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文档简介

1微分中值定理与导数应用函数最大值和最小值及其在经济学中的应用一、泰勒公式二、应用三、小结2

3函数在点可微，则一次多项式多项式函数是各类函数中最简单的一种，复杂函数能否用多项式函数近似？多项式函数的系数和函数的导数有何关系？设是以为幂次的次多项式逐次求导得系数与导数有关一、泰勒公式4这表明，……代入的值，得或于是取值所唯一确定.多项式的各项系数可以由其各阶导数在处的5若不是多项式函数，则上述等式就不成立了，此时，函数和右侧多项式有何关系呢？n次多项式泰勒中值定理1且存在，则若在的某邻域内具有阶导数，其中6连续运用洛必达法则次，证明：记当时，7即，当时，证毕.泰勒公式n次泰勒多项式佩亚诺型余项给出了泰勒多项式近似表示函数时产生的误差，如何更精确的估计误差的大小？与之间，使得8泰勒中值定理2则对任意若在含有的某开区间内具有直到阶的导数，至少存在一点介于（证明略）拉格朗日型余项泰勒公式在时称为麦克劳林公式当时，泰勒中值定理2就是拉格朗日中值定理9带拉格朗日型余项的麦克劳林公式带佩亚诺型余项的麦克劳林公式10例1求指数函数的麦克劳林公式．即得指数函数的麦克劳林公式解：设则代入公式，其中或11例2求和的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式．．解：设则所以，的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式是12泰勒多项式的幂次越高，以及它的一阶、三阶、五阶泰勒多项式的曲线如图，易见，它在附近就与正弦类似可求出“贴近”的程度越高.13例3求的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式．所以，的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式是解：设则14二、应用利用常见初等函数的麦克劳林公式，可以解决某些求极限或作近似计算的问题．15例4本题可用洛必达法则，求解：也可以利用麦克劳林公式.

原式16例5求解：原式17例6解：误差不超过.计算数使其误差不超过.的带拉格朗日型余项的麦克劳林公式为当时，有由那么，从而当时，可以得到的近似值18三、小结1、泰勒中值定理1泰勒中值定理2——佩亚诺型余项的泰勒公

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