趣味数学故事

趣味数学故事

数数（shUshCi）的故事

（一）整数的诞生

公共汽车上，有一位年轻的妈妈抱着她的小宝宝坐在车窗边，她正在教她的小

宝宝数数呢。她伸出一个手指问：“这是几呀？”正在咿呀学语的小孩望了望妈妈,

答道：“一”。妈妈伸出了两个手指问：“这是几呀？”小孩想了想答道：“二”。

妈妈又伸出三个手指，小孩犹豫了好一阵，回答：“三。”再伸四个手指时，小孩

答不出来了。在这个小孩看来，那些手指实在太多了，他已经数不清了。其实，能

数到三，对一个黄口孺子来说，已经很不简单了。

要知道，学会数数，那可是人类经过成千上万年的奋斗才得到的结果。如果我

们穿过“时间隧道”来到二、三百万年前的远古时代，和我们的祖先一类人猿在一

起，我们会发现他们根本不识数，他们对事物只有“有”与“无”这两个数学概念。

类人猿随着直立行走使手脚分工，通过劳动逐步学会使用工具与制造工具，并产生

了简单的语言，这些活动使类人猿的大脑日趋发达，最后完成了由猿向人的演化。

这时的原始人虽没有明确的数的概念，但已由“有”与“无”的概念进化到“多”

与“少”的概念了。“多少”比“有无”要精确。这种概念精确化的过程最后就导

致“数”的产生。

上古的人类还没有文字，他们用的是结绳记事的办法（《周易》中就有“上古

结绳而治，后世圣人，易之以书契”的记载）。遇事在草绳上打一个结，一个结就

表示一件事，大事大结，小事小结。这种用结表事的方法就成了“符号”的先导。

长辈拿着这根绳子就可以告诉后辈某个结表示某件事。这样代代相传，所以一根打

了许多结的绳子就成了一本历史教材。本世纪初，居住在琉球群岛的土著人还保留

着结绳记事的方法。而我国西南的一个少数民族，也还在用类似的方法记事，他们

的首领有一根木棍，上面刻着的道道就是用于记事的。

又经过了很长的时间，原始人终于从一头野猪，一只老虎，一把石斧，一个

人，……这些不同的具体事物中抽象出一个共同的数字一“1”。数“1”的出现对

人类来说是一次大的飞跃。人类就是从这个“1”开始，又经过很长一段时间的努力,

逐步地数出了“2”、“3”……，对于原始人来说，每数出一个数（实际上就是每

增加一个专用符号或语言）都不是简单的事。直到本世纪初，人们还在原始森林中

发现一些部落，他们数数的本领还很低。例如在一个马来人的部落里，如果你去问

一个老头的年龄，他只会告诉你：“我8岁”。这是怎么回事呢？因为他们还不会

数超过“8”的数。对他们来说，“8”就表示“很多”。有时，他们实在无法说清

自己的年龄，就只好指着门口的棕桐树告诉你：“我跟它一样大。”

这种情况在我国古代也曾发生并在古汉语中留下了痕迹。比如“九霄”指天的

极高处，“九派”泛指江河支流之多，这说明，在一段时期内，“九”曾用于表示

“很多”的意思。

总之，人类由于生产、分配与交换的需要，逐步得到了“数”，这些数排列起

来，可得

1,2,3,4,••••••,10,11,12,

这就是自然数列。

可能由于古人觉得，打了一只野兔又吃掉，野兔已经没有了，“没有”是不需

要用数来表示的。所以数“0”出现得很迟。换句话说，零不是自然数。

后来由于实际需要又出现了负数。我国是最早使用负数的国家。西汉（公元前

二世纪）时期，我国就开始使用负数。《九章算术》中已经给出正负数运算法则。

人们在计算时就用两种颜色的算筹分别表示正数和负数，而用空位表示“0”，只是

没有专门给出0的符号。“0”这个符号，最早在公元五世纪由印度人阿尔耶婆哈答

使用。

到这时候，“整数”才完整地出现了。

（二）关于十进制

我们每个人都有两只手，十个手指，除了残疾人与畸型者。那么，手指与数学

有什么关系呢？

上篇开头讲的妈妈教孩子学数数时伸出了手指，大概所有的人都是这样从手指

与数字的对应来开始学习数的。手指是人类最方便、也是最古老的计数器。

让我们再穿过“时间隧道”回到几万年前吧，一群原始人正在向一群野兽发动

大规模的围猎。只见石制箭跳与石制投枪呼啸着在林中掠过，石斧上下翻飞，被击

中的野兽在哀嚎，尚未倒下的野兽则狼奔豕突，拼命奔逃。这场战斗一直延续到黄

昏。晚上，原始人在他们栖身的石洞前点燃了篝火，他们围着篝火一面唱一面跳，

欢庆着胜利，同时把白天捕杀的野兽抬到火堆边点数。他们是怎么点数的呢？就用

他们的“随身计数器”吧。一个，二个，……，每个野兽对应着一根手指。等到十

个手指用完，怎么办呢？先把数过的十个放成一堆，拿一根绳，在绳上打一个结，

表示“手指这么多野兽”（即十只野兽）。再从头数起，又数了十只野兽，堆成了

第二堆，再在绳上打个结。这天，他们的收获太丰盛了，一个结，二个结，……，

很快就数到手指一样多的结了。于是换第二根绳继续数下去。假定第二根绳上打了3

个结后，野兽只剩下6只。那么，这天他们一共猎获了多少野兽呢？1根绳又3个

结又6只，用今天的话来说，就是

1根绳=10个结，1个结=10只。

所以1根绳3个结又6只=136只。

你看，“逢十进一”的十进制就是这样得到的。现在世界上几乎所有的民族都

采用了十进制，这恐怕跟人有十根手指密切相关。当然，过去有许多民族也曾用过

别的进位制，比如玛雅人用的是二十进制。我想，大家一定很清楚这是什么原因：

他们是连脚趾都用上了。我国古时候还有五进制，你看算盘上的一个上珠就等于五

个下珠。而巴比仑人则用过六十进制，现在的时间进位，还有角度的进位就用的六

十进制，换算起来就不太方便。英国人则用的是十二进制（1英尺=12英寸，1萝=12

打，1打=12个）。

大家再动动脑筋，想一想，在我们的日常生活中还用到过什么别的进制吗？

（三）谈记数法

我们再追溯到五千到八千年前看一看，这时，四大文明古国都早已从母系社会

过渡到父系社会了，生产力的发展导致国家雏形的产生，生产规模的扩大则刺激了

人们对大数的需要。比如某个原始国家组织了一支部队，国王陛下总不能老是说：

“我的这支战无不胜的部队共计有9名士兵！”于是，慢慢地就出现了“十”、“百”、

“千”、“万”这些符号。在我国商代的甲骨文上就有“八日辛亥允戈伐二千六百

五十六人”的刻文。即在八日辛亥那天消灭敌人共计2656人。在商周的青铜器上也

刻有一些大的数字。以后又出现了“亿”、“兆”这样的大数单位。

而在古罗马，最大的记数单位只有“千”。他们用M表示一千。“三千”则写

成“MMM”。“一万”就得写成“MMMMMM—MMMM"。真不敢想象，如果他们需要记一

千万时怎么办，难道要写上一万个M不成？

总之，人们为了寻找记大数的单位是花了不少脑筋的。笔者幼时在农村读私塾,

私塾先生告诉我们这些懵懂顽童：“最大的数叫‘猴子翻跟斗'”。这位私塾先生

可能认为孙悟空一个跟斗翻过去的路程是最最远的，不能再远了，所以完全可以用

“猴子翻跟斗”来表示最大的数。在古印度，使用了一系列大数单位后，最后的最

大的数的单位叫做“恒河沙”。是呀，恒河中的沙子你数得清吗！

然而，古希腊有一位伟大的学者，他却数清了“充满宇宙的沙子数”，那就是

阿基米德。他写了一篇论文，叫做《计沙法》，在这篇文章中，他提出的记数方法,

同现代数学中表示大数的方法很类似。他从古希腊的最大数字单位“万”开始，引

进新数“万万（亿）”作为第二阶单位，然后是“亿亿”（第三阶单位），“亿亿

亿”（第四阶单位），等等，每阶单位都是它前一阶单位的1亿倍。

阿基米德的同时代人、天文学家阿里斯塔克斯曾求出地球到天球面距离10,000,

000,000斯塔迪姆（1斯塔迪姆=188米），这个距离当然比现在我们所认识的宇宙

要小得多，这才仅仅是太阳到土星的距离。阿基米德假定这个“宇宙”里充满了沙

子。然后开始计算这些沙子的数目。最后他写道：

“显然，在阿里斯塔克斯计算出的天球里所能装入的沙子的粒数，不会超过一

千万个第八阶单位。”如果要把这个沙子的数目写出来，就是10,000,000X（100,

000,000），或者就得在1后边写上63个0：1,000,000,000,000,000,000,

000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000o这

个数，我们现在可以把它写得简单一些：即写成1X10"。而这种简单的写法，据说

是印度某个不知名的数学家发明的。

现在，我们还可更进一步把这种方法推广到记任何数，例如：32,000,000就

可记为3.2X107,而0.0000032则可记为3.2X10%这种用在1与10间的一个

数乘以10的若干次基的记数方法就是“科学记数法”。这种记数法既方便，又准确,

又简洁，还便于进行计算，所以得到了广泛的使用。

九九歌

春秋时代，齐桓公（公元前685—前643年在位）想争霸中原，于是想方设法广

罗人才。他听从管仲的建议，设立了“招贤馆”，但设馆近一年却无人应召。齐桓

公颇为着急，一天，有一个老汉来应召，齐桓公很高兴，立刻接见这个老汉。齐桓

公问他：“老先生有什么本领呀？”老头说：“我没什么本领，我只会‘九九歌'"。

齐桓公听了鄙夷地一笑：“会九九歌有什么稀奇，这不过是雕虫小技，光靠这一点

恐怕算不上贤士吧！你还有什么别的本领吗？”老头说：“我确实没有别的本事。

不过，如果您对我这个只懂'九九歌'的人都以礼相待，传闻出去，大家都会认为

你确实求贤若渴，礼贤下士，这样，何愁天下贤士不闻风而来呢？”齐桓公认为他

说得有理，就把他请进招贤馆，待之以上宾。果然，半年不到，有本领的人纷至沓

来。齐桓公重用这批人，终于使国家强盛起来，成了春秋五霸之首。这个故事记录

在《韩诗外传》里，从中表明在我国古代人们是熟练掌握“九九表”的。

“九九表”传说为伏羲所制，《管子》、《荀子》中都有记载。“九九表”就

是乘法口诀表，不过古时的口诀是从“九九八十一”开始的，故称“九九歌”。总

之，乘法口诀表在我国已有几千年的历史了。然而，在西欧直至中世纪，乘法口诀

还不为一般人所知。十七世纪中叶，英国人佩皮斯虽已获得剑桥大学的硕士学位，

当了英国的掌玺官，但他还不会九九表。后来他花了好多天才跟别人学会了这个对

他说来是“前所未有地艰难”的九九表。而在他学会做乘法之后两年来，就成了英

国不列颠科学院的皇家学会会员。这其中当然有其它的一些原因，但也可看出“九

九表”在西欧的普及较迟。

现在，就是小学生对“九九表”也是很熟悉了。不过，有时也有不够熟悉的情

况。比如：你能在10秒钟内答出下题吗：“若两个数的积的末位数是4,这两个数

的末位数有哪些搭配情况？”

1962年在捷克举行的国际数学奥林匹克曾出过这样一道题：

求适合下列条件的最小自然数n：

（1）在十进制中，n的个位数字为6?

（2）如把这数的个位数字6去掉，并在余下的数字之前添上数字6,则所得数

是原数n的4倍。

别看这是国际数学竞赛题，原题附的解答也颇为“高精尖”的，但实际上，只

要会“九九表”的人，解这道题绝不成问题。

不妨记这个数为...*****6,则它的4倍应把6移至首位，为此，只须列

一个竖式：

……★★★★★★6

X4

大家马上就知道，积的末位是4,于是被乘数的十位数字也是4,式子变成了

★★★★★★46

X4

6.......4

现在，立刻得出，积的十位数字（也是被乘数的百位数字）是8,就这样推下去，一直推到在积的

数字中出现6就可以中止了：

153846

X4

615384

如是可知n=153846o

当然如果你愿意再推下去，还可得n=153846153846,或

n=153846153846153846...等。

所以，准确点说，所求数中最小的一个n是153846。

香案

2400年前，雅典国的一个村子里，有个奴隶主，他的名字叫赫良辛。赫良辛奸

诈狡猾，贪得无厌，成天盘算着怎样去剥削、欺压群众。

这年，雅典的好些地方流行伤寒症，瘟疫夺去了许多人的生命。劳动群众灾难

深重之时，正是财主老爷发财致富之日。赫良辛想出了个馁主意，他把农奴们召集

到广场的神庙前。

“阿婆罗神降旨啦！”赫良辛眨眨眼睛，挺挺胸脯，扯着嗓子喊了起来。原来,

雅典人信神，这里讲的“阿婆罗神”是专管艺术的太阳神。

“庙里香案年久失修啦，神灵发怒了，才降灾给你们。神灵说，三天之内重做

一个正方体形状的香案，神灵息怒后，瘟疫就可以平息了。”

人们似乎有了希望，聚精会神地听着。赫良辛咽了一口唾沫，接着说：

“这样吧！每家摊派一斗粮食，马上送到我家大院，作为重做香案和祈祷的基

金，……，神命难违啊！”

于是，赫良辛家里粮屯里的粮食多了许多，“生死簿”上又增加了许多冤魂。

可是，瘟疫并没有停止，相反，更加厉害了，不断夺去村民的生命。

不久，从赫良辛家里又传出神灵显圣的消息，通知人们第二天到庙前集中。

“啊，神灵又显圣了，这回不知道怎么说呢！”几位老人嘀嘀咕咕，忧心忡忡。

“什么神灵，全是赫良辛玩的鬼！”一个青年捏紧拳头，怒火填膺。

“不听他那一套，我们去找克莱梯斯去！”另一个青年冲口大喊。

克莱梯斯是一位学者，尤其对数学很有研究。这天晚上，几个青年在克莱梯斯

家商量了很久，他们想了一个很巧妙的办法。

第二天，人们又在广场上集中了。

赫良辛走上高处，清清嗓子，尖声叫了起来：

“神灵又降旨啦，他嫌香案做得太小，要重做一个，这么办……”

赫良辛正要继续说下去，突然远处几个村民边跑边喊：

“来了，来了，钦差大臣来了，快迎驾呀！”

一个大臣骑着一匹高大的白马，后面跟着几个戎装卫士，很庄重地来到广场。

不等大臣下马，赫良辛三步并作两步跑向前，跪在地上连连叩头：

“不知大人驾到，小民未曾远迎，死罪，死罪！”

“起来！”大臣斜视了赫良辛一眼，慢慢地走向庙前。

“这是干什么？”大臣指着农奴们，责问赫良辛。

“这个一那个一瘟疫一”赫良辛结结巴巴，心里有些发慌。

“大人，上回他骗了我们，说神灵发怒，要重做香案。一家出一斗粮食，瘟疫

不见平息。”一个村民控诉着。

“今天他又说，神灵嫌香案太小，又发怒了，要……”另一个村民脸涨得通红,

挥动着拳头。

“接圣旨！”大臣打断了他的话，所有的人都下跪了，尤其是赫良辛显得格外

虔诚，他的前额紧紧地贴在地上。大臣说：

“赫良辛的话不错，神灵嫌做的香案太小，要做一个新的。”

村民们一个个抬起头来，疑惑不解地望着大臣。赫良辛也慢慢地挺起身子，除

了额上粘的一点黄土外，面部似乎已逐渐恢复平静。

“不过，”大臣继续说着：“这次神灵指定要赫良辛做，香案的形状仍然是正

方体，体积要是上次做的二倍。如果三天之内做好这个香案，瘟疫就可逐渐平息，

国王将给赫良辛很贵重的奖赏。但是，如果所做的香案不符合要求，那就要处死赫

良辛，并把他所有的财产分给农奴。”

赫良辛屏息细听了大臣传达的圣旨，心想这并不是难事，便领旨回家，立即找

来木匠动工。起初，他以为只要按上次香案的尺寸，把正方体棱长扩大二倍，就可

以了。那晓得木匠照他的意思做出来的正方体香案很大。我们不妨替他算一下：

如果上次正方体的棱长为a,那么体积应该是a3。这次正方体的棱长为2a,体

积就应该是：

(2a)3^8a3。

这就是说，新做的香案体积是上次做的8倍，当然不符合要求。赫良辛连忙命

令木匠把这个香案改小。但改来改去，不是偏大，就是嫌小。一天，两天过去了，

庄园里的树木被砍去了许多。赫良辛对盘剥村民虽然是专家，但对数学却是一窍不

通。他不会运用数学原理，先算出欲求的正方体的棱长，然后再按这个尺寸来做香

案。

三天过去了，人们又集中在广场庙前。大臣又来了，赫良辛抬不出一个适合要

求的香案。他预感到末日的来临，象一只癞皮狗，瘫倒在地上……。

聪明机智的克莱梯斯应用数学史上著名的三大几何问题之一“倍积立方问题”，

帮助农奴们惩罚了罪行累累的恶人。

所谓“倍积立方问题”，就是要做一个正方体，使它的体积是已知正方体体积

的二倍。这个问题对于我们今天初中同学来讲，是不难理解的。设原来正方体棱长

为a,所求正方体棱长为x,依题意得：

X3—2a3o

把两边开立方，得

两千多年前，人们对3©这样的数还缺乏认识，所以也就无法计算出

所求正方体的棱长。即使后来人们开始认识它的时候，还把它叫做“无理”数哩!

数学家巧破杀人案

伽罗华（Galois,公元18H—1832年）是法国数学家，十九世纪杰出的数学天

才。他生于法国巴黎近郊布伦的一个小村子里，因决斗而卒于巴黎。

鲁柏是伽罗华的好友。一天，伽罗华得知鲁柏被刺的不幸消息，急忙奔赴探询。

女看门人告诉伽罗华，警察已勘察过现场，没有发现其它线索，只是看到鲁柏手里

紧捏着半块没有吃完的苹果馅饼，令人费解。她认为作案人可能就在公寓内，因为

案发前后，她一直在传达室，没有看见有人进公寓来。可是这座四层楼的公寓，每

层有15间房，住着100多人，情况比较复杂，这可能是警察到目前还未能破案的原

因。

数学家思索着。最后，请女看门人带他到三楼，在314号房门前停了下来，问

道：

“这房间是谁住的？”

女看门人答道：

“米塞尔。”

“这人怎样？”

“他爱赌钱，好喝酒，昨天已经搬走了。”

“这个米塞尔就是杀人凶手！”数学家肯定地说。

女看门人非常惊奇，忙问：

“有什么根据？”

数学家分析说：

“鲁柏手里的馅饼就是一条线索。馅饼英语叫Pie,而希腊语Pie就是n,即通

常说的圆周率。人们在计算时，常取口的近似值3.14。鲁柏是一位喜欢数学，善于

思考的人，临死时他终于想到用馅饼来暗示凶手所住的房间。”

根据数学家的分析，警方经过侦察，最后逮捕了米塞尔。经审讯，米塞尔承认

因赌博输钱，看到鲁柏家里汇来巨款，遂生杀机。

伽罗华从小就受到良好的家庭教育。童年时代，他在母亲的辅导下进行学习。

12岁进入中学读书。起初，他努力学习希腊语和拉丁语。后来，他对数学产生了浓

厚的兴趣，以惊人的速度读了许多数学著作。19岁时，他的数学天才被他的数学教

师慧眼所发现，在老师的指导下，他深入研究了一些数学理论，并取得了划时代意

义的成果。伽罗华在巴黎高等师范学校读书时，因参加政治斗争，公开反对国王制

度，揭露了校长在法国七月政变中的两面行为，又得罪了校长。伽罗华被学校开除,

并两次入狱。监狱生活严重摧残了他的健康。1832年，伽罗华出狱后，在一所疗养

院医疗，由于政治和爱情的纠葛，他又陷进政敌为他设置的一个陷井，在一次决斗

中，他身负重伤，第二天便离开了人世。

伽罗华是一位杰出的数学天才，可惜他在人世间仅活了21个春秋！他的早逝，

无疑是世界数学界的一大损失。

斐波拉契的兔子

从前，有一个穷光棍，平时只知好吃懒做，不肯踏踏实实做事情，还经常想入

非非做发财梦。一天，他在路边捡到一个鸡蛋，他非常高兴，捧着鸡蛋就在脑子里

就盘算开了：“我借别人的母鸡把这个蛋孵成小鸡，等小鸡长大了，就可以生蛋，

我再把生的蛋孵成鸡，这些鸡又可以生更多的蛋，蛋又可变成更多的鸡……过不了

几年，我就可以把蛋和鸡去换许多钱，然后可以盖新房，还可以娶个漂亮媳妇，生

儿育女……”他越想越高兴，不禁得意忘形手舞足蹈，忽听“啪”的一声，鸡蛋掉

在地上，碎了！懒汉看着摔碎了的鸡蛋，放声痛哭：“哎呀，我的宝贝！我的房子

呀！……”

上面这则笑话流传已久，对我们很有教育意义，然而恐怕谁都没有认真计算过:

如果鸡蛋没有打碎，几年后这个懒汉究竟有多少只鸡，多少个蛋呢？不过，公元1202

年，一位意大利比萨的商人斐波拉契(Fibonacci,约1170-1250?)在他的《算盘

全书》(这里的“算盘”指的是计算用沙盘)中提出过一个“养兔问题”，却被无

数人算过。这道题说的是：

某人买回一对小兔，一个月后小兔长成大兔。再过一个月，大兔生了一对小兔,

以后，每对大兔每月都生一对小兔，小兔一个月后长成大兔。如此下去，问一年后

此人共有多少对兔子？

你能算清吗？不少同学恐怕看完题就已经动手算了，而且很快就算出了答案。

不过对不对可不敢保证。说实在的，这题要算对并不那么容易，这可要不慌不忙细

心地算才行。

通常可以列一个表来算这个题：

几月后0123456789101112

小兔数101123,581321345589

大兔数0112,3/81321345589144

共计1123/5」81321345589144233

填了几行后，你就可以总结出几条结论：

（1）每个月的大兔子数就是上个月的兔子总数。（因上个月的小兔这个月都长

成大兔）

（2）每个月的小兔子数就是上个月的大兔数。（因上月大兔子这个月都需生一

对小兔，而上个月的小兔这个月长成大兔但不生兔子。）由（1）可知：每月小兔数

就是前月的兔子总数。

（3）每月兔子总数是当月大、小兔子数的和。由（1）、（2）知每月兔子数就

等于上月与前月这两个月兔子数的和。

若记第n个月的兔子数为八，就有

fo+fl=f2,fl+f2=f3,f2+f3=f4........

一般的，有fn-2+fnT=fn。有了这个规律，填这个表就很容易了。

你看，养一对兔子，一年之后就会发展壮大成了一个养兔场了。

按这个规律，可以把兔子数一直写下去：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,....。

这样得出的一列数就称为“斐波拉契数列。”

波兰数学家史坦因豪斯在其名著《数学万花筒》中提出一个问题：

一棵树一年后长出一条新枝，新枝隔一年后成为老枝，老枝又可每年长出一条

新枝，如此下去，十年后新枝将有多少？

这恰好也可以得到“斐波那契数”。

人们从“斐”数出发得到了很多有益的和有趣的结果。比如“斐”数与黄金分

割（0.618）的关系，直到现在还在优选法和运输调度理论中起着基本原理的作用；

又如种向日葵的农场主在葵花籽的分布规律上发现了“斐”数，乃至好多植物的花

瓣叶序上发现的“斐”数奇观形成了至今未解的“叶序之迷”。可见一个“养兔问

题”竟揭示了大自然的一个普遍存在的奥秘。

韩信点兵

汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦一眼说：“你

顶多能带十万兵吧！”汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”

韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善啰！”刘邦心中又添了三分不高兴，

勉强说：“将军如此大才，我很佩服。现在，我有一个小小的问题向将军请教，凭

将军的大才，答起来一定不费吹灰之力的。”韩信满不在乎地说：“可以可以。”

刘邦狡黠地一笑，传令叫来一小队士兵隔墙站队，刘邦发令：“每三人站成一排。”

队站好后，小队长进来报告：“最后一排只有二人。”“刘邦又传令：“每五人站

成一排。”小队长报告：“最后一排只有三人。”刘邦再传令：“每七人站成一排。”

小队长报告：“最后一排只有二人。”刘邦转脸问韩信：“敢问将军，这队士兵有

多少人？”韩信脱口而出：“二十三人。”刘邦大惊，心中的不快已增至十分，心

想：“此人本事太大，我得想法找个岔子把他杀掉，免生后患。”一面则佯装笑脸

夸了几句，并问：“你是怎样算的？”韩信说：“臣幼得黄石公传授《孙子算经》，

这孙子乃鬼谷子的弟子，算经中载有此题之算法，口诀是：

三人同行七十稀，

五树梅花开一枝,

七子团圆正月半,

除百零五便得知。”

刘邦出的这道题，可用现代语言这样表述：

“一个正整数，被3除时余2,被5除时余3,被7除时余2,如果这数不超过

100,求这个数。"

《孙子算经》中给出这类问题的解法：“三三数之剩二，则置一百四十；五五

数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之得二百三十三，以二百一十减

之，即得。凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩

一，则置十五，一百六以上，以一百五减之，即得。”用现代语言说明这个解法就

是：

首先找出能被5与7整除而被3除余1的数70,被3与7整除而被5除余1的

数21,被3与5整除而被7除余1的数15。

所求数被3除余2,则取数70X2=140,140是被5与7整除而被3除余2的数。

所求数被5除余3,则取数21X3=63,63是被3与7整除而被5除余3的数。

所求数被7除余2,则取数15X2=30,30是被3与5整除而被7除余2的数。

又，140+63+30=233,由于63与30都能被3整除，故233与140这两数被3

除的余数相同，都是余2,同理233与63这两数被5除的余数相同，都是3,233

与30被7除的余数相同，都是2。所以233是满足题目要求的一个数。

而3、5、7的最小公倍数是105,故233加减105的整数倍后被3、5、7除的余

数不会变，从而所得的数都能满足题目的要求。由于所求仅是一小队士兵的人数，

这意味着人数不超过100,所以用233减去105的2倍得23即是所求。

这个算法在我国有许多名称，如“韩信点兵”，“鬼谷算”，“隔墙算”，“剪

管术”，“神奇妙算”等等，题目与解法都载于我国古代重要的数学著作《孙子算

经》中。一般认为这是三国或晋时的著作，比刘邦生活的年代要晚近五百年，算法

口诀诗则载于明朝程大位的《算法统宗》，诗中数字隐含的口诀前面已经解释了。

宋朝的数学家秦九韶把这个问题推广，并把解法称之为“大衍求一术”，这个解法

传到西方后，被称为“孙子定理”或“中国剩余定理”。而韩信，则终于被刘邦的

妻子吕后诛杀于未央宫。

请你试一试，用刚才的方法解下面这题：

一个数在200与400之间，它被3除余2,被7除余3,被8除余5,求该数。

（解：n2X2+120X3+105X5+168k,取k=-5得该数为269。）

米兰芬算灯

李汝珍，清代人，是个“学无所不窥”的才子，可能是学问钻研多了，所以官

场上却甚不得意。他写了好几本书，《镜花缘》是流传最广的一本。此书中描写了

一位精通算学的才女“矶花仙子”名叫米兰芬。

米兰芬和众姐妹在宗伯府聚会，来到小鳌山楼上观灯。楼上的灯形状有两种，

一种灯是上面三个大球，下缀六个小球，一种灯是上面三个大球下面十八个小球。

楼下的灯也有两种，一种是一个大球缀二个小球，一种是一大球缀四个小球。知道

楼上有大灯球396个，小灯球1440个，楼下有大灯球360个，小灯球1200个。

才女们要米兰芬计算，楼上楼下的四种灯各有多少盏？

米兰芬说：“以楼下论，将小灯球数折半，得600,减去大灯球数360,即得缀

四个小灯球的灯数为240,用360减240得120,即得缀二个小灯球的灯数为120。

此用‘鸡兔同笼'之法。”用同样的方法算楼上灯数：“以1440折半，得720,720

-396=324,324+6=54。得缀十八个小灯球的灯数为54。用396—54X3=234,234

+3=78。即缀六个小灯球的灯数为78。”

这里说的“鸡兔同笼”法，是指的我国古代的一种类型题目，比如在一个笼中

关有鸡与兔，数头有100个，数脚有240只。问鸡、兔各有多少？

对此题，有一个简单巧妙的算法，就是：如果让鸡都缩起一只脚，“金鸡独立”

站着；让兔子全部抬起二只前腿，只用二只后腿站着，这时，再数脚数，就应是240

除以2,得120只脚。

如笼中全是鸡，由于此时数鸡时，每只鸡都是一头一脚(另一脚缩起来了)。

故100只鸡应只有100只脚，现在却有120只脚，多的20只脚是那儿来的呢？原来

每只兔子都要多数1只脚，这就说明兔子数是20,而鸡数则是80。

现在你明白了米兰芬的算法了吧！比如说楼下的灯，一大球下缀二小球，就相

当于“一只鸡有二只脚”，一大球下缀四小球就相当于“一只兔有四只脚”。所以，

用“鸡兔同笼”之法就算清楚了。

至于楼上的灯，小球数折半，就相当于把灯改制成“每灯三个大球，下缀三个

小球”和“每灯三个大球，下缀九个小球”这两种。如果都是前一种灯，则大小灯

球数应相等。现小球数为720(=14404-2),大球数396,多出324个小球。是因为

每盏第二种灯小灯球多出6个的原因，从而用324+6=54,即其中有54盏第二种灯，

第二种灯共用大灯球162个，故第一种灯用大灯球234个，除以3得78,就是第一

种灯数了。

朋友，如果换了你来解决这道题，你又会怎么做呢?

铺地锦

前面已经介绍了，米兰芬是《镜花缘》里的一个“才女”，精通数学，在书中

有不少她解数学题的故事。

有一位才女要考考米兰芬：“有一套金杯，大小一共9只，共用126两黄金打

造，这些杯子从小到大每只都比前一只重同样多，且第二只是第一只重量的2倍”，

她问米兰芬，“你能算出杯重吗？”

米兰芬说：“这要用‘差分之法'。”并算出这9只杯子重量依次为2两8钱、

5两6钱、8两4钱、11两2钱、14两、16两8钱、19两6钱，22两4钱和25两

2钱。

这里“差分之法”实际上就是现在的等差数列的计算方法。由于从第二个杯子

起，各个杯子的重量分别是最小杯的2、3、4、5、6、7、8、9倍，所以，这些杯子

的重量是最小杯子的

l+2+3+4+5+6+7+8+9=9X（9+1）+2=45（倍）。

于是，最小的杯子重量为126・45=2.8（两），以后再算出各个杯子的重量。

又有一位才女指着一张圆桌，问米兰芬：“你能算出它的周长吗？”

米兰芬说可以，她叫人拿尺量得圆桌直径为3尺2寸，然后画了一个“铺地锦”：

于是得出：圆周长为一丈零零四分八。并说周三径一是古率，不太准，较准确的数

字是径一周三一四一五九二六五，（正是祖冲之计算的结果）并声明只用“大数”

（较接近的近似值）三一四计算得出的圆周长。这就是说，米兰芬用3.2X3.14=

10.048o

什么是铺地锦呢？

铺地锦原来是古代阿拉伯人计算乘法时用的一种方法，后来传入我国，这种算

法被起了一个很好听的名字：铺地锦。你看前面米兰芬画的那个乘法图式，象不象

用瓷砖铺起的地面。我们如何用铺地锦来计算乘法呢？

比如要计算342X27,被乘数与乘数分别有3个与2个有效数字。就可以画一个

三列二行（竖的叫列，横的叫行）的方格，并画出一系列的对角线。在方格上方写

上被乘数342,每个方格上写一个数字，右方从上列下写出乘数27,然后就开始相

乘：先用2分别乘以3、4、2,得到6、8、4,把这三个数字分别填在与被乘数、乘

数的对应数字对齐的方格中，均填在下半格。再用7分别乘3、4、2,得出21、28、

14,把这三个数依次填在相应的格子中。各个积的个位数字填在右下的半格中，十

位数字填在左上的半格中，填完后，按斜线，把每两条斜线间夹的数字分别相加，

和写在格子外的相应位置。如和超过10,则格子外只记和的个位数字，而和的十位

数字则在上一斜线间补记上。（如图中加圈的两个数字）在上一斜线间数字求和时,

这些补记的数字也要加进去。全部加完后，从左上到右下沿格子外读数，即是所求

积，即342X27=9234。

这个乘法在古印度则是这样算的:

342

X27

21

28

14

9234

古印度算法与铺地锦在形式上虽然不同，但实质上是一样的，现代的竖式乘法则是在此基

础上加以改进的结果。

“世界末日”的传说

有这样一段关于“世界末日”的传说。

在印度北部的一个佛教的圣庙里，桌上的黄铜板上，放着三根宝石针，每根长

约0.5米。据说印度教的主神梵天在创造世界时，在其中的一根针上，自上而下由

大到小放了六十四片金片。每天二十四小时内，都有僧侣值班，按照以下的规律，

不停地把这些金片在三根宝石针上移来移去：每次只准移动一片，且不论在那根针

上，较小的金片只能放在较大的金片上。当所有六十四片金片都从梵天创造世界时

所放的那根针上移到另一根针上时，世界的末日就要到临。

这虽是一个传说，但却引起人们的重视，大家都想知道僧侣移动完毕这六十四

片金片需要多少时间。也就是说，人类在这个世界上还可以生存多少时间。让我们

来算算看。

设原来放置金片的宝石针为甲，其它两根针为乙、丙。

1.设金片只有一片。显然，只要移动1次即可。

2.设金片只有二片。可先将较小金片移至乙针上，较大金片移至丙针上，再将

较小金片从乙针移至丙针上，共移动3次。

3.设金片有三片。可先将上面两片金片移到乙上。按2可知，共需移动3次。

再把第三片移至丙，又移一次。下面把乙上两片移至丙同2,还需三次。以上共需

2•3+1=7(次)o

4.设金片有四片。先把上面三片移至乙，按3需7次。再把第四片从甲移到丙

上，又移一次。最后，把较小的三片从乙移至丙，又需移7次。以上共需移动

2•7+1=15(次)。

依此递推下去。设有k片金片，先将”1片移至乙，需移动Si次。然后再把第

k片移至丙，又移一次。最后把『1片从丙移至乙，又需Sk-i次。以上共需移动

(2•Sk-i+1)次。

这样，我们可以得到如下的递推式：

Sk=2,Sk-l+1O

根据这个递推公式，分别令k=l,2,3,……，64,得

S'=l=21-1；

S2=2S1+1=2(21-1)+1=22-1；

S3=2S2+1=2(22-1)+1=23-1；

S4=2S3+1=2(23-1)+1=2T；

S64=264-1=18446744073709551615O

如果僧侣移动金片一次需要1秒钟，移动这么多次共需约5845亿年。把这个寓

言和现代科学推测对比一下倒是有意思的。按照现代的宇宙进化论，恒星、太阳、

行星（包括地球）是在三十亿年前由不定形物质形成的。我们还知道，给恒星特别

是给太阳提供能量的“原子燃料”还能维持100〜150亿年。因此，我们太阳系的整

个寿命无疑要短于二百亿年。可见远不等僧侣们完成任务，地球早已毁灭了。

多完全数

有的自然数，具有一种奇异的性质：把它所有的除数（本身不包括在内）加起

来，正好等于这个自然数自己。例如，6的除数有1、2、3（6不包括在内），且有

6=l+2+3o

又如，28的所有的除数为1、2、4、7、14（28不包括在内），且有

28=1+2+4+7+14。

象这样的数，我们就称之为“完全数”（“完数”）。“完数”这个名称具有

神秘的色彩，意思是“完美的数”。如古代意大利人就把6看做属于爱神维纳斯的

数，它象征着美满的婚姻。

完数在自然数中很少。据统计，在一到四千万这么多的自然数里，只有七个完

数,它们是6,28,496,8128,120816,2096128,33550336。

如果一个正整数全部因子（包括它本身）之和等于这个数的某个整数倍，我们

就称这个数为多完全数。如120全部因子为

1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120。

这些因子之和为360,360正好是120的三倍。所以，120是一个多完全数，而

倍数3称为这个完全数的指标。

早在古希腊时期，数学家欧几里得曾得出一个表达部分完全数的公式：

N=2n-1（2n-l）O

多完全数规律性比完全数差，难以找到一定的公式，只有用计算机来寻找较大

的多完全数。

过去，人们竭尽全力只找到大约700个多完全数，其中最大的具有“指标”8。

最近美国科罗拉多州的数学家弗雷德•海仑尼乌斯编制了一套计算机程序，将多完

全数的个数扩大到了1288个。其中包括14个天文数字的大数，它们的“指标”为9,

而最大的数有588位。

据理论研究，对于每一个“指标”，只有有限多个多完全数。

“指标”为3的多完全数只有6个；

“指标”为4的多完全数只有36个；

“指标”为5的多完全数只有65个。

然而“指标”为8的多完全数，已经知道的就有400多个，它们几乎都是海仑

尼乌斯发现的。

人们在探索中发现，随着多完全数数字的变大，它的分布密度越来越稀疏。它

们是否会在正整数中消失呢？这是一个悬而未决的问题。

现代数学的三大难题

费尔马是法国数学家。生于1601年，他在法国杜鲁兹学习法律并以律师为职

业，数学只是他的业余爱好。他的成就并不在于他曾经承办过什么惊天动地的大案

要案，或是以他的能言善辩使某个死刑犯无罪开释。他的名字之所以流传千古主要

因为他“不务正业”地在数学领域中的取得许多伟大成就。他对数论和微积分作出

了一流的贡献，他也是解析几何的发明者之一，并且与帕斯卡一起建立了概率论的

基础，他一生很少发表数学论文，他的研究成果是在他死后由他的儿子整理出版的。

1621年，费尔马买了一本古代数学家丢番都的《算术》的法译本开始研读，直

到他死后，人们发现在这本书中关于不定方程“X2+y2=Z2”的全部正整数解的那一页

上，费尔马用拉丁文写了一段话：“任何一个数的立方，不能分解成两个数的立方

和，任何一个数的四次方，不能分解为两个数的四次方的和。一般来说，任何次易,

除平方以外，不能分解成其它两个同次易之和。”

这段话，用现在的数学语言说，就是：当n为大于2的整数时，方程Xn+yn=Zn

不可能有整数解。这就是被称为近代数学三大难题之一的“费尔马大定理”。三百

多年来，许多数学家对这个“定理”进行了证明，陆续取得进展，直到1993年，才

为英国数学家怀尔斯彻底证明。当然，他的证明还有待权威数学家们仔细地审查。

哥德巴赫是普鲁士派往俄国的一位公使，后来，他成了一名数学家。他常与欧

拉通信讨论数学问题。1742年，哥德巴赫在与欧拉的通信中提出了一个猜想。这封

信及欧拉的回信传播出来后，数学家把他们通信中提出的问题，叫做哥德巴赫猜想:

“每一个大于或等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和。每一个大于或

等于9的奇数，都可以表示为三个奇素数的和。”

1930年，数学家西涅日尔曼证明了“每一个大于或等于2的整数，都可以表示

为不超过c个素数的和。”还估算了c不会超过s,s<800000o以后数学家又把s

的值缩小。1937年得到sW67。

1937年，苏联名家维诺格拉多夫证明了：“充分大的奇数，都可表示为三个奇

素数的和。”可是他估算的这个“充分大的数”实在太大了。

这时又有人从另一方面着手，改为证明：“每一个充分大的偶数，都是素因子

个数不超过m与n的两个数的和。”这个命题简记为“m+n”：如果能证明“1+1”，

哥德巴赫猜想就算是解决了。

1920年，挪威数学家布朗证明了“9+9”；德国数学家拉代马哈1924年证明了

“7+7”；英国数学家埃斯特曼1932年证明了“6+6”；……；三十年代，我国数学

家华罗庚证明了“几乎所有的”偶数“1+1”成立；1956年我国数学家王元证明了“3+4”；

同年苏联数学家维诺格拉多夫证明了“3+3”；1957年王元又证明了“2+3”；1962

年我国数学家潘承洞证明了“1+5”；1963年，王元、潘承洞、巴尔巴恩又分别证明

了“1+4”；1965年，维诺格拉多夫，朋比尼，布赫夕塔夫又证明了“1+3”。

1966年，我国数学家陈景润宣布证明了“1+2”。至1973年，陈景润的论文正

式发表，在世界上引起轰动。这是迄今为止最好的结果。

“近代三大难题”中的另一题是“四色问题”，这是由英国人克里斯1852年提

出来的。他在给他的兄弟费雷缀克的信中写道：”画在一张纸上的每一幅地图，都

可只用四种颜色着色，就能使有共同边界的国家有不同的颜色。”有很多人都想证

明这个问题，但后来却发现他们的证明不严密。

电子计算机的飞速发展为这些难题的攻克创造了条件。许多数学家把证题思路

设计成程序而把繁复的运算交给计算机去完成。这样一来，先后有好几个数学家宣

布他们在计算机上证明了“四色定理”。

这几个定理的证明过程中，数学家们创造了许多新的方法。这些方法本身的意

义就不亚于他们要证的定理。三百多年来，为了解决这些难题，数学家们付出了艰

巨的努力。他们锲而不舍，勇于探索的精神，值得我们学习。

整数与偶数哪一种数多

如果我问你：“整数与偶数，哪一种数多？”恐怕不少同学都会说：“当然整

数比偶数多了。”进一步，恐怕还会有同学告诉我：“偶数的个数等于整数个数的

一半！”什么道理呢？那是因为“奇数与偶数合起来就是整数。而奇数与偶数是相

间排列的，所以奇数与偶数一样多，大家都是整数的一半。”

“整数包括偶数，偶数是整数的一部分，全量大于部分，整数比偶数多这不是

显而易见、再明白不过的事吗？”

你认为这样回答有道理吗？

这真是不成问题的问题！可是，且慢，往往就在这种最不成问题的问题上出了

问题。

比如，我们要比较两个班级的人数的多少，该怎么办呢？通常有两种办法：

1.分别数出这两个班的人数，然后比较两个班人数的多少。

2.让两个班同学分别排成一路纵队，让两班排第一的两人牵起手来，排第二的

两人也牵起手来，…，以后的同学依次对应牵起手来。最后，如果某班所有的同学

都与另一班的同学牵起了手，而另一班还有同学未与某班同学牵手，则某班同学比

另一班人数少。

现在我们再来看整数与偶数的多少问题吧！

1.你能数出整数有多少个？偶数有多少个来吗？由于整数与偶数都有无穷多

个，当然我们都不能数出它们的个数。

所以，用第一种办法来比较整数与偶数的多少是行不通的。

现在来考虑第二种办法，我们可以把整数排成一队：0,T,1,-2,2,-3,3,…,

-n,n,…。然后再把偶数也排成一队：

0,一2,2,-4,4,-6,6,…，-2n,2n,…。

这样排好之后，所有的整数都排进了第一队中，所有的偶数都排进第二队中。

现在让第一队中的0与第二队中的0“牵起手”来（即对应起来），第一队中的-1

与第二队中的-2对应；第一队中的1与第二队中的2对应；...，第一队中的-n与

第二队中的-2n对应；第一队中的n与第二队中的2n对应，你看，这么一个对

一个地“牵好手”（即建立起“一一对应关系”之后），我们马上可以发现，第一

队中的每个数都与第二队中的某个数对应，而第二队的每个数都与第一队的某个数

对应，两个队伍都没有任何一数剩下来，既然如此，你能说整数比偶数多吗？看来

不能。这就是说：整数与偶数同样多！

这真似乎有悖常理了，部分竟然等于全体！但这确是事实！这告诉我们，“无

穷”是不能用“有限”中的法则来衡量的，许多对“有限”成立的性质对“无穷”

却未必成立。

著名的数学家康托（Cantor,1829-1920）首先想通了这个问题。著名数学家希

尔伯特则讲了下面一个例子：

一家旅馆有无穷多间房间。某天，所有房间都客满了，这时又来了