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文档简介

二阶常系数齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化二阶线性微分方程：时,称为非齐次线性方程;时,称为齐次线性方程.一、二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)

定理1.注:不一定例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通解的判定问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.是所给二阶方程的通解.？定义:是定义在区间I上的

n个函数,使得则称这n个函数在I

上线性相关,否则称为线性无关.例如，

在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为

0的常数两个函数在区间I

上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使(不妨设线性无关常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为推论.是n阶齐次方程的n个线性无关特解,则方程的通解为则和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.二阶常系数齐次线性微分方程:特征方程2.当则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为时,特征方程有两个相等实根特征方程3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为例1.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例3.求方程练习（1）解:特征方程特征根:因此原方程的通解为（2）解:特征方程特征根:因此原方程的通解为（3）解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例4.一个质量为m的物体，在准弹性力F=-kx作用下作简谐振动.求其运动方程..解:由牛顿第二定律得方程变为等式两端同除以m,设特征方程:特征根:原方程通解:例5.解:如图所示，设钢球静止不动时重心位置为原点，s表示钢球上下振动的位移量，

其中C为弹簧的弹性系数.由牛顿第二定律得解得在一竖挂的弹簧下端系着一个质量为m的钢球作上下振动,假设弹簧的质量与钢球体的质量可以忽略不计,也不计空气阻力，试求钢球振动的规律.t=0时，s=0,内容

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