湖北省华大新高考联盟2025届高三11月期中教学质量测评数学试题

机密★启用前（新高考卷）华大新高考联盟2025届高三11月教学质量测评数学命题：华中师范大学考试研究院本试题卷共4页，共19题。满分150分，考试用时120分钟★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。2.选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。3.非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。4.考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则的真子集个数为（）A.1 B.3 C.7 D.152.已知（其中为虚数单位）是关于的方程的一个根，则在复平面内，所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量，，若，则（）A.2 B.3 C. D.4.小明新买的储蓄罐有5位密码，他决定在“斐波那契数列”的前6项中随机抽取5个数字设置为储蓄罐的密码，且密码的第3位是偶数，已知“斐波那契数列”的前6项依次为“1、1、2、3、5、8”，则可以设置的不同密码个数为（）A.144 B.120 C.84 D.1165.已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，第一象限的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为点，若，且点在直线上，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.6.已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值可能为（）A. B.1 C.3 D.57.若函数，则的解集为（）A. B. C. D.8.已知正方体的表面积与体积之比为6，若，，则四面体的体积的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.下列四棱锥的所有棱长都相等，，，，，是四棱锥的顶点或所在棱的中点，则直线不与平面垂直的是（）A. B.C. D.10.已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则（）A.的最小正周期为B.C.将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则在上的值域为D.若函数，则在上有6个零点11.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，则（）A.若，则B.若过右焦点，且，，则椭圆的离心率为C.若过右焦点.且，，则椭圆的离心率为D.若，，且椭圆上存在一点，使得，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分、共15分。12.定义：已知平面向量，表示夹角为的两个单位向量，为平面上的一个定点，为平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则______.13.将一组嵌套模型一一拆分之后所得的图形如下所示，若图中每个小正方体的外接球的表面积为，则以此类推，第10个图形的体积为______.14.某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，在双曲线上.（1）求双曲线的方程；（2）已知不与轴垂直且过的直线与双曲线交于，两点，若，，且，求证：.16.（15分）某公司有意在小明、小红、小强、小真这4人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试且采用积分制，其中小明和小红通过初试的概率均为，小强和小真通过初试的概率均为，小明和小红通过复试的概率均为，小强和小真通过复试的概率均为，通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，本次面试满分为10分，且初试未通过者不能参加复试.（1）若从这4人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率；（2）若小明和小红两人一起参加本次公司的面试，记他们本次面试的得分之和为，求的分布列以及数学期望.17.（15分）已知圆柱如图所示，其中正方形为轴截面，点，为圆上异于，且同侧的点，且，点为线段的中点.（1）求证：平面平面；（2）若平面与平面夹角的正切值为，求的值.18.（17分）已知函数，的导函数为，且.（1）讨论的单调性；（2）若为的极大值点，求实数的取值范围；（3）若为锐角，比较和的大小关系，并说明理由.19.（17分）已知有序数组，，分别为：，：，：，若它们之间满足：①；②；则称为的双覆盖数组.为的单覆盖数组.（1）有序数组，分别为：8，5，4，，：，，，2，若为的双覆盖数组，求，，，的值.（2）已知为的单覆盖数组，其中又可记为.（i）判断满足条件的的个数为奇数个还是偶数个，并给出说明过程.（ii）判断是否能成为的单覆盖数组.若是，写出所有满足条件的双覆盖数组；若不是，说明理由.

机密★启用前（新高考卷）华大新高考联盟2025届高三11月教学质量测评数学参考答案和评分标准题号1234567891011答案BADBCBACBCDACDACD一、选择题1.【答案】B【命题立意】本题考查集合的运算、集合间的关系、不等式的解法，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】依题意，，故，则有3个真子集，故选B.2.【答案】A【命题立意】本题考查复数的运算、复数的几何意义，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】方法一依题意，，故解得则在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A.方法二易知方程的解为，则，即解得则在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A.3.【答案】D【命题立意】本题考查平面向量的基本概念、平面向量的坐标运算、平面向量的数量积及其应用，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】依题意，，故，解得，故，故选D.4.【答案】B【命题立意】本题考查排列组合，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.【解析】若选的数字只有一个1，此时有两个偶数，则不同的排列方法有种；若选的数字有两个1，则不同的排列方法有种.故共有种不同的设置方法，故选B.5.【答案】C【命题立意】本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的综合性问题，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】依题意，得，设，则，而，且，故，则，解得，故直线的倾斜角为，故选C.6.【答案】B【命题立意】本题考查余弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】依题意，得，故，则，因为为锐角，所以.依题意，，而故，故，则，故选B.7.【答案】A【命题立意】本题考查函数的单调性与对称性，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】依题意，，易知在上单调递减，且，故的图象关于中心对称，则为奇函数且单调递减，故，故选A.8.【答案】C【命题立意】本题考查空间线面的位置关系，考查数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.【解析】依题意，，解得.如图所示，过点作，过点作，，且与交于点，设，，则，，，，故，当且仅当时，取到最大值，故选C.二、选择题9.【答案】BCD【命题立意】本题考查空间线面的位置关系，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】B中直线平面；C、D中与不垂直，故直线平面不成立.故选BCD.10.【答案】ACD【命题立意】本题考查三角函数的图象与性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】依题意，，故A正确；，故，，记，则，故，则①.而②，联立①②可得，故B错误；，故当时，，，故，C正确；，在直角坐标系中分别作出，的图象如图所示，观察可知，它们在上有6个交点，即在上有6个零点，故D正确.故选ACD.11.【答案】ACD【命题立意】本题考查椭圆的方程、椭圆的性质、直线与椭圆的综合性问题，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】若，则，故A正确；设，则，，，在中，，解得，在中，，则，故B错误；设，则，又因为，所以，由椭圆的定义知，得.又，即点为短轴端点，故在中，，在中，，解得，故C正确；设，，则，则，因为点，，均在椭圆上，故，，，因为，故，故，联立故，显然，，，故，解得，故正确.故选ACD.三、填空题12.【答案】.【命题立意】本题考查向量的数量积及其应用，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.【解析】依题意，，则.13.【答案】2648.【命题立意】本题考查数列的通项公式，考查数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.【解析】设小正方形的边长为，则，解得.故第10个图形的体积为2648.14.【答案】.【命题立意】本题考查概率的基本公式，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.【解析】记“一号列车准点到站”为事件，“二号列车准点到站”为事件，则，，，故，则，则，故，而，即，故，则.四、解答题15.【命题立意】本题考查双曲线的方程、直线与双曲线的综合性问题，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】（1）依题意，解得，故双曲线的方程为.（2）依题意，得，设直线的方程为，，，联立整理得，因此当时，，，，则，即故直线：，令，得，则，故，故.16.【命题立意】本题考查相互独立事件的概率、全概率公式，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.【解析】（1）记选出小明、小红参加面试为事件，选出小明、小红或小强、小真各一人参加面试为事件，选出小强、小真参加面试为事件，这两人本次面试的得分之和不低于16分为事件，则，，，（2）的可能取值为0，6，10，12，16，20，故，，，，，.故的分布列为：0610121620则.17.【命题立意】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】（1）因为，故，而平面，平面，故平面.取线段的中点，连接，，则，，故，故四边形为平行四边形，则.而平面，平面，故平面.而，平面，平面，故平面平面.（2）如图，连接，因为是圆的直径，所以，过点作圆柱的母线，则平面，所以，，互相垂直，以为原点，，，的方向分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，，，则，则，，，所以，.设为平面的法向量，令，解得所以为平面的一个法向量.易知为平面的一个法向量.因为平面与平面夹角的正切值为，故夹角的余弦值为，所以，化简得，而，解得（舍去），则.18.【命题立意】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】（1）依题意，有，当时，，在上单调递增；当时，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）依题意，，当时，易知，由（1）可知，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以是函数的极小值点，不符合题意，舍去；当时，，且，由（1）可知，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以是函数的极小值点，不符合题意；当时，，，，在上单调递增，故无极值点，不符合题意；当时，，且；当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以，是的极大值点，符合题意.综上所述，实数的取值范围为.（3）结论：.要证，即证，即证，即证，，因为，，即证当时，.