尸之间存在的

数量关系，并证明你的结论；

⑶若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3）,分别与AB、CD相交于点M/和点N/时，作

回尸M1B的角平分线M1Q与射线产M相交于点Q,问在旋转的过程中等的值是否改变？若不变，请求出其

值；若变化，请说明理由.

【考点11平行线在折叠问题的运用】

【例11】（2022•山东潍坊•七年级期末）将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边AD//BC,则翻折角乙1

与m2一定满足的关系是（）

A.乙1=242B.41+42=90°C.Z.1-Z.2=30°D.241-342=30°

【变式11-1】（2022•山东•滕州市龙泉街道滕东中学七年级期末）如图，四边形A8CO中，点M、N分别在

AB.BC上，将E1BMN沿MN翻折，得EIFMM若MHMO,FN^DC,则138=（）

D

iiir

A.60°B.70°C.80°D.90°

【变式11-2]（2022•全国•七年级单元测试）如图，在三角形ABC中，0ACB=9O%将三角形ABC向下翻折,

使点A与点C重合，折痕为DE.试说明：DE0BC.

A

BC

【变式11-3】（2022♦江苏•常州市第二十四中学七年级期末）在0ABC中，（3BAC=90。，点、D是BC上一点,

将0ABD沿A。翻折后得到（MED,边AE交8C于点F.

（1）如图①，当AEI3BC时，写出图中所有与（3B相等的角：：所有与（3C相等的角：.

⑵若配一团8=50°,（3B4O=x0（0V.H45）.

①求E1B的度数；

②是否存在这样的x的值，使得（3DE尸中有两个角相等.若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由.

【考点12平行线在三角尺中的运用】

【例12】（2022•浙江宁波•七年级期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，^BAC=45°,

^-DAC=30。.接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板ACO绕着点C按顺时针以每秒15。的速度旋转90。后

停止.在此旋转过程中，当旋转时间£=秒时，三角板AC。'有一条边与三角板ABC的一条边

恰好平行.

【变式12-1】（2022•河北•青县教育局教研室七年级期末）把一副直角三角尺按如图方式摆放，点C与点E重

合，BC边与EF边都在直线2上，若直线MMMC,且MN经过点D,则4CDN=

【变式12-2】（2022•四川达州•八年级期末）一副三角板AOE和A8C按如图1所示放置，点8在斜边

上，其中OE=13BAC=9O°,回。=45。，0C=3O°.现将三角板4DE固定不动，三角板ABC绕点A顺时针旋转

a（0°<a<180°）,使两块三角板至少有一组边互相平行，如图2,当团B4£）=15。时，BCIIDE,则闭BA。其

他所有可能符合条件的度数为.

【变式12-3】（2022•江苏苏州•七年级期末）在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC

上，LC=Z-DAE=90°,/-B=60°,4。=45。.小明将AAOE从图中位置开始，绕点4按每秒6。的速度顺

时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，边4B与边DE平行.

【考点13平行线中的规律问题】

【例13】（2022•山东泰安•期末）如图，ABWCD,点E为两直线之间的一点

图1图2图3图4

⑴如图1,若234£=35。，Z.DCE=20°,则乙4EC=；

（2）如图2,试说明，Z-BAE+LAEC+Z-ECD=360°；

（3）①如图3,若NBAE的平分线与4DCE的平分线相交于点凡判断乙4EC与乙4FC的数量关系，并说明理由；

②如图4,若设NE=m,乙BAF=：乙FAE,4DCF=：乙FCE,请直接用含m、n的代数式表示NF的度数.

【变式13-1】（2022•山东烟台•七年级期末）问题情境：

如图1,AB^CD,团以8=130。，0PCD=120°.求财PC的度数.小明的思路是：过户作/^皿从通过平行

线性质，可得随PCMMPE+EICPEMSOO+GOOMIIO。.

问题解决：

（1）如图2,AB0CD,直线/分别与AB、8交于点M、N,点P在直线/上运动，当点P在线段MN上运

动时：不与点M、N重合），^PAB=a,0PCD=p,判断（MPC、a、B之间的数量关系并说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时.请直接写出MPC、a、B之间的数

量关系；

（3）如图3,AB^CDt点?是48、C力之间的一点（点尸在点A、C右侧），连接孙、PC,4P和团0cp

的平分线交于点Q.若财PC=116。，请结合（2）中的规律，求财QC的度数.

图1图3

【变式13-2】（2022・四川•树德中学七年级期末）（1）如图①，已知A8IICD,图中乙1,42,N3之间有什

么关系？

（2）如图②，已知ABIIC。，图中/»1,乙2,乙3,乙4之间有什么关系？

（3）如图③，已知A8IIC。，请直接写出图中乙1,N2,N3,乙4,45之间的关系

（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？

【变式13-3】（2022•北京市第一零一中学温泉校区七年级期末）喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸

条的游戏.如图1,纸条的一组对边PN团QM（纸条的长度视为可延伸），在PN,QM上分别找一点A,B,

使得0ABM=a.如图2,将纸条作第一次折叠，使BAT与BA在同一条直线上，折痕记为8%.

Q

解决下面的问题:

（1）聪明的小白想计算当a=90。时，团8&N，的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全

问题并求解：如图3,PN0QM,A,B分别在PN,QM上，且（3ABM=90。，由折叠：8%平分,BM，⑦％—

求国8%”的度数.

（2）嗯颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿ARi折叠纸条（如图4）,是否有可

能使〃团BRi?如果能，请直接写出此时a的度数；如果不能，请说明理由.

（3）笑笑看完此题后提出了一个问题：当0。6490。时，将图2记为第一次折叠：将纸条展开，作第二次折

叠，使与BRi在同一条直线上，折痕记为BR2（如图5）；将纸条展开，作第三次折叠，使与BR?

在同一条直线上,折痕记为BR3：…以此类推.

①第二次折叠时，（用a的式子表示）；

②第n次折叠时，MRnM=（用a和n的式子表示）.

【考点14平行线中的转角问题】

【例14]（2022•黑龙江•绥棱县绥中乡学校匕年级期末）将两个等边二角形（每个内角都等于60。）如图1

叠放在一起，现将团CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为a（旋转角0。＜1＜360。，请探究下列问题：

⑴如图2,当旋转角满足（TVa460。时，请写出团5co与国4CE的关系，并说明理由；

⑵如图3,当旋转角满足60。VaW120。时，请写出国8CE与0ACO的关系，并说明理由；

⑶当DE〃B。时请直接写出旋转角的度数.

【变式14-1]（2022•福建泉州•七年级期末）现有一块含30。角的直角三角板力。8,其直角顶点。在直线，上,

将三角板4。8绕着点。按逆时针方向旋转22的度数（0。＜42V360。）.

请你解决下列问题:

⑴当42的度数为多少时，ABWI（不必说理）；

⑵如右图，作ACJ.2于点C,BD工1于点、D,试探究：图中提供的字母或数字能表示的所有角（不包含该图

中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，试写出所有相等的角，并说明理由；若不存在，请举例说明.

【变式14-2】（2022•河南・溪河市邸城区邸城初级中学七年级期末）如图1,已知PQIIMN,点4B分别

在MN,PQ上，且/BAN=45。，射线AM绕点A顺时针旋转至AN便立即逆时针回转（速度是//秒），射线

8P绕点8顺时针旋转至BQ便立即逆时针回转（速度是67秒）、且。、〃满足|。一3|+3-1）2=0,

（l）a=>b=；

⑵如图2,两条射线同时旋转，设旋转时间为/秒（tV60）,两条旋转射线交于点C,过C作CD1AC交PQ

于点O,求48/1C与NBCD的数量关系；

⑶若射线BP先旋转20秒，射线AM才开始旋转，设射线力M旋转时间为，秒（tV160）,若旋转中AM||BP,

求，的值.

【变式14-3】（2022•浙江湖州•七年级期末）如图1,已知直线ABIICD,zCM,V=60°,射线ME从MD出发,

绕点M以每秒a度的速度按逆时针方向旋转，到达MC后立即以相同的速度返回，到达MD后继续改变方向，

继续按上述方式旋转；射线N尸从NA出发，绕点N以每秒b度的速度按逆时针方向旋转，到达NB后停止运动,

此时ME也同时停止运动.其中a,b满足方程组｛；?广女:，.

⑴求a,b的值；

⑵若N尸先运动30秒，然后ME一起运动，设ME运动的时间为3当运动过程中MEIINF时，求£的值；

（3）如图2,若ME与N尸同时开始转动，在ME第一次到达MC之前，ME与N尸交于点P,过点P作PQ_LME于

点P,交直线4B于点Q,则在运动过程中，若设NNME的度数为m,请求出乙NPQ的度数（结果用含m的代

数式表示）.

【题型15生活中的平移现象】

【例15】（2022春・浙江湖州•七年级统考期末）下列现象中属于平移的是（）

①方向盘的转动；②打气筒打气时，活塞的运动：③钟摆的摆动；④汽车雨刷的运动

A.①②B.②③C.①②④D.②

【变式15-1】（2022春•重庆璧山•七年级校联考期中）今年4月，被称为“猪儿虫”的璧山云巴正式运行.云

巴在轨道上运行可以看作是（）

A.对称B.旋转C.平移D.跳跃

【变式15-2】（2022春•湖北宜昌•七年级统考期末）如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时

从点A出发爬到点8,只考虑路径、时间、路程等因素，下列结论正确的为C）

A.乙比甲先到B.甲比乙先到

C.甲和乙同时到D.无法确定哪只蚂蚁先到

【变式15-3]（2022春・广东广州•七年级统考期末）如图，人民公园内一块长方形草地上原有一条1m宽的

笔直小路，现要将这条小路改造成弯曲小路，小路的上边线向下平移1m就是它的下边线，那么改造后小路

的面积（）

A.变大了B.变小了C.没变D.无法确定

【题型16图形的平移】

【例16】（2022春•内蒙古兴安盟•七年级统考期末）2022年，中国举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会,

如图，通过平移吉祥物“冰墩墩〃可以得到的图形是（）

*】

AJ

A.B.

♦,

，

【变式16-1】（2022春・全国•七年级期末）卜列汽车标志中可以看作是由某图案平移得到的是（）

【变式16-2】（2022春•八年级单元测试）观察下列五幅图案，在②③④⑤中可以通过①平移得到的图

案是：）

【题型17利用平移的性质求解】

【例17】（2022春・广东江门•七年级统考期末）如图，长方形48co的长为8,宽A。为6,将这个长

方形向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到长方形EFG”,则阴影部分的面积为（）

A.30B.32C.36D.40

【变式17-1】（2022春•全国•七年级专题练习）如图，直角三角形ABC的周长为2021,在其内部有5个小直

角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与8C平行，则这5个小直角三角形周长的和为

【变式17-2】（2022秋•山东临沂•八年级校考期中）如图，将△ABC沿直线力B向右平移到达ABDE的位置,

若ZCAB=55°,4ABC=100°,则NC8E的度数为

【变式17-3】（2022春・广东韶关•七年级统考期中）如图，把边长为2的正方形的局部进行图①~图④的

变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（）

【题型18利用平移解决实际问题】

【例18】（2022春・北京西城•七年级北京市西城外国语学校校考期中）如图，公园里长为20米宽为10米

的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是,，平方米.

【变式18-1】（2022春・广东东莞•七年级东莞市光明中学校考期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅

主楼梯上铺设红色地毯，其侧面如图所示，则需地毯一米.

【变式18-2】（2022春・全国•七年级专题练习）如图（单位，m）,一块长方形草坪中间有两条宽度相等的

石子路（每条石子路间距均匀），请你求出草坪（阴影部分）的面积.

【变式18-3】（2022春・全国•七年级专题练习）图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10

个单位长度，宽均为5个单位长度）

在图1中，将线段48向上平移1个单位长度到A夕，得到封闭图形（阴影部分）；

在图2中，将折线4BC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线ABC得

到封闭图形AABC'CB（阴影部分）.

Cf小路

图1图2国3图4

问题解决:

⑴在图3中，请你类似地画一条有两个“折点〃的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图

形，并用斜线画出阴影部分：

⑵设图L图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为品、S2,则&=平方单位；并比较大小：S】

S2（填或"V"）；

⑶联想与探索：如图4.在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长

方形的长为宽为b,请你直接写出空白部分表示的草地的面积是平方单位.（用含小力的式

子表示）

专题1L1相交线与平行线十八大必考点

【人教版】

【考点1同位角、内错角、同旁内角的判断】...................................................27

【考点2三线八角中的截线问题】..............................................................29

【考点3根据平行线的判定与性质进行证明】...................................................31

【考点4直线旋转中的平行线的判定】.........................................................37

【考点5与垂线有关的角度计算或证明】.......................................................40

【考点6利用平行线的判定与性质计算角度1..............................................................................44

【考点7平行线的性质在生活中的应用】.......................................................48

【考点8利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】........................................54

【考点9平行线的运用（单一犍助线）】.......................................................60

【考点10平行线的运用（多条轴助线）】.......................................................67

【考点11平行线在折叠问题的运用】............................................................76

【考点12平行线在三角尺中的运用】............................................................80

【考点13平行线中的规律问题】................................................................84

【考点14平行线中的转角问题】................................................................92

【题型15生活中的平移现象】..................................................................99

【题型16图形的平移】.......................................................................101

【题型17利用平移的性质求解】...............................................................103

【题型18利用平移解决实际问题】.............................................................105

»力注，?三

【考点1同位角、内错角、同旁内角的判断】

[例1]（2022•河南新乡•七年级期末）如图所示，下列说法不正确的是（）

A.和02是同旁内角B.团1和团3是对顶角

C.团3和回4是同位角