2024高考数学考点专项突破函数的性质含解析

函数的性质1、（2025届浙江省之江教化评价联盟高三其次次联考）设函数，则（）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】∵函数，∴，.故选：C.2、（2025届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数是上的奇函数，当时，，则当时，（）A． B．C． D．【答案】C【解析】时，.当时，，，由于函数是奇函数，，因此，当时，，故选C.3、（2025届山东省临沂市高三上期末）函数（）的值域是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，.即故选：4、（2025届山东省泰安市高三上期末）函数的部分图象是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，为奇函数，解除B当时，恒成立，解除CD故答案选A5、（2024·河南高三月考（理））已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为是偶函数，所以关于直线对称；因此，由得；又在上单调递减，则在上单调递增；所以，当即时，由得，所以，解得；当即时，由得，所以，解得；因此，的解集是.6、（2024年北京高三月考）已知偶函数在区间上单调递增，则满意的的取值范围（）A． B． C． D．【答案】A【解析】偶函数在区间上单调递增则在区间上单调递减若满意则化简可得解不等式可得,即故选:A7、（2024·山东师范高校附中高三月考）函数的零点所在区间为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，由.故选：C8、（2025届山东省烟台市高三上期末）设，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题,因为单调递减,则；因为单调递减,则；因为单调递增,则,所以,故选：A9、(2024年高考全国Ⅲ卷理数)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者依据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标记着已初步遏制疫情，则约为（）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【解析】，所以，则，所以，，解得.故选：C．10、(2024年高考全国Ⅲ卷理数)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【解析】由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A.11、（2025届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数是奇函数，则使的的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】依据题意，函数是奇函数，则，即，可得，则，有，解可得，即函数的定义域为，设，则，，则在上为增函数，而在上为增函数，则在上为增函数，若，即，解可得，则，即，解得，又由，则有，即的取值范围为；故选：A.12、（2024·山东省淄博试验中学高三上期末）已知定义在上的奇函数，满意时，，则的值为（）A．-15 B．-7 C．3 D．15【答案】A【解析】因为奇函数的定义域关于原点中心对称则,解得因为奇函数当时,则故选:A13、（2024年高考全国I卷理数）若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则为增函数，因为所以，所以，所以.，当时，，此时，有当时，，此时，有，所以C、D错误.故选：B．14、（2024年新高考全国Ⅰ卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满意的x的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或.解得或，所以满意的的取值范围是，故选：D．多选题15、（2025届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】对于A选项，为偶函数，且当时，为减函数，符合题意.对于B选项，为偶函数，依据幂函数单调性可知在上递增，不符合题意.对于C选项，为奇函数，不符合题意.对于D选项，为偶函数，依据复合函数单调性同增异减可知，在区间上单调递减，符合题意.故选：AD.16、（2025届山东省临沂市高三上期末）若，，则（）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由，，得，，则，，，故正确的有：故选：.17、（2024年南通期末）对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象不行能是A． B． C． D．【答案】．【解析】：若，则对数函数在上单调递增，二次函数开口向上，对称轴，经过原点，可能为，不行能为．若，则对数函数在上单调递减，二次函数开口向下，对称轴，经过原点，可能为，不行能为．故选：．18、（2025届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在上的函数满意条件，且函数为奇函数，则（）A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数【答案】ABC【解析】因为，所以，即，故A正确；因为函数为奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称，所以B正确；又函数为奇函数，所以，依据，令代有，所以，令代有，即函数为上的偶函数，C正确；因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，，所以函数不单调，D不正确.故选：ABC.填空题19、（2025届山东省枣庄市高三上学期统考）若,则__________．【答案】【解析】因为，所以，应填答案.20、（2025届江苏省七市其次次调研考试）在平面直角坐标系中，曲线在点处的切线与x轴相交于点A，其中e为自然对数的底数.若点，的面积为3，则的值是______.【答案】【解析】由题，，切线斜率，则切线方程为，令，解得，又的面积为3，，解得.故答案为：21、（2025届江苏省南通市海安高级中学高三其次次模拟）若幂函数的图象经过点，则其单调递减区间为_______．【答案】【解析】幂函数的图象经过点，则，解得；所以，其中；所以的单调递减区间为．故答案为：．22、（2025届山东省潍坊市高三上期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】是定义在上的偶函数，且在上是减函数，，，则不等式等价为不等式，即，即不等式的解集为，故答案为：.23、（2025届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在上的函数满意，且图像关于对称，当时，，则________.【答案】-2【解析】因为图像关于对称，则，，故是以8为周期的周期函数，故答案为：.24、（2025届山东师范高校附中高三月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是________．【答案】【解析】依据已知条件：当时，有恒成立，得函数是定义在上的减函数，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，故等价于，所以，即.故答案为：.解答题25、(1)已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,c)；(2)若60a＝3，60b＝5，求的值．【解析】(1)设3a＝4b＝6c＝k，则k>1.由对数定义得a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,log3k)＋eq\f(1,log4k)＝2logk3＋logk4＝logk9＋logk4＝logk36.又eq\f(2,c)＝eq\f(2,log6k)＝2logk6＝logk36，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,c).(2)由a＝log603，b＝log605，得1－b＝1－log605＝log6012，于是1－a－b＝1－log603－log605＝log604，则有eq\f(1－a－b,1－b)＝eq\f(log604,log6012)＝log124，∴12eq\s\up6(\f(1－a－b,2（1－b）))＝12eq\f(1,2)log124＝12log122＝2.26、函数f(x)定义域D＝{x|x≠0}，且满意对于随意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)推断f(x)的奇偶性并证明；(3)假如f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求实数x的取值范围．【解】(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，变形为f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．(*)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.解得－eq\f(7,3)≤x<－eq\f(1,3)或－eq\f(1,3)<x<3或3<x≤5.∴x的取值范围是{x|－eq\f(7,3)≤x≤－eq\f(1,3)或－eq\f(1,3)<x<3或3<x≤5}．27、(1)设函数f(x)＝eq\f(a·2x＋a－2,2x＋1)(x∈R)为奇函数，求实数a的值；(2)设函数f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a－2)－f(4－a2)<0，求实数a的取值范围．【解】(1)要使f(x)为奇函数，∵x∈R，∴需f(x)＋f(－x)＝0成立．又∵f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1)，∴f(－x)＝a－eq\f(2,2－x＋1)＝a－eq\f(2x＋1,2x＋1).由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,2x＋1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2x＋1,2x＋1)))＝0，得2a－eq\f(2（2x＋1）,2x＋1)＝0，∴a＝1.(2)由f(x)的定义域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1))，知解得eq\r(3)<a<eq\r(5).由f(a－2)－f(4－a2)<0，得f(a－2)<f(4－a2)．∵函数f(x)是偶函数，∴f(|a－2|)<f(|4－a2|)．由于f(x)在(0，1)上是增函数，∴|a－2|<|4－a2|，解得a<－3或a>－1且a≠2.综上，实数a的取值范围是eq\r(3)<a<eq\r(5)且a≠2.28、（江苏省南通市通州区2024-2025学年高三第一次调研抽测）已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）设函数，若，且在上恒成立，求的取值范围；（3）设函数，若，且在上存在零点，求的取值范围.【解析】（1）当时，令得：函数的定义域为当时，；当时，，函数的单调减区间为，单调增区间为（2）由得：.当时，恒成立当，即时，恒成立；当，即时，解得：综上所述：当时，由恒成立得：恒成立设，则.令得：当时，；当时，综上所述：的取值范围为：（3）在上存在零点在上有解即