2024-2025学年高中数学第一章解三角形1.2第1课时距离测量问题课时跟踪训练含解析新人教A版必修5

PAGE第1课时距离测量问题[A组学业达标]1．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，A＝30°，则其跨度AB的长为()A．12米 B．8米C．3eq\r(3)米 D．4eq\r(3)米解析：△ABC为等腰三角形，A＝30°，∴B＝30°，C＝120°，∴由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝42＋42－2×4×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝48，∴AB＝4eq\r(3)米．答案：D2．已知两座灯塔A和B与海洋视察站C的距离都等于akm，灯塔A在视察站C的北偏东20°，灯塔B在视察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离是()A．akm B．eq\r(2)akmC.eq\r(3)akm D．2akm解析：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，∵AC＝BC＝a，∴由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°＝a2＋a2－2a2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2，∴AB＝eq\r(3)a(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为eq\r(3)akm.答案：C3．如图，在高速马路建设中须要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为()A.eq\r(3)km B．eq\r(2)kmC．1.5km D．2km解析：依据余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2－2AC·BCcos120°)＝eq\r(1＋1＋2×1×1×\f(1,2))＝eq\r(3)(km)．故选A.答案：A4.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A．20(eq\r(6)＋eq\r(2))海里每小时B．20(eq\r(6)－eq\r(2))海里每小时C．20(eq\r(6)＋eq\r(3))海里每小时D．20(eq\r(6)－eq\r(3))海里每小时解析：由正弦定理得eq\f(MN,sin30°)＝eq\f(20,sin105°)，所以MN＝10(eq\r(6)－eq\r(2))海里，速度为20(eq\r(6)－eq\r(2))海里每小时．答案：B5．有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不变更坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长()A．5m B．10mC．10eq\r(2)m D．10eq\r(3)m解析：如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10m.在△BAB′中，由正弦定理，得BB′＝eq\f(ABsin45°,sin30°)＝eq\f(10×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝10eq\r(2)(m)．所以坡底要延长10eq\r(2)m时，斜坡的倾斜角将变为30°.答案：C6．上海世博园中的世博轴是一条1000m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是________m.解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过C作AB的垂线交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500m，∠DCB＝60°，∴BC＝eq\f(1000\r(3),3)m.答案：eq\f(1000\r(3),3)7．一艘海警船从港口A动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C在B的北偏东65°，港口A的南偏东70°处，那么B，C两点的距离是________海里．解析：如图，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理可得BC＝eq\f(AB,sin45°)×sin30°＝10eq\r(2).答案：10eq\r(2)8．某人从A处动身，沿北偏东60°行走3eq\r(3)km到B处，再沿正东方向行走2km到C处，则A，C两地距离为________km.解析：如图所示，由题意可知AB＝3eq\r(3)，BC＝2，∠ABC＝150°，由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×3eq\r(3)×2×cos150°＝49，AC＝7.则A，C两地距离为7km.答案：79.某海岛四周38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不变更航向，则此船有无触礁的危急？解析：由题意，在三角形ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，所以∠ACB＝15°；由正弦定理得BC＝eq\f(AB,sin∠ACB)·sin∠BAC＝eq\f(30,sin15°)·sin30°＝eq\f(15,\f(\r(6)－\r(2),4))＝15(eq\r(6)＋eq\r(2))．过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△BDC中，CD＝eq\f(\r(2),2)BC＝15(eq\r(3)＋1)＞38.所以此船无触礁的危急．10.如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进eq\r(30)km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．解析：依题意得，CD＝eq\r(30)(km)，∠ADB＝∠BCD＝30°＝∠BDC，∠DBC＝120°，∠ADC＝60°，∠DAC＝45°.在△BDC中，由正弦定理得BC＝eq\f(DCsin∠BDC,sin∠DBC)＝eq\f(\r(30)sin30°,sin120°)＝eq\r(10)(km)．在△ADC中，由正弦定理得AC＝eq\f(DCsin∠ADC,sin∠DAC)＝eq\f(\r(30)sin60°,sin45°)＝3eq\r(5)(km)．在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠＝(3eq\r(5))2＋(eq\r(10))2－2×3eq\r(5)×eq\r(10)cos45°＝25.所以AB＝5(km)，即这两座建筑物之间的距离为5km.[B组实力提升]11．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距()A．10米 B．100米C．30米 D．20米解析：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，A处观测小船D的俯角为30°，连接BC，BD，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，可得BC＝AB＝30米，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，可得BD＝eq\r(3)AB＝30eq\r(3)米，在△BCD中，BC＝30米，BD＝30eq\r(3)米，∠CBD＝30°，由余弦定理可得：CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos30°＝900，∴CD＝30(负值舍去)．答案：C12．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m解析：如图，在△ADC中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，所以CD＝AD·tan60°＝60eq\r(3)(m)．在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·tan15°＝60(2－eq\r(3))(m)．所以BC＝CD－BD＝60eq\r(3)－60(2－eq\r(3))＝120(eq\r(3)－1)(m)．故选C.答案：C13．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B动身以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是________．解析：设行驶x小时后甲到点C，乙到点D，两船相距ykm，则∠DBC＝180°－60°＝120°.∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos120°＝28x2－20x＋100＝28(x2－eq\f(5,7)x)＋100＝28eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,14)))2－eq\f(25,7)＋100∴当x＝eq\f(5,14)(小时)＝eq\f(150,7)(分钟)时，y2有最小值．∴y最小．答案：eq\f(150,7)分钟14．一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕获到一只小虫，然后向右转105°，爬行10cm捕获到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回到它的动身点，那么x＝________.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°，由正弦定理知：x＝eq\f(AB·sin∠ABO,sin∠AOB)＝eq\f(10×sin45°,sin60°)＝eq\f(10\r(6),3)(cm)．即x的值为eq\f(10\r(6),3)cm.答案：eq\f(10\r(6),3)cm15．为保障高考的公允性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点四周1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的马路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿马路行驶，最长须要多少分钟，检查员起先收不到信号，并至少持续多少时间，该考点才算合格？解析：如图所示，考点为A，检查起先处为B，设马路上C、D两点到考点的距离为1千米．在△ABC中，AB＝eq\r(3)≈1.732，AC＝1，∠ABC＝30°，由正弦定理sin∠ACB＝eq\f(sin30°,AC)·AB＝eq\f(\r(3),2)，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1，在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1，∴eq\f(BC,12)×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．答：最少须要5分钟检查员起先收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．16.如图所示，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A动身有一条走向为南偏东40°的马路，在C处观测到距离C处31km的马路上的B处有一辆汽车正沿马路向A城驶去，行驶了20km后到达D处，测得C，D两处的距离为21km，这时此车距离A城多少千米？解析：在△BCD中，BC＝31km，BD＝20km，CD＝21km，由余弦定理得cos∠BDC＝eq\f(BD2＋CD2－BC2,2BD·CD)＝eq\f(202＋212－312,2×20×21)＝－eq\f(1,7).∴cos∠ADC＝eq\f(1,7)，∴sin∠ADC＝eq\r(1－cos