2024-2025学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.5随机事件的独立性课时素养评价含解析新人教B版必修第二册VIP

PAGE随机事务的独立性(15分钟30分)1.抛掷3枚质地匀称的硬币,A={既有正面对上又有反面对上},B={至多有一个反面对上},则A与B的关系是 ()A.互斥事务 B.对立事务C.相互独立事务 D.不相互独立事务【解析】选C.由已知,有P(A)=1-QUOTE=QUOTE,P(B)=1-QUOTE=QUOTE,P(AB)=QUOTE,满意P(AB)=P(A)P(B),则事务A与事务B相互独立.2.从甲口袋内摸出1个白球的概率是QUOTE,从乙口袋内摸出1个白球的概率是QUOTE,假如从两个口袋内各摸出一个球,那么QUOTE是 ()A.2个球不都是白球的概率B.2个球都不是白球的概率C.2个球都是白球的概率D.2个球恰好有一个球是白球的概率【解析】选A.因为两个球不都是白球的对立事务是两个球都是白球,两者是相互独立的,两个球都是白球的概率P=QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以两个球不都是白球的概率是1-QUOTE=QUOTE.3.甲、乙、丙三人将参与某项测试,他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5,则三人都达标的概率是________,三人中至少有一人达标的概率是________.

【解析】三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5=0.24.三人都不达标的概率为(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.2×0.4×0.5=0.04,三人中至少有一人达标的概率为1-0.04=0.96.答案:0.240.964.某一部件由四个电子元件按如图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3或元件4正常工作,则部件正常工作,若四个电子元件的运用寿命超过1000小时的概率都为QUOTE,且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的运用寿命超过1000小时的概率为________.

【解析】设事务A为元件1或元件2正常工作,事务B为元件3或元件4正常工作,所以P(A)=1-QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(B)=1-QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以该部件的运用寿命超过1000小时的概率为P(AB)=P(A)·P(B)=QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE5.在社会主义新农村建设中,某市确定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预料,三个项目胜利的概率分别为QUOTE,QUOTE,QUOTE,且三个项目是否胜利相互独立.(1)求恰有两个项目胜利的概率;(2)求至少有一个项目胜利的概率.【解析】(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目胜利的概率为QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,只有农产品加工和水果种植两个项目胜利的概率为QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目胜利的概率为QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以恰有两个项目胜利的概率为QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.(2)三个项目全部失败的概率为QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以至少有一个项目胜利的概率为1-QUOTE=QUOTE.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.五一放假,甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是QUOTE,QUOTE,QUOTE,假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.记事务A:至少有1人去厦门旅游,其对立事务为QUOTE:三人都不去厦门旅游,由独立事务的概率公式可得PQUOTE=QUOTE=QUOTE,由对立事务的概率公式可得PQUOTE=1-PQUOTE=1-QUOTE=QUOTE.【补偿训练】设每个工作日甲、乙、丙3人需运用某种设备的概率分别为0.2,0.5,0.6,若各人是否需运用该设备相互独立,则同一工作日中至少有1人需运用该设备的概率为 ()A.0.84 B.0.16C.0.94 D.0.34【解析】选A.所求概率为P=1-QUOTE=0.84.2.甲、乙、丙三名学生用计算机联网学习数学,每天上课后独立完成6道自我检测题,甲及格的概率为QUOTE,乙及格的概率为QUOTE,丙及格的概率为QUOTE,三人各答一次,则三人中只有一人及格的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.以上都不对【解析】选C.因为甲及格的概率为QUOTE,乙及格的概率为QUOTE,丙及格的概率为QUOTE,所以仅甲及格的概率为QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE;仅乙及格的概率为QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE;仅丙及格的概率为QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以三人中只有一人及格的概率为:QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.3.在荷花池中,有一只青蛙在如图成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳动时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A叶上,则跳三次之后停在A叶上的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.青蛙跳三次要回到A只有两条途径:第一条:按A→B→C→A,P1=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE;其次条,按A→C→B→A,P2=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以跳三次之后停在A叶上的概率为P=P1+P2=QUOTE+QUOTE=QUOTE.4.甲、乙两名同学参与2024年高考,依据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示,甲、乙两人能考140分以上的概率分别为QUOTE和QUOTE,甲、乙两人是否考140分以上相互独立,则预估这两个人在2024年高考中恰有一人数学考140分以上的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为这两个人在2024年高考中恰有一人数学考140分以上的概率为甲考140分以上乙未考到140分以上的事务概率与乙考140分以上甲未考到140分以上的事务概率的和,而甲考140分以上乙未考到140分以上的事务概率为QUOTE×QUOTE,乙考140分以上甲未考到140分以上的事务概率为QUOTE×QUOTE,因此,所求概率为QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE=QUOTE.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.设M,N为两个随机事务,给出以下命题:A.若PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,则M,N为相互独立事务B.若PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,则M,N为相互独立事务C.若PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,则M,N为相互独立事务D.若PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,则M,N为相互独立事务其中正确命题为 ()【解析】选ABD.若PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE.则由相互独立事务乘法公式知M,N为相互独立事务,故A正确;若PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,则PQUOTE=1-PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=PQUOTE·PQUOTE,由对立事务概率计算公式和相互独立事务乘法公式知M,N为相互独立事务,故B正确;若PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,当M,N为相互独立事务时,PQUOTE=1-PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE,故C错误;若PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,则PQUOTE=PQUOTE·PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=1-PQUOTE=QUOTE,由对立事务概率计算公式和相互独立事务乘法公式知M,N为相互独立事务,故D正确.6.掷一枚骰子一次,设事务A:“出现偶数点”,事务B:“出现3点或6点”,则事务A,B的关系是 ()A.互斥 B.相互独立C.不互斥 D.不相互独立【解析】选BC.事务A={2,4,6},事务B={3,6},事务AB={6},基本领件空间Ω={1,2,3,4,5,6},所以PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE,即PQUOTE=PQUOTEPQUOTE,因此,事务A与B相互独立.当“出现6点”时,事务A,B同时发生,所以A,B不是互斥事务.三、填空题(每小题5分,共10分)7.某自助银行共有A,B,C三台ATM机,在某段时间内,这三台ATM机被占用的概率分别为QUOTE,QUOTE,QUOTE,若一位顾客到自助银行运用ATM机,则其不须要等待的概率为________.

【解析】设事务A,B,C分别为“ATM机A,B,C被占用”,则P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE.记事务D:“顾客不须要等待”,则QUOTE为“顾客须要等待”,所以P(QUOTE)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,于是P(D)=1-P(QUOTE)=1-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】甲、乙、丙射击命中目标的概率分别为QUOTE,QUOTE,QUOTE,现在三人同时射击目标,且相互不影响,则目标被击中的概率为________.【解析】目标被击中的概率等于1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率,故目标被击中的概率是1-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.在三角形ABC中,一机器人从三角形ABC上的一个顶点移动到另一个顶点(规定:每次只能从一个顶点移动到另一个顶点),而且按逆时针方向移动的概率为顺时针方向移动的概率的3倍,假设现在机器人的初始位置为顶点A处,则通过三次移动后返回到A处的概率为________.

【解析】设顺时针方向移动的概率为p,则逆时针方向移动的概率为3p,所以3p+p=1⇒p=QUOTE,所以顺时针方向移动的概率为QUOTE,则逆时针方向移动的概率为QUOTE,初始位置为顶点A处,则通过三次移动后返回到A处,共有两种状况:三次都逆时针的概率为QUOTE=QUOTE,三次都顺时针方向移动的概率为QUOTE=QUOTE,所以通过三次移动后返回到A处的概率为QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算),有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为QUOTE,QUOTE,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是QUOTE,QUOTE,两人租车时间都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________.【解析】由题意可知,甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为QUOTE,QUOTE,设甲、乙两人所付的租车费用相同为事务A,则P(A)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为QUOTE.答案:QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)

9.眉山市位于四川西南,有“千载诗书城,人文第一州”的美誉,这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的家乡,也是人们旅游的好地方.在国庆黄金周,为了丰富游客的文化生活,每天在东坡故里三苏祠实行“三苏文化”学问竞赛.已知甲、乙两队参赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为QUOTE,乙队中3人答对的概率分别为QUOTE,QUOTE,QUOTE,且各人回答正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为0分、2分的概率;(2)求甲队得2分乙队得1分的概率.【解析】(1)记“甲队总得分为0分”为事务A,“甲队总得分为2分”为事务B,甲队总得分为0分,即甲队三人都回答错误,其概率PQUOTE=QUOTE=QUOTE;甲队总得分为2分,即甲队三人中有1人答错,其余两人答对,其概率PQUOTE=3×QUOTE=QUOTE.(2)记“乙队得1分”为事务C,“甲队得2分乙队得1分”为事务D.事务C即乙队三人中有2人答错,1人答对,PQUOTE=QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.甲队得2分乙队得1分即事务B,C同时发生,则PQUOTE=PQUOTEPQUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.10.在2024年女排世界杯中,中国女子排球队以11连胜的优异战绩胜利夺冠,为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球竞赛采纳5局3胜制,前4局竞赛采纳25分制,每个队只有赢得至少25分,并同时超过对方2分时,才胜1局;在决胜局(第五局)采纳15分制,每个队只有赢得至少15分,并领先对方2分为胜.在每局竞赛中,发球方赢得此球后可得1分,并获得下一球的发球权,否则交换发球权,并且对方得1分.现有甲、乙两队进行排球竞赛:(1)若前三局竞赛中甲已经赢两局,乙赢一局.接下来两队赢得每局竞赛的概率均为QUOTE,求甲队最终赢得整场竞赛的概率;(2)若前四局竞赛中甲、乙两队已经各赢两局竞赛.在决胜局(第五局)中,两队当前的得分为甲、乙各14分,且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲得1分的概率为QUOTE,乙发球时甲得1分的概率为QUOTE,得分者获得下一个球的发球权.设两队打了x(x≤4)个球后甲赢得整场竞赛,求x的取值及相应的概率p(x).【解析】(1)甲队最终赢得整场竞赛的状况为第四局赢或第四局输第五局赢,所以甲队最终赢得整场竞赛的概率为QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)依据竞赛规则,x的取值只能为2或4,对应比分为16∶14,17∶15.两队打了2个球后甲赢得整场竞赛,即打第一个球甲发球甲得分,打其次个球甲发球甲得分,此时概率为p(2)=QUOTE×QUOTE=QUOTE;两队打了4个球后甲赢得整场竞赛,即打第一个球甲发球甲得分,打其次个球甲发球甲失分,打第三个球乙发球甲得分,打第四个球甲发球甲得分;或打第一个球甲发球甲失分,打其次个球乙发球甲得分,打第三个球甲发球甲得分,打第四个球甲发球甲得分,此时概率为p(4)=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.为了促进学生的全面发展,某市教化局要求本市全部学校重视社团文化建设,该市某中学的某新生想通过考核选拔进入该校的“电影社”和“心理社”,已知该同学通过考核选拔进入这两个社团胜利与否相互独立,依据报名状况和他本人的才艺实力,两个社团都能进入的概率为QUOTE,至少进入一个社团的概率为QUOTE,并且进入“电影社”的概率小于进入“心理社”的概率.(1)求该同学分别通过选拔进入“电影社”的概率p1和进入心理社的概率p2;(2)学校依据这两个社团的活动支配状况,对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分,对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分.求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率.【思路导引】(1)利用相互独立事务概率乘法公式和对立事务概率计算公式列出方程组,即能求出结果.(2)利用独立事务的概率乘法公式分别求得分数为1和1.5时的概率,再利用互斥事务概率计算公式求得结果.【解析】(1)依据题意得且p1<p2,所以p1=QUOTE,p2=QUOTE.(2)令该同学在社团方面获得校本选修课学分分数为X,P(X=1)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=1.5)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率P=QUOTE+QUOTE=QUOTE.【补偿训练】随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参与了驾驶证考试,要顺当地拿到驾驶证,须要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试,在每一次报名中,每个学员有5次参与科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺当通过,即进入下一科目考试,或5次都没有通过,则须要重新报名),其中前2次参与科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参与科目二考试都须要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计,得到如下结论:男性学员参与科目二考试,每次通过的概率均为QUOTE,女性学员参与科目二考试,每次通过的概率均为QUOTE.现有一对夫妻同时报名参与驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参与科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完全部机会为止.(1)求这对夫妻在本次报名中参与科目二考试都不须要交补考费的概率;(2)求这对夫妻在本次报名中参与科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率