2024-2025学年新教材高中数学第3章不等式3.1不等式的基本性质课后素养落实含解析苏教版必修第一册

课后素养落实(九)不等式的基本性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．设M＝x2＋6x，N＝5x－1，则M与N的大小关系是()A．M>N B．M＝NC．M<N D．与x有关A[因为M－N＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，所以M>N，故选A.]2．已知a＞b，则“c≥0”是“ac＞bc”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2>b＝1，,c＝0))时，ac＞bc不成立，所以充分性不成立；当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ac>bc，,a>b))时，c＞0成立，c≥0也成立，所以必要性成立．所以“c≥0”是“ac＞bc”的必要不充分条件，故选B.]3．若a＞b＞0，c＜d＜0，则肯定有()A．eq\f(a,d)＞eq\f(b,c) B．eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)C．eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) D．eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)B[因为c＜d＜0，所以0＞eq\f(1,c)＞eq\f(1,d)，两边同乘－1，得－eq\f(1,d)＞－eq\f(1,c)＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－eq\f(a,d)＞－eq\f(b,c)＞0.两边同乘－1，得eq\f(a,d)＜eq\f(b,c).故选B.]4．bg糖水中有ag糖(b>a>0)，若再添上mg糖(m>0)，则糖水变甜了．依据这个事实提炼一个不等式为()A．eq\f(a＋m,b＋m)<eq\f(a,b) B．eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b)C．eq\f(a－m,b－m)<eq\f(a,b) D．eq\f(a－m,b－m)>eq\f(a,b)B[变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了，加糖之前糖水的浓度为eq\f(a,b)，加糖之后糖水的浓度为eq\f(a＋m,b＋m)，故eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b).]5．(多选题)若a＜b＜0，则下列不等式中可能成立的是()A．eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) B．eq\r(－a)＞eq\r(－b)C．|a|＞－b D．eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,b)BCD[因为a＜b＜0，所以eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)＞0，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，A不正确；－a＞－b＞0，eq\r(－a)＞eq\r(－b)，B正确；|a|＞|b|＝－b，C正确；当a＝－3，b＝－1，eq\f(1,a－b)＝－eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝－1时，eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,b)，此时D成立．]二、填空题6．若x>1，－1<y<0，则x，y，－y，－xy由小到大的依次是____________(用“<”连接)．y<－y<－xy<x[因为x>1，－1<y<0，所以0<－y<x.因为－y－(－xy)＝y(x－1)<0，所以－y<－xy，因为x－(－xy)＝x(1＋y)>0，所以－xy<x，所以y<－y<－xy<x.]7．若x∈R，则eq\f(x,1＋x2)与eq\f(1,2)的大小关系为________．eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2)[因为eq\f(x,1＋x2)－eq\f(1,2)＝eq\f(2x－1－x2,21＋x2)＝eq\f(－x－12,21＋x2)≤0，所以eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2).]8．已知1<α<3，－4<β<3.则α＋β的取值范围为________，eq\f(1,2)α－β的取值范围为________．(－3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(11,2)))[∵1<α<3，∴eq\f(1,2)<eq\f(1,2)α<eq\f(3,2).又－4<β<3，∴－3<－β<4，∴－3<α＋β<6.∴－3＋eq\f(1,2)<eq\f(1,2)α－β<4＋eq\f(3,2).即－eq\f(5,2)<eq\f(1,2)α－β<eq\f(11,2).]三、解答题9．已知a>0，试比较a与eq\f(1,a)的大小．[解]a－eq\f(1,a)＝eq\f(a2－1,a)＝eq\f(a－1a＋1,a).因为a>0，所以当a>1时，eq\f(a－1a＋1,a)>0，有a>eq\f(1,a)；当a＝1时，eq\f(a－1a＋1,a)＝0，有a＝eq\f(1,a)；当0<a<1时，eq\f(a－1a＋1,a)<0，有a<eq\f(1,a).综上，当a>1时，a>eq\f(1,a)；当a＝1时，a＝eq\f(1,a)；当0<a<1时，a<eq\f(1,a).10．若a>0，b>0，求证：eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)≥a＋b.[证明]因为eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)－\f(b,a)))＝eq\f(a－b2a＋b,ab).因为(a－b)2≥0恒成立，且a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0.所以eq\f(a－b2a＋b,ab)≥0.所以eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)≥a＋b.1．(多选题)给出四个选项能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)的有()A．b>0>a B．0>a>bC．a>0>b D．a>b>0ABD[eq\f(1,a)<eq\f(1,b)⇔eq\f(b－a,ab)<0⇔ab(a－b)>0，A，ab<0，a－b<0，ab(a－b)>0成立，B，ab>0，a－b>0，ab(a－b)>0成立，C．ab<0，a－b>0，ab(a－b)<0，不成立，D．ab>0，a－b>0，ab(a－b)>0成立．故选ABD.]2．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，假如两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室()A．甲 B．乙C．同时到达 D．无法推断B[设路程为2s，步行速度为v1，跑步速度为v2(v1<v2)，则甲所用时间为eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)，乙所用时间为t＝eq\f(4s,v1＋v2)，eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)－eq\f(4s,v1＋v2)＝eq\f(s·v1＋v22－4sv1v2,v1v2v1＋v2)＝s·eq\f(v1－v22,v1v2v1＋v2)，因为v1<v2，所以eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)－eq\f(4s,v1＋v2)>0，故乙先到教室．]3．若x>y，a>b，则在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a；⑤eq\f(a,y)>eq\f(b,x)，这五个式子中，正确的是________．(填序号)②④[令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x>y，a>b.∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立；又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不成立；又∵eq\f(a,y)＝eq\f(3,－3)＝－1，eq\f(b,x)＝eq\f(2,－2)＝－1，∴eq\f(a,y)＝eq\f(b,x)，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．]4．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________．w＝x＋2y的取值范围是________．[3,8][－3,5][∵z＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)，－2≤－eq\f(1,2)(x＋y)≤eq\f(1,2)，5≤eq\f(5,2)(x－y)≤eq\f(15,2)，∴3≤－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)≤8，∴3≤z≤8.∵w＝x＋2y＝eq\f(3,2)(x＋y)－eq\f(1,2)(x－y)，－eq\f(3,2)≤eq\f(3,2)(x＋y)≤6，－eq\f(3,2)≤－eq\f(1,2)(x－y)≤－1，∴－3≤eq\f(3,2)(x＋y)－eq\f(1,2)(x－y)≤5.]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满意以下条件．(1)该函数图象过原点；(2)当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；(3)当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4；求当x＝－2时，y的取值范围．[解]∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图象过原点，∴c＝0，∴y＝ax2＋bx.又∵当x＝－1时，1≤a－b≤2.①当x＝1时，3≤a＋b≤4，②∴当x＝－2时，y＝4a