高等数学课件：常微分方程

高等数学常微分方程

第一节常微分方程的基本概念

第二节

一阶线性微分方程

第三节

二阶常系数线性微分方程

第一节常微分方程的基本概念

在科学研究和数学应用中，经常要探寻表示客观事物的变量之间的函数关系，这种函数关系往往不能直接得到，但可以得到含有未知函数导数或微分的关系式，即通常所说的微分方程，微分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要数学模型。本章主要讨论简单的线性微分方程的解法，了解利用微分方程建立数学模型解决实际问题一般思想方法。一、引例

例1

一曲线通过点，且在该曲线上任意点处的切线的斜率为，求该曲线的方程。解

设该曲线的方程为，根据导数的几何意义，有

或此外还满足

两端积分，得其中为任意常数。代入，得。将代入得：即为所求曲线的方程。

例2

把质量为的物体以初速度垂直下抛，设该物体运动只受重力影响，试求物体下落距离s与时间t的函数关系．解

如图7—1所示，设物体的运动方程为：因为，而，所以

又因为物体只受重力作用，且重力加速度的方向与物体运动方向相同，所以，故即

两端积分得两端再次积分得

这里C1，C2都是任意的常数．又因为当时，此时初速度为，即分别代入，得

，所以，将，代入式，所求得的运动方程图7—1二、基本概念

上面两个例子都与函数的导数有关。对于这种方程，给出如下定义。

定义1

含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数(或微分)的方程，称为微分方程．只含有一个自变量的微分方程，称为常微分方程．自变量多于一个的微分方程，称为偏微分方程．微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程．在微分方程中，可以不含自变量或自变量的未知函数，但必须含有未知函数的导数或微分。例如，，，都是一阶微分方程．，y″+2y′+y=4都是二阶微分方程．定义2

若某个函数代入微分方程，能使该方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解．例如，与都是微分方程的解．

定义3

若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数是独立的，则称此解为该方程的通解或一般解．在通解中给任意常数一确定的值而得到的解称为特解．什么是独立的任意常数？函数显然为方程

的解。这时的，就不是两个独立的任意常数，因为该函数能写成

这种能合并成一个的任意常数，只能算一个独立的任意常数。为了准确地描述这一问题，引入下面的定义。定义4

设函数，是定义在区间内的函数，若存在两个不完全为零的数，,使得对于内的任一恒有成立，则称函数，在内线性相关，否则称线性无关。可见，线性相关的充要条件是在区间内恒为常数。若不恒为常数，则，线性无关。例如，与线性无关，与线性相关。

当与线性无关时，函数中含有两个独立的任意常数和。例如，是微分方程的通解；

是微分方程的通解；

是微分方程的通解（自己验证）；

与都是的特解．为了得到满足题目条件的特解，一般在许多实际问题中，在提出微分方程的同时，还给出方程中的未知函数所必须满足的一些条件（或初始状态）．常见的是给出未知函数对应于自变量某个确定值的函数值与导数值，称为微分方程的定解条件或初始条件.例如,例1中给出的当x=1时,y=4即y|x=1=4，就是微分方程的初始条件．例3

验证函数是微分方程的通解．解因为，,

又C是任意常数，所以是该微分方程的通解例4求解方程y'''=ex–cosx．

解

积分一次，得继续积分，得所以原方程的通解为:

第二节

一阶线性微分方程一、变量分离方程若一阶微分方程可以化为形如g(y)dy=f(x)dx，的形式，则称该微分方程为变量分离方程．

对上式两端积分，便求得x和y的关系式，即解出了微分方程．例1

求解微分方程

解分离变量得 ydy=x2dx，

两端积分得

所以其通解为

例2

质量为的质点受外力作用由静止开始作直线运动，外力与时间成正比，与质点运动速度的二次方成反比（比例系数为20）。求质点的速度函数。解设质点的速度函数为，因为，，所以又因为与成正比，与的二次方成反比（比例系数为20），所以，，两端积分，

得（）即又由初始条件，得所以将代入，故所求质点的速度函数为例3解微分方程解

此方程显然不能直接分离变量，但通过代换可化为分离变量方程令，则，于是即两端积分

得将代入，得原方程的通解为：二、一阶线性微分方程形如 的方程称为一阶线性微分方程．它对于未知函数y及其导数都是一次的，右边是已知函数Q(x)，称为自由项．当Q(x)≡0时，称方程是齐次的；当Q(x)0时，称方程是非齐次的．下面讨论一阶线性齐次方程与一阶线性非齐次方程的求解方法．对于, 分离变量，得 , 两边积分，得所以 即方程的通解．在本章内容中，约定不定积分符号只是表示被积函数的一个原函数，如是P(x)的一个原函数．对一阶线性微分方程，常常采用常数变易法，其想法是：当C是任意常数时，函数的导数，恰等于该函数乘上–P(x)，从而得出齐次方程的通解．对非齐次方程的解，它的导数不能恰等于它与–P(x)的乘积，而要多出一项Q(x)来．联系到乘积的导数公式，把齐次方程解中的常数C改为函数C(x)，即令是方程非齐次方程的通解，这样求非齐次方程解的问题就变成寻找一个待定函数C(x)了．把上式代入方程，得即两边积分，得

因此，线性非齐次方程的通解为这种把对应的齐次方程通解中的常数C变换为待定函数C(x)，然后求得对应线性非齐次方程的通解的方法，称为常数变易法．上述通解可改写成两项之和，即容易看出，上式右端第一项是对应的线性齐次方程的通解，第二项是线性非齐次方程的一个特解．一阶线性非齐次方程的通解等于对应的线性齐次方程的通解与该线性非齐次方程的一个特解之和．这是一阶线性非齐次方程通解的结构．例4

求方程的通解解

原方程变形为此方程为一阶线性非齐次方程。首先对对应的齐次方程求解，分离变量，得两端积分，得

即所以，齐次方程的通解为将通解中的任意常数换成待定函数，即令为方程的通解，将其代入方程得，于是所以将所求的代入，得原方程的通解为例5

求方程的通解．解显然x+2≠0．将方程变形，得这是一阶线性非齐次方程，其中所以，原方程的通解为y=(x+2)5(ex+C)．例6

求微分方程满足初始条件y|x=π=1的特解．解方程中，，所以由x=π，y=1，得C=π．所以，所求特解为．

我们可以看到,常数变易法实际上是一种变量变换的方法,通过变换可将方程化为变量分离方程。它不但适用于一阶线性方程，而且也适用于高阶线性方程和线性方程组。第三节

二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的一般形式为其中p，q是实常数，f(x)是x的已知连续函数．

若f(x)=0，即y″+py′+qy=0，称它为二阶常系数线性齐次方程；若f(x)≠0，称它为二阶常系数线性非齐次方程．一、二阶常系数线性齐次方程由于指数函数y=erx(r是常数)与它的各阶导数只差一个常数因子，因此，可以推测上面的齐次方程具有指数函数的解，我们用来代入方程，确定出r．对求导，得y′=re，y″=re，rx2rx代入齐次方程得e(r+pr+q)=0

rx2

因为erx≠0，故r2+pr+q=0．由此可知，若r是此二次代数方程的一个根，则y=erx就是齐次方程的一个特解．将方程r2+pr+q=0称为齐次方程的特征方程．可以看到，r2，r的系数及常数项正好就是齐次微分方程中y″，y′及y的系数．特征方程r+pr+q=0有两个根r1和r2，可由公式2求得．在求解过程中，可能出现下述三种情况：

(1)当p2–4q>0时，方程有两个不相等的实根r1与r2，即(2)当p2–4q=0时，方程有两个相等的实根，即r1=r2=

；(3)当p2–4q<0时，方程有一对共轭复根r1与r2，即按照上述出现的三种情况，分别讨论齐次微分方程的通解．情况(1)：特征方程具有两个不相等的实根．此时，因为r1≠r2，所以及是方程的两个线性无关的特解．因此方程的通解为例1

求方程的通解.解所给方程的特征方程为其根为

所以原方程的通解为

情况(2)：特征方程具有两个相等实根．由于此时r1=r2=r，所以只能求得齐次方程的一个解y1=erx，下面需求出另一解,且常数,设,即将代入方程,得整理,得由于

,所以

因为是特征方程的二重根,所以从而有

因为只需一个不为常数的解,不妨取,可得到齐次方程的另一个解那么,方程的通解为

即

例2

求微分方程y″-4y′+4y=0满足初始条件y|x=0=0，y′|x=0=1的特解．解先求通解．特征方程r2+4r+4=0有两个不相等的实根r1=r2=2，故方程的通解为y=(C1+C2x)e2x．代入初始条件y|x=0=0，y′|x=0=1，求得C1=0，C2=1．所以原方程满足初始条件的特解为y=xe2x．情况(3)：特征方程具有一对共轭复根．此时r1=α+iβ，r2=α–iβ，其中α=,．容易验证y1=eαxcosβx,y2=eαxsinβx是齐次方程的两个线性无关的特解，因此通解为y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)．例3

求微分方程y″+2y′+10y=0的通解

解特征方程为r2+2r+10=0有一对共轭复根r1,2=–1±3i，因此所求微分方程的通解为y=e(C1cos3x+C2sin3x)．–x综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤归纳如下

(1)写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0；(2)求出特征方程的两个根r1,r2；(3)根据特征根的不同情况，按下表写出微分方程的通解:特征方程r2+pr+q=0的两个根r1，r2微分方程y″+py′+qy=0的通解两个不相等的实根r1，r2两个相等的实根r1=r2=ry=(C1+C2x)erx一对共轭复根r1，r2=α±βiy=eαx(C1cosβx+C2sinβx)二、二阶常系数非齐次线性微分方程定理设二阶常系数线性微分方程y″+py′+qy=f(x)对应的齐次方程的通解为，则非齐次微分方程的通解为齐次方程解已经确定，现在的问题是寻求特解y*．显然y*与函数f(x)有关．若f(x)为一般初等函数，y*也不容易求得；若f(x)为指数函数、多项式函数、正余弦函数，则特解y*较易确定．我们只讨论型的解法,其中为常数,是关于的一个次多项式.的一个特解为y*，

方程右端是多项式与指数函数乘积，它的的导数仍为同一类型函数,因此方程的特解可能为,其中是某个多项式函数.把

代入方程并消去,得以下分三种不同的情形,分别讨论函数的确定方法:(1)若不是方程的特征方程的根,即,要使上式的两端恒等,可令为另一个次多项式:代入,并比较两端关于同次幂的系数,就得到关于未知数的个方程.联立解方程组可以确定出.从而得到所求方程的特解为(2)若是特征方程的单根,即,要使方程成立,则必须要是次多项式函数,于是令用同样的方法来确定的系数

(3)若是特征方程