全国大学生数学竞赛赛试题

全国大学生数学竞赛赛试题第一部分：代数一、选择题（每题5分，共20分）1.设集合A={x|x是奇数，0<x<10}，集合B={x|x是偶数，0<x<10}，则A∩B=（）A.{1，3，5，7，9}B.{2，4，6，8}C.{1，2，3，4，5，6，7，8，9}D.∅2.设a，b是实数，且a≠0，则“a+b=0”是“ab=0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知复数z满足（z2i）（z+2i）=8，则|z|=（）A.2B.4C.6D.84.若实数x，y满足（x1）2+y2=1，则x+y的最大值为（）A.2B.3C.4D.5二、填空题（每题5分，共20分）5.已知集合A={x|x25x+6=0}，则A中元素的个数是______。6.若a，b是实数，且a+b=0，则（a+b）2=______。7.设复数z满足（z1）2=4i，则|z|=______。8.若实数x，y满足（x1）2+y2=1，则x+y的最小值为______。三、解答题（每题10分，共30分）9.已知实数x，y满足x2+y2=1，求x+y的最大值和最小值。10.已知复数z满足（z2i）（z+2i）=8，求z的值。11.已知集合A={x|x25x+6=0}，求A中所有元素的值。全国大学生数学竞赛赛试题第二部分：几何一、选择题（每题5分，共20分）1.在直角坐标系中，点A（1，2），点B（3，4），则线段AB的长度是（）A.2B.√2C.√5D.√102.在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=8，则角B的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.90°3.在直角坐标系中，点P（x，y）在圆（x2）2+(y+1)2=4上，则x的取值范围是（）A.[2，2]B.[3，3]C.[4，4]D.[5，5]4.在直角坐标系中，点A（1，2），点B（3，4），则线段AB的中点坐标是（）A.（2，3）B.（2，2）C.（3，3）D.（4，4）二、填空题（每题5分，共20分）5.在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=8，则角A的度数是______。6.在直角坐标系中，点P（x，y）在圆（x2）2+(y+1)2=4上，则y的取值范围是______。7.在直角坐标系中，点A（1，2），点B（3，4），则线段AB的斜率是______。8.在直角坐标系中，点P（x，y）在圆（x2）2+(y+1)2=4上，则x+y的最大值是______。三、解答题（每题10分，共30分）9.在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=8，求角C的度数。10.在直角坐标系中，点P（x，y）在圆（x2）2+(y+1)2=4上，求x和y的关系式。11.在直角坐标系中，点A（1，2），点B（3，4），求线段AB的中点坐标。第三部分：三角函数一、选择题（每题5分，共20分）1.若sinθ=√3/2，且θ在第二象限，则cosθ的值为（）A.1/2B.1/2C.√3/2D.√3/22.若tanθ=1，且θ在第一象限，则sinθ的值为（）A.1/√2B.1/2C.√2/2D.√3/23.若sinθ+cosθ=√2，则θ的度数是（）A.45°B.90°C.135°D.180°4.若sinθ=cosθ，则θ的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空题（每题5分，共20分）5.若sinθ=√3/2，且θ在第二象限，则tanθ的值为______。6.若tanθ=1，且θ在第一象限，则cosθ的值为______。7.若sinθ+cosθ=√2，则θ的度数是______。8.若sinθ=cosθ，则θ的度数是______。三、解答题（每题10分，共30分）9.若sinθ=√3/2，且θ在第二象限，求cosθ的值。10.若tanθ=1，且θ在第一象限，求sinθ的值。11.若sinθ+cosθ=√2，求θ的度数。第四部分：解析几何一、选择题（每题5分，共20分）1.已知直线L：2x+y3=0，点P（1，2），则点P到直线L的距离是（）A.1B.√2C.2D.√52.已知圆C：（x2）2+(y+1)2=4，点P（3，0），则点P到圆C的距离是（）A.1B.√2C.2D.√53.已知直线L：2x+y3=0，圆C：（x2）2+(y+1)2=4，则直线L与圆C的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.无法确定4.已知直线L：2x+y3=0，圆C：（x2）2+(y+1)2=4，则直线L与圆C的交点坐标是（）A.（1，1）B.（2，1）C.（3，0）D.（4，1）二、填空题（每题5分，共20分）5.已知直线L：2x+y3=0，点P（1，2），则点P到直线L的距离是______。6.已知圆C：（x2）2+(y+1)2=4，点P（3，0），则点P到圆C的距离是______。7.已知直线L：2x+y3=0，圆C：（x2）2+(y+1)2=4，则直线L与圆C的位置关系是______。8.已知直线L：2x+y3=0，圆C：（x2）2+(y+1)2=4，则直线L与圆C的交点坐标是______。三、解答题（每题10分，共30分）9.已知直线L：2x+y3=0，点P（1，2），求点P到直线L的距离。10.已知圆C：（x2）2+(y+1)2=4，点P（3，0），求点P到圆C的距离。11.已知直线L：2x+y3=0，圆C：（x2）2+(y+1)2=4，求直线L与圆C的位置关系及交点坐标。第五部分：微积分一、选择题（每题5分，共20分）1.函数f（x）=x2在区间[0，1]上的最大值是（）A.0B.1C.2D.42.函数f（x）=sinx在区间[0，π]上的最大值是（）A.0B.1C.πD.23.函数f（x）=e^x在区间[1，1]上的最小值是（）A.e^1B.e^0C.e^1D.e^24.函数f（x）=lnx在区间[1，e]上的最小值是（）A.0B.1C.2D.3二、填空题（每题5分，共20分）5.函数f（x）=x2在区间[0，1]上的最小值是______。6.函数f（x）=sinx在区间[0，π]上的最小值是______。7.函数f（x）=e^x在区间[1，1]上的最大值是______。8.函数f（x）=lnx在区间[1，e]上的最大值是______。三、解答题（每题10分，共30分）9.求函数f（x）=x2在区间[0，1]上的最大值。10.求函数f（x）=sinx在区间[0，π]上的最小值。11.求函数f（x）=e^x在区间[1，1]上的最小值。第六部分：线性代数一、选择题（每题5分，共20分）1.设矩阵A=（），则A的行列式值为（）A.0B.1C.2D.32.设矩阵A=（），则A的逆矩阵为（）A.（）B.（）C.（）D.（）3.设矩阵A=（），则A的特征值为（）A.{1，2}B.{1，2}C.{2，1}D.{1，2}4.设矩阵A=（），则A的秩为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（每题5分，共20分）5.设矩阵A=（），则A的行列式值为______。6.设矩阵A=（），则A的逆矩阵为______。7.设矩阵A=（），则A的特征值为______。8.设矩阵A=（），则A的秩为______。三、解答题（每题10分，共30分）9.求矩阵A=（）的行列式值。10.求矩阵A=（）的逆矩阵。11.求矩阵A=（）的特征值。第七部分：概率论与数理统计一、选择题（每题5分，共20分）1.设随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μσ<X<μ+σ）的值为（）A.0.6826B.0.9544C.0.9974D.12.设随机变量X服从二项分布B（n，p），则P（X=k）的公式为（）A.C(n，k)pkqnkB.C(n，k)pkqnC.C(n，k)pkqkD.C(n，k)pkqnk3.设随机变量X服从泊松分布P（λ），则P（X=k）的公式为（）A.λ^k/k!B.λ^k/e^λC.λ^k/k!e^λD.λ^k/e^λk4.设随机变量X和Y相互独立，且X~N（μ1，σ1^2），Y~N（μ2，σ2^2），则X+Y的分布为（）A.N（μ1+μ2，σ1^2+σ2^2）B.N（μ1+μ2，σ1^2σ2^2）C.N（μ1μ2，σ1^2+σ2^2）D.N（μ1μ2，σ1^2σ2^2）二、填空题（每题5分，共20分）5.设随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ2σ<X<μ+2σ）的值为______。6.设随机变量X服从二项分布B（n，p），则P（X=k）的公式为______。7.设随机变量X服从泊松分布P（λ），则P（X=k）的公式为______。8.设随机变量X和Y相互独立，且X~N（μ1，σ1^2），Y~N（μ2，σ2^2），则X+Y的分布为______。三、解答题（每题10分，共30分）9.求随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），P（μσ<X<μ+σ）的值。10.求随机变量X服从二项分布B（n，p），P（X=k）的值。11.求随机变量X服从泊松分布P（λ），P（X=k）的值。全国大学生数学竞赛赛试题第八部分：数论一、选择题（每题5分，共20分）1.设正整数n的素因数分解为n=2^a3^b5^c，其中a、b、c为非负整数，则n的因数个数是（）A.(a+1)(b+1)(c+1)B.(a+2)(b+2)(c+2)C.(a+3)(b+3)(c+3)D.(a+4)(b+4)(c+4)2.设正整数n的素因数分解为n=2^a3^b5^c，其中a、b、c为非负整数，则n的所有因数之和是（）A.2^(a+1)3^(b+1)5^(c+1)1B.2^(a+2)3^(b+2)5^(c+2)1C.2^(a+3)3^(b+3)5^(c+3)1D.2^(a+4)3^(b+4)5^(c+4)13.设正整数n的素因数分解为n=2^a3^b5^c，其中a、b、c为非负整数，则n的约数个数是（）A.(a+1)(b+1)(c+1)B.(a+2)(b+2)(c+2)C.(a+3)(b+3)(c+3)D.(a+4)(b+4)(c+4)4.设正整数n的素因数分解为n=2^a3^b5^c，其中a、b、c为非负整数，则n的奇约数个数是（）A.(a+1)(b+1)(c+1)B.(a+2)(b+2)(c+2)C.(a+3)(b+3)(c+3)D.(a+4)(b+4)(c+4)二、填空题（每题5分，共20分）5.设正整数n的素因数分解为n=2^a3^b5^c，其中a、b、c为非负整数，则n的因数个数是______。6.设正整数n的素因数分解为n=2^a3^b5^c，其中a、b、c为非负整数，则n的所有因数之和是______。7.设正整数n的素因数分解为n=2^a3^b5^c，其中a、b、c为非负整数，则n的约数个数是______。8.设正整数n的素因数分解为n=2^a3^b5^c，其中a、b、c为非负整数，则n的奇约数个数是______。三、解答题（每题10分，共30分）9.设正整数n的素因数分解为n=2^a3^b5^c，其中a、b、c为非负整数，求n的因数个数。10.设正整数n的素因数分解为n=2^a3^b5^c，其中a、b、c为非负整数，求n的所有因数之和。11.设正整数n的素因数分解为n=2^a3^b5^c，其中a、b、c为非负整数，求n的约数个数。第九部分：组合数学一、选择题（每题5分，共20分）1.从5个不同的球中取出3个球，不同的取法共有（）A.10种B.15种C.20种D.25种2.从6个不同的球中取出4个球，不同的取法共有（）A.15种B.20种C.25种D.30种3.从5个不同的球中取出3个球，不同的取法共有（）A.10种B.15种C.20种D.25种4.从6个不同的球中取出4个球，不同的取法共有（）A.15种B.20种C.25种D.30种二、填空题（每题5分，共20分）5.从5个不同的球中取出3个球，不同的取法共有______种。6.从6个不同的球中取出4个球，不同的取法共有______种。7.从5个不同的球中取出3个球，不同的取法共有______种。8.从6个不同的球中取出4个球，不同的取法共有______种。三、解答题（每题10分，共30分）9.从5个不同的球中取出3个球，求不同的取法总数。10.从6个不同的球中取出4个球，求不同的取法总数。11.从5个不同的球中取出3个球，求不同的取法总数。第十部分：运筹学一、选择题（每题5分，共20分）1.在线性规划问题中，若目标函数为maxz=2x+3y，约束条件为x+y≤10，x≥0，y≥0，则该问题的最优解为（）A.x=0，y=10B.x=10，y=0C.x=5，y=5D.x=2，y=82.在线性规划问题中，若目标函数为minz=x+y，约束条件为x+2y≤10，x≥0，y≥0，则该问题的最优解为（）A.x=0，y=5B.x=5，y=0C.x=2.5，y=2.5D.x=4，y=33.在线性规划问题中，若目标函数为maxz=3x+4y，约束条件为2x+3y≤18，x≥