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文档简介

向量代数与

空间解析几何平面及其方程一、平面的方程二、两平面的夹角三、小结一、平面的方程1.平面的点法式方程①设一平面

通过已知点且垂直于非零向称①式为平面

的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有故例1已知一平面以

为法向量，且该平面过

点

，写出该平面的方程.解由平面的点法式方程，我们可得该平面的方程为化简得2、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,

②的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.例2求过点

的平面方程解设平面的方程为得解得代回方程化简得到平面方程为由题意，将三点的坐标分别代入所设方程中例3设空间坐标系内一平面与三坐标轴都相交，其交点

坐标分别为

求满足条件的平面方程.解设平面方程为解得代入方程并整理得称为平面的截距式方程，将三点代入方程，得其中

称为平面在轴，轴和轴上的截距.特殊情形•当

D=0时,

Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面；•当

A=0时,By+Cz+D=0的法向量；平面平行于x

轴；•

Ax+Cz+D=0表示•

Ax+By+D=0表示•

Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•

By+D=0表示平行于y

轴的平面；平行于z

轴的平面；平行于xoy

面的平面；平行于

yoz

面的平面；平行于xoz

面的平面.例4

求过

轴及点的平面方程.解故假设所求平面方程为又该平面过点代入方程得化简得平面方程为由题意知平面过轴，二、两平面的夹角设平面∏1的法向量为

平面∏2的法向量为则两平面夹角

的余弦为即两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角.特别有下列结论：例5求平面

与各坐标平面的夹角的余弦.解面的法向量可以取作平面

与坐标面

的夹角

的余弦为同理可得该平面与另外两个坐标面夹角的余弦都是例6一平面过点

，且平行于向量

和

，求该平面的方程.解由题意可知，所求平面的法向量与都垂直所以该平面又过点由点法式得平面方程为即例7

求平面

外一点

到平面的距离.解

过点

做平面的法向量在平面内取一点所求距离得到点到平面的距离公式代入例8

求点到平面的距离.解由

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