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定积分微积分基本定理一、积分上限的函数二、微积分基本定理三、小结一、积分上限的函数若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于区间内的任意一点x，1、变速直线运动的路程这个函数的自变量是积分上限x，因此称为积分上限的函数，一的定积分值与之对应，从而确定了一个以[a,b]为定义的新函

数.都有定积分存在，即对于每一个取定的x值，都有唯记为yx0xab定理1若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数在区间[a,b]上可导，且有证明：(1)当时，设则由积分中值定理，得其中，在x与之间，且当时，定理1若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数在区间[a,b]上可导，且有证明：于是，利用导数的定义及f(x)的连续性，得在(a,b)内的每一点都可导，且有由x的任意性知，(2)当x为端点时,若x=b，取同理可证同理可证若x=a，取推论设函数f(x)为连续函数，且存在复合函数和其中皆为可导函数，则证明：令a为f(x)的连续区间内取定的点，则由链式法则，有定理2（原函数存在定理）设函数f(x)为连续函数，那么函数是f(x)在区间[a,b]上的原函数.(2)定理2揭示了定积分与原函数之间的联系.注：(1)定理2说明：连续函数一定存在原函数.在引例变速直线运动的路程中,物体从a时刻到b时刻走过的路程为若物体位置函数为s(t),则从a时刻到b时刻走过的路程为从而有s(t)是v(t)的原函数，即定积分的值为原函数在积分区间上的增量，这对其他可积的函数也适用吗？设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数F(x)是f(x)在[a,b]上的原函数，则有二、微积分基本定理定理3（微积分基本定理）证明：由于F(x)和都是f(x)的原函数，则C为常数即令则由上式，令得微积分基本公式，也称为牛顿-莱布尼兹公式.当a>b时，微积分基本公式仍成立.例1计算定积分解：例2计算定积分解：例3计算定积分解：的一个原函是则例4计算定积分例5设求解：利用区间可加性，有解：利用区间可加性，去掉绝对值，有被积函数带绝对值时，要根据积分区间去掉绝对值再积分.例6证明改进的积分中值定理：函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在开区间(a,b)内至少存在一点使得证明：因为函数f(x)在[a,b]上连续，故存在原函数F(x)，则有对函数F(x)，由微分中值定理，有即解：求例7设例8设求解：解：求例9设熟记变限积分求导公式熟记变限积分求导公式例10求极限解：这是一个型的未定式，利用洛必达法则，有极限表达式中含变限积分时，不需要求出积分，而是先判断极限是否为的未定式，然后

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